Задание 6 — первое «чисто вычислительное» задание ОГЭ после сюжетного блока. Нужно найти значение числового выражения с обыкновенными или десятичными дробями. Калькулятором на экзамене пользоваться нельзя, поэтому задание проверяет, насколько уверенно вы считаете руками. Решается оно за пару минут, но ошибки в знаке или порядке действий стоят балла.
Что проверяет задание 6
Это задание части 1, за верный ответ дают 1 первичный балл. Ответ краткий: целое число или конечная десятичная дробь. Если у вас получилась дробь вроде $\frac{31}{36}$, которую нельзя записать конечной десятичной, почти наверняка где-то ошибка.
Какие умения нужны:
- сложение, вычитание, умножение и деление обыкновенных дробей и смешанных чисел;
- действия с десятичными дробями, особенно деление на десятичную дробь;
- порядок действий: скобки, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание;
- работа со знаком минус;
- многоэтажные дроби, где в числителе или знаменателе стоит ещё одна дробь.
Как выглядит задание
Встречаются три основных вида (числа ниже наши, не из ФИПИ):
- Обыкновенные дроби: найдите значение выражения $\left(\dfrac{7}{20} + \dfrac{3}{4}\right) \cdot 1{,}6$.
- Десятичные дроби: найдите значение выражения $\dfrac{1{,}8 - 4{,}5}{0{,}6}$.
- Многоэтажная дробь: найдите значение выражения $\dfrac{1}{\frac{1}{12} + \frac{1}{20}}$.
Алгоритм решения
- Определите порядок действий. Сначала скобки и числитель со знаменателем «большой» дроби, потом умножение и деление слева направо, потом сложение и вычитание.
- Выберите удобную форму чисел. Если в выражении есть и обыкновенные, и десятичные дроби, переведите всё в один вид. Десятичные вроде 1,6 удобно записать как $\frac{16}{10} = \frac{8}{5}$. Обыкновенные со знаменателями 2, 4, 5, 20, 25 легко переводятся в десятичные.
- Сложение и вычитание обыкновенных дробей делайте через общий знаменатель, лучше наименьший.
- Деление на дробь заменяйте умножением на перевёрнутую дробь.
- Деление десятичных дробей выполняйте, перенося запятую в делителе и делимом на одно и то же число знаков: $2{,}7 : 0{,}6 = 27 : 6$.
- Следите за знаком на каждом шаге: знак результата умножения и деления определяется до вычисления модуля.
- Проверьте ответ: он должен записываться конечной десятичной дробью или целым числом.
Обыкновенные или десятичные: что выбрать
Универсального правила нет, но есть простой ориентир. Если в выражении встречаются знаменатели 3, 6, 7, 9, 12, считайте в обыкновенных дробях: $\frac{1}{3}$ в десятичном виде бесконечная, и округление испортит ответ. Если все знаменатели — это 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 50, спокойно переходите к десятичным, так обычно быстрее.
Смешанные числа перед умножением и делением всегда переводите в неправильные дроби: $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$. Складывать и вычитать смешанные числа можно и по частям, но при вычитании, когда дробная часть уменьшаемого меньше, проще сразу перейти к неправильным дробям. Например, $\left(2\frac{1}{4} - 1\frac{5}{6}\right) : \frac{5}{12}$: сначала $\frac{9}{4} - \frac{11}{6} = \frac{27}{12} - \frac{22}{12} = \frac{5}{12}$, потом $\frac{5}{12} : \frac{5}{12} = 1$.
С отрицательными числами держите в голове правило знаков: при умножении и делении два минуса дают плюс, один минус даёт минус. Например, $-0{,}5 \cdot (-3{,}2) = 1{,}6$, а $-4{,}8 : 1{,}2 = -4$. Знак удобно определить до вычислений и отдельно записать на черновике.
Сколько времени тратить: на задание 6 разумно отвести 2–3 минуты вместе с проверкой. Если за это время ответ не сходится, пересчитайте каждое действие отдельно на черновике, не переписывая выражение целиком: ошибка чаще всего сидит в одном шаге.
Разбор примеров
Пример 1. Найдите значение выражения $\left(\dfrac{7}{20} + \dfrac{3}{4}\right) \cdot 1{,}6$.
Шаг 1. Скобки. Общий знаменатель 20: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{20}$.
$$\frac{7}{20} + \frac{15}{20} = \frac{22}{20} = 1{,}1.$$Знаменатель 20 легко переводится в десятичную дробь, поэтому дальше считаем в десятичных.
Шаг 2. Умножение. $1{,}1 \cdot 1{,}6 = 1{,}76$.
Ответ: 1,76.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. Найдите значение выражения $\dfrac{1{,}8 - 4{,}5}{0{,}6}$.
Шаг 1. Числитель. Из меньшего вычитаем большее, поэтому результат отрицательный:
$$1{,}8 - 4{,}5 = -(4{,}5 - 1{,}8) = -2{,}7.$$Шаг 2. Деление. Минус делим на плюс, получаем минус. Модуль: переносим запятую на один знак в обоих числах:
$$2{,}7 : 0{,}6 = 27 : 6 = 4{,}5.$$Шаг 3. Итог со знаком: $-4{,}5$.
Ответ: −4,5.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Найдите значение выражения $\dfrac{1}{\frac{1}{12} + \frac{1}{20}}$.
Шаг 1. Нижний этаж. Наименьший общий знаменатель 12 и 20 равен 60:
$$\frac{1}{12} + \frac{1}{20} = \frac{5}{60} + \frac{3}{60} = \frac{8}{60} = \frac{2}{15}.$$Шаг 2. Главная черта дроби — это деление. Делим 1 на $\frac{2}{15}$, то есть умножаем на перевёрнутую дробь:
$$1 : \frac{2}{15} = 1 \cdot \frac{15}{2} = \frac{15}{2} = 7{,}5.$$Ответ: 7,5.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Сложение дробей «напрямую»: $\frac{1}{12} + \frac{1}{20} \ne \frac{2}{32}$. Складывать можно только числители дробей с одинаковыми знаменателями.
- Потеря минуса в выражениях вида $1{,}8 - 4{,}5$. Если вычитаемое больше уменьшаемого, результат отрицательный.
- Сдвиг запятой только в одном числе при делении десятичных дробей. Запятую переносят в делимом и делителе на одинаковое число знаков.
- Неверная главная черта в многоэтажной дроби. Ищите самую длинную черту: она делит всё, что выше, на всё, что ниже.
- Ответ в виде обыкновенной дроби. В бланк ОГЭ пишут десятичную дробь: не $\frac{15}{2}$, а 7,5.
Что повторить
- Действия с дробями: сложение дробей
- Действия с дробями: деление дробей
- Действия с дробями: комплексные операции, когда всё вместе
- Умножение десятичных дробей и деление десятичных дробей
- Деление смешанных и десятичных чисел
- Многоэтажные дроби
- Порядок действий: комбинированные выражения
Коротко про общий знаменатель есть статья блога «Как складывать дроби с разными знаменателями».
Где потренироваться
- Практика по действиям с дробями: 30 заданий
- Практика по десятичным дробям: 30 заданий
- Практика по умножению и делению рациональных чисел: 30 заданий
- Практика по порядку действий: 30 заданий
Соседние задания: задания 1–5 — практико-ориентированные задачи и задание 7 — числа на координатной прямой. Все задания собраны в разделе ОГЭ.