Задание 20 открывает вторую часть ОГЭ. Здесь впервые нужно не просто записать число в бланк, а показать полное решение. Сама алгебра обычно несложная, уровень 8–9 класса. Баллы теряют на оформлении: пропущенный корень, забытое ограничение знаменателя, ответ без обоснования.
Что проверяет задание 20
Это задание второй части экзамена с развёрнутым ответом, за него дают до 2 первичных баллов. Проверяющий смотрит на весь ход решения, а не только на ответ: верный ответ без выкладок не засчитают, а мелкая вычислительная ошибка при правильном методе может стоить одного балла, а не двух.
Какие умения нужны:
- решать уравнения высших степеней разложением на множители: группировкой, вынесением общего множителя, формулами сокращённого умножения;
- делать замену переменной, когда в уравнении повторяется одно и то же выражение;
- решать рациональные и дробно-рациональные неравенства методом интервалов;
- решать системы уравнений подстановкой или сложением;
- уверенно работать с квадратным уравнением: дискриминант, формула корней, теорема Виета.
Как выглядит задание
Формулировки короткие, одной строкой. Типичные варианты (это аналоги, а не задачи из КИМ):
- Решите уравнение $x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0$.
- Решите неравенство $\dfrac{-15}{(x+1)^2 - 5} \ge 0$.
- Решите систему уравнений $\begin{cases} x^2 + y = 7, \\ 2x^2 - y = 5. \end{cases}$
В бланк переписывают всё решение, в конце пишут ответ. Если корней несколько, перечисляют все.
Алгоритм решения
- Определите тип. Уравнение, неравенство или система? Есть ли дробь, то есть ограничение на переменную?
- Запишите ОДЗ, если есть знаменатель: выражение в знаменателе не равно нулю.
- Перенесите всё в одну часть, чтобы справа остался ноль. Сокращать обе части на выражение с переменной нельзя: так теряются корни.
- Упростите структуру:
- есть общий множитель или группы слагаемых — раскладывайте на множители;
- одно и то же выражение встречается несколько раз — вводите замену $t = \ldots$;
- осталось квадратное уравнение — дискриминант или теорема Виета.
- Для неравенства примените метод интервалов: найдите нули числителя и знаменателя, отметьте их на прямой, расставьте знаки, выберите нужные промежутки. Нули знаменателя всегда выколоты.
- Проверьте ответ: корни подходят в ОДЗ, после замены сделан обратный переход к $x$, концы промежутков включены или исключены правильно.
- Запишите ответ отдельной строкой.
Разбор примеров
Пример 1. Решите уравнение $x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0$.
Уравнение третьей степени. Формулы корней для него в школе нет, поэтому раскладываем на множители группировкой: первые два слагаемых и последние два.
$$x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = x^2(x + 3) - 4(x + 3) = (x + 3)(x^2 - 4).$$Вторую скобку раскладываем по формуле разности квадратов:
$$(x + 3)(x - 2)(x + 2) = 0.$$Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
$$x + 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = -3; \qquad x - 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2; \qquad x + 2 = 0 \;\Rightarrow\; x = -2.$$Проверка для $x = -2$: $-8 + 12 + 8 - 12 = 0$. Верно.
Ответ: $-3;\ -2;\ 2$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. Решите уравнение $(x^2 - 2x)^2 - 2(x^2 - 2x) - 3 = 0$.
Выражение $x^2 - 2x$ встречается дважды. Раскрывать скобки не нужно: получится уравнение четвёртой степени. Вводим замену $t = x^2 - 2x$:
$$t^2 - 2t - 3 = 0.$$По теореме Виета $t_1 + t_2 = 2$, $t_1 t_2 = -3$, откуда $t_1 = 3$, $t_2 = -1$.
Обратная замена, это самое важное место:
-
$x^2 - 2x = 3 \;\Rightarrow\; x^2 - 2x - 3 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3$ или $x = -1$.
-
$x^2 - 2x = -1 \;\Rightarrow\; x^2 - 2x + 1 = 0 \;\Rightarrow\; (x - 1)^2 = 0 \;\Rightarrow\; x = 1$.
Ответ: $-1;\ 1;\ 3$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Решите неравенство $\dfrac{-15}{(x+1)^2 - 5} \ge 0$.
Числитель равен $-15$ и отрицателен при любом $x$. Значит, дробь неотрицательна только тогда, когда знаменатель отрицателен. Равенство нулю невозможно: числитель не ноль, а знаменатель нулём быть не может.
$$(x + 1)^2 - 5 < 0 \;\Leftrightarrow\; (x + 1)^2 < 5 \;\Leftrightarrow\; -\sqrt{5} < x + 1 < \sqrt{5}.$$Вычитаем 1 из всех частей:
$$-1 - \sqrt{5} < x < -1 + \sqrt{5}.$$То же можно получить методом интервалов: знаменатель $(x + 1 - \sqrt5)(x + 1 + \sqrt5)$ имеет нули $-1 \pm \sqrt5$. Знаки знаменателя на промежутках: «плюс, минус, плюс», нужен средний промежуток. Концы выколоты, потому что это нули знаменателя.
Ответ: $(-1 - \sqrt{5};\ -1 + \sqrt{5})$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Деление обеих частей на выражение с $x$. Если в уравнении $x^3 = 4x$ разделить на $x$, теряется корень $x = 0$. Правильно вынести $x$ за скобку: $x(x^2 - 4) = 0$.
- Нет обратной замены. В ответ пишут значения $t$, а спрашивали про $x$. Это сразу ноль баллов.
- Закрашенные нули знаменателя. В дробном неравенстве нули знаменателя всегда выколоты, даже при знаке $\ge$ или $\le$.
- Потерянный промежуток или лишний корень. Всегда проверяйте концы промежутков и ОДЗ.
- Только ответ. Во второй части ответ без решения не оценивается. Записывайте каждый переход: разложение, найденные корни, выбор промежутков.
Что повторить
- Неравенства и метод интервалов: Блок 3: Метод интервалов и Блок 2: Квадратные неравенства в уроке «Неравенства: линейные, квадратные, с модулем».
- Разложение на множители: Блок 2: Способ группировки и Блок 4: Комбинированные способы в уроке «Разложение многочлена на множители».
- Квадратные уравнения: Блок 3: Дискриминант и формула корней.
- Разложение трёхчлена, чтобы подготовить неравенство к методу интервалов: Блок 1: Основная формула разложения.
- Системы: Блок 3: Метод подстановки в уроке «Системы линейных уравнений».
- Коротко о способах разложения: статья блога Разложение на множители: способы и примеры.
Честно о пробелах: отдельного урока про нелинейные системы на сайте пока нет, урок 51 разбирает только линейные. Приём тот же: выразите одну переменную или сложите уравнения, чтобы одна переменная исчезла. Разбора критериев оценивания ОГЭ и образцов оформления в уроках тоже нет, их заменяют примеры на этой странице.
Где потренироваться
- Практика: 30 заданий по неравенствам. Задачи 21–30 по уровню ближе всего к заданию 20.
- Практика: 30 заданий по разложению на множители.
- Практика: 30 заданий по квадратным уравнениям.
- Практика: 30 заданий по разложению трёхчлена.
- Практика: 30 заданий по системам.
Соседние задания ОГЭ: задание 13 (неравенства из первой части, база для этого задания), задание 9 (уравнения с кратким ответом) и задание 21 (текстовые задачи).