Что проверяет задание 17
Задание 17 первой части ОГЭ стоит 1 первичный балл и посвящено четырёхугольникам: параллелограмму, прямоугольнику, ромбу, квадрату и трапеции. Нужно найти угол, длину отрезка или площадь. Как и в соседних геометрических заданиях, решение занимает несколько строк, если знаешь нужное свойство фигуры. Если не знаешь, задачу не спасут никакие вычисления.
Что нужно уметь:
- знать свойства параллелограмма: противоположные стороны и углы равны, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$, диагонали точкой пересечения делятся пополам;
- знать свойства ромба (диагонали перпендикулярны и делят углы пополам) и прямоугольника (диагонали равны);
- находить среднюю линию трапеции: $m = \dfrac{a + b}{2}$;
- считать площади: параллелограмма $S = ah$ или $S = ab\sin\alpha$, трапеции $S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h$, ромба $S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$.
Как выглядит задание
Типичные формулировки (свои аналоги):
Один угол параллелограмма на $38°$ больше другого. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Основания трапеции равны 7 и 15, а высота равна 6. Найдите площадь трапеции.
Диагонали ромба равны 10 и 24. Найдите периметр ромба.
Алгоритм решения
- Назови фигуру и выпиши её свойства. Для параллелограмма — про углы и диагонали, для трапеции — про основания и среднюю линию, для ромба — про перпендикулярные диагонали.
- Ищи треугольники внутри фигуры. Диагональ или высота разбивает четырёхугольник на треугольники, и дальше работают сумма углов, теорема Пифагора, синус и косинус.
- Если нужен угол, помни: в параллелограмме углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $180°$. В трапеции то же верно для углов при боковой стороне.
- Если нужна площадь, выбери формулу по имеющимся данным: есть высота — через высоту; есть две стороны и угол — через синус; есть диагонали ромба — через их произведение.
- Проверь результат на правдоподобие. Угол параллелограмма меньше $180°$, средняя линия трапеции лежит между основаниями по длине.
Какие свойства у какой фигуры
| Свойство | Параллелограмм | Прямоугольник | Ромб | Квадрат |
|---|---|---|---|---|
| Противоположные стороны параллельны и равны | да | да | да | да |
| Диагонали делятся точкой пересечения пополам | да | да | да | да |
| Диагонали равны | не всегда | да | не всегда | да |
| Диагонали перпендикулярны | не всегда | не всегда | да | да |
| Диагонали — биссектрисы углов | не всегда | не всегда | да | да |
| Все углы прямые | не всегда | да | не всегда | да |
У трапеции параллельна только одна пара сторон — основания. Углы, прилежащие к боковой стороне, в сумме дают $180°$. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны и диагонали равны.
Разбор примеров
Пример 1. Один угол параллелограмма на $38°$ больше другого. Найди больший угол параллелограмма.
Решение.
В параллелограмме две пары равных углов, и соседние углы в сумме дают $180°$. Пусть меньший угол равен $x$, тогда больший $x + 38°$:
$$x + (x + 38°) = 180°, \qquad 2x = 142°, \qquad x = 71°$$Больший угол: $71° + 38° = 109°$.
Ответ: 109.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. Основания трапеции равны 7 и 15, а высота равна 6. Найди площадь трапеции.
Решение.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Полусумма оснований — это и есть средняя линия:
$$m = \frac{7 + 15}{2} = 11$$$$S = m \cdot h = 11 \cdot 6 = 66$$Ответ: 66.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Диагонали ромба равны 10 и 24. Найди периметр ромба.
Решение.
Шаг 1. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Они разбивают ромб на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами $10 : 2 = 5$ и $24 : 2 = 12$.
Шаг 2. Сторона ромба — гипотенуза такого треугольника:
$$a = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$Шаг 3. У ромба все стороны равны: $P = 4 \cdot 13 = 52$.
Ответ: 52.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Сложили противоположные углы вместо соседних. $180°$ в сумме дают углы, прилежащие к одной стороне. Противоположные углы параллелограмма равны.
- В формуле площади трапеции забыли поделить на 2. Умножать на высоту нужно полусумму оснований, а не их сумму.
- Взяли боковую сторону вместо высоты. Для площади нужна именно высота, перпендикулярная основаниям. Наклонная боковая сторона длиннее высоты.
- Приписали ромбу свойства прямоугольника. У ромба диагонали перпендикулярны, но в общем случае не равны. У прямоугольника диагонали равны, но в общем случае не перпендикулярны.
- Использовали диагонали ромба целиком в теореме Пифагора. Катеты — это половины диагоналей.
- Перепутали углы трапеции. В сумме $180°$ дают углы при одной боковой стороне, а не углы при одном основании. Углы при основании равны друг другу только у равнобедренной трапеции.
Что повторить
- Площадь — урок 5 класса о площади прямоугольника и квадрата и о единицах площади.
- Площадь треугольника через синус угла. Параллелограмм диагональю делится на два равных треугольника, поэтому $S = ab\sin\alpha$.
- Площади фигур — статья блога с формулами площади параллелограмма и трапеции.
Честно о пробелах: отдельного урока по четырёхугольникам на сайте пока нет. Не разобраны свойства и признаки параллелограмма, ромба и трапеции, средняя линия трапеции, углы при основаниях. Площади параллелограмма и трапеции есть только в статье блога, а урок 57 рассчитан на 5 класс и даёт только площадь прямоугольника и квадрата. Свойства, перечисленные в начале этой страницы, — минимум, которого хватает для задания 17.
Где потренироваться
- Практика по периметру, площади и объёму: 30 заданий
- Практика по тригонометрии в геометрии: 30 заданий
Соседние задания ОГЭ: задание 16 — окружность, задание 18 — фигуры на клетчатой бумаге. Площади четырёхугольников понадобятся и в задании 18, только там размеры считают по клеткам.