Задание 9 ОГЭ — уравнение, которое нужно решить и записать корень в бланк. Чаще всего это линейное или квадратное уравнение, иногда система двух линейных уравнений. Методы здесь стандартные, их проходят в 7–8 классе. Основная ловушка в формулировке ответа: если корней два, в условии обычно просят записать больший или меньший, и эту фразу легко пропустить.
Что проверяет задание 9
Задание части 1, оценивается в 1 первичный балл. Ответ краткий: одно число.
Какие умения нужны:
- решать линейные уравнения: раскрывать скобки, переносить слагаемые, делить на коэффициент;
- решать полные квадратные уравнения через дискриминант или подбором по теореме Виета;
- решать неполные квадратные уравнения вынесением множителя или извлечением корня;
- решать системы двух линейных уравнений методом подстановки или сложения;
- правильно выбирать, какой корень записать в ответ.
Как выглядит задание
Примеры формулировок (числа наши):
- «Найдите корень уравнения $5(x - 2) = 3x + 4$».
- «Решите уравнение $x^2 - 3x - 28 = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней».
- «Решите уравнение $2x^2 = 18x$. Если корней несколько, в ответ запишите больший».
- «Решите систему уравнений $\begin{cases} x + 2y = 8, \\ 3x - 2y = 0. \end{cases}$ В ответ запишите значение $y$».
Алгоритм решения
- Определите тип уравнения. Есть ли $x^2$? Если нет — линейное. Если есть — квадратное, приведите его к виду $ax^2 + bx + c = 0$.
- Линейное уравнение: раскройте скобки, перенесите слагаемые с $x$ влево, числа вправо, меняя знак при переносе, и разделите на коэффициент при $x$.
- Неполное квадратное ($c = 0$ или $b = 0$): вынесите $x$ за скобки или выразите $x^2$. Не делите обе части на $x$ — потеряете корень $x = 0$.
- Полное квадратное: если $a = 1$ и корни целые, попробуйте подобрать их по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -b$, $x_1 x_2 = c$. Если не получается быстро — считайте дискриминант $D = b^2 - 4ac$ и корни $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt D}{2a}$.
- Система: если коэффициенты при одной переменной противоположны, сложите уравнения. Иначе выразите одну переменную и подставьте во второе уравнение.
- Сделайте проверку подстановкой и перечитайте, что просят записать в ответ.
Проверка подстановкой занимает полминуты и ловит почти все ошибки в знаках. Для квадратного уравнения есть ещё более быстрая проверка: сумма найденных корней при $a = 1$ должна равняться $-b$, а произведение — $c$. Если в уравнении есть дроби, сначала умножьте обе части на общий знаменатель, чтобы избавиться от них: например, $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$ после умножения на 12 превращается в $4x + 3x = 84$, откуда $x = 12$.
Разбор примеров
Пример 1. Найдите корень уравнения $5(x - 2) = 3x + 4$.
Шаг 1. Раскрываем скобки: $5x - 10 = 3x + 4$.
Шаг 2. Переносим: слагаемые с $x$ влево, числа вправо, меняя знак:
$$5x - 3x = 4 + 10, \qquad 2x = 14.$$Шаг 3. Делим на коэффициент: $x = 7$.
Проверка: $5 \cdot (7 - 2) = 25$ и $3 \cdot 7 + 4 = 25$. Сходится.
Ответ: 7.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. Решите уравнение $x^2 - 3x - 28 = 0$. Если корней больше одного, в ответ запишите меньший из них.
Способ 1: дискриминант. Коэффициенты: $a = 1$, $b = -3$, $c = -28$.
$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121, \qquad \sqrt D = 11.$$$$x_1 = \frac{3 + 11}{2} = 7, \qquad x_2 = \frac{3 - 11}{2} = -4.$$Способ 2: теорема Виета. Ищем два числа с суммой $3$ и произведением $-28$: это $7$ и $-4$.
Выбираем ответ. Меньший из корней: $-4$.
Ответ: −4.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Решите систему уравнений $\begin{cases} x + 2y = 8, \\ 3x - 2y = 0. \end{cases}$ В ответ запишите значение $y$.
Шаг 1. Метод сложения. Коэффициенты при $y$ противоположны ($2$ и $-2$), поэтому складываем уравнения:
$$(x + 2y) + (3x - 2y) = 8 + 0, \qquad 4x = 8, \qquad x = 2.$$Шаг 2. Находим $y$ из первого уравнения: $2 + 2y = 8$, $2y = 6$, $y = 3$.
Проверка во втором уравнении: $3 \cdot 2 - 2 \cdot 3 = 0$. Верно.
Ответ: 3.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Не выбирают корень. Если корней два, а просят меньший, в бланк пишут одно число. Запись «7; −4» будет засчитана как неверная.
- Делят на $x$ в неполном квадратном уравнении. Из $2x^2 = 18x$ правильно получить $2x(x - 9) = 0$, корни $0$ и $9$. Деление на $x$ оставляет только $9$.
- Ошибка в знаке при переносе. Слагаемое, переходящее через знак «=», меняет знак на противоположный.
- Путают знаки в дискриминанте. При $c < 0$ слагаемое $-4ac$ становится положительным: $-4 \cdot 1 \cdot (-28) = +112$.
- Записывают не ту переменную в ответ к системе. Прочитайте, спрашивают $x$, $y$ или их сумму.
Что повторить
- Правило переноса и правило весов
- Уравнения, требующие упрощения
- Неполные квадратные уравнения
- Дискриминант и формула корней
- Обратная теорема Виета: решаем подбором
- Системы: метод подстановки и метод сложения
Пошаговый алгоритм для самых простых уравнений есть в статье блога «Как решать уравнения».
Где потренироваться
- Практика по уравнениям: 30 заданий
- Практика по квадратным уравнениям: 30 заданий
- Практика по теореме Виета: 30 заданий
- Практика по системам линейных уравнений: 30 заданий
Соседние задания: задание 8 — степени и корни и задание 10 — теория вероятностей. Все задания собраны в разделе ОГЭ.