Что проверяет задание 15
С задания 15 начинается геометрический блок первой части ОГЭ. Задание стоит 1 первичный балл и почти всегда связано с треугольником. Нужно найти угол, сторону или площадь, опираясь на одно-два известных свойства. Задача решается в два-три действия, но требует знать базовые факты планиметрии наизусть. Чертёж в условии обычно есть, однако он не обязательно выполнен в масштабе, поэтому измерять линейкой бессмысленно.
Что нужно уметь:
- пользоваться суммой углов треугольника ($180°$) и свойствами равнобедренного треугольника (углы при основании равны);
- знать, что такое биссектриса, медиана и высота, и чем они отличаются;
- применять теорему Пифагора;
- находить стороны прямоугольного треугольника через синус, косинус и тангенс острого угла;
- считать площадь треугольника: через основание и высоту, а также через две стороны и угол между ними.
Как выглядит задание
Типичные формулировки (свои аналоги):
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 48°$. Найдите угол $BAC$. Ответ дайте в градусах.
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90°$, $AB = 25$, $\cos A = 0{,}6$. Найдите $BC$.
Две стороны треугольника равны 12 и 9, а угол между ними равен $150°$. Найдите площадь треугольника.
Алгоритм решения
- Перенеси данные на чертёж. Отметь равные стороны, известные углы и прямой угол. Часто уже после этого видно, какое свойство нужно.
- Определи тип треугольника. Равнобедренный — углы при основании равны. Прямоугольный — работают теорема Пифагора и определения синуса, косинуса и тангенса.
- Выбери связь между данными и искомым:
- известны углы, нужен угол — сумма углов $180°$;
- в прямоугольном треугольнике известны две стороны, нужна третья — теорема Пифагора $c^2 = a^2 + b^2$;
- известны сторона и острый угол — $\sin A = \dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$, $\cos A = \dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$, $\operatorname{tg} A = \dfrac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}}$;
- известны две стороны и угол между ними, нужна площадь — $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$.
- Посчитай и проверь правдоподобие. Катет всегда меньше гипотенузы, сумма найденных углов равна $180°$.
Короткая шпаргалка по треугольнику
- Сумма углов любого треугольника равна $180°$. Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.
- В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Биссектриса, проведённая к основанию, одновременно медиана и высота.
- В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90°$. Катет, лежащий против угла $30°$, равен половине гипотенузы.
- Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
- Основное тригонометрическое тождество $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ позволяет по косинусу найти синус и наоборот.
- Табличные значения: $\sin 30° = \cos 60° = \dfrac{1}{2}$, $\sin 45° = \cos 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60° = \cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
- Самые частые «пифагоровы тройки»: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25. С ними корень извлекается без вычислений.
Разбор примеров
Пример 1. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 48°$. Найди угол $BAC$.
Решение.
Раз $AB = BC$, треугольник равнобедренный с основанием $AC$. Углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA$.
По сумме углов треугольника:
$$\angle BAC = \frac{180° - 48°}{2} = \frac{132°}{2} = 66°$$Ответ: 66.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90°$, гипотенуза $AB = 25$, $\cos A = 0{,}6$. Найди $BC$.
Решение.
Шаг 1. Косинус угла $A$ — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Прилежащий к углу $A$ катет — это $AC$:
$$AC = AB \cdot \cos A = 25 \cdot 0{,}6 = 15$$Шаг 2. Катет $BC$ находим по теореме Пифагора:
$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20$$Другой путь: $\sin A = \sqrt{1 - 0{,}36} = 0{,}8$, и $BC = 25 \cdot 0{,}8 = 20$. Результат тот же.
Ответ: 20.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Две стороны треугольника равны 12 и 9, а угол между ними равен $150°$. Найди площадь треугольника.
Решение.
Известны две стороны и угол между ними — подходит формула $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$.
Синус тупого угла равен синусу смежного с ним острого: $\sin 150° = \sin 30° = \dfrac{1}{2}$.
$$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 9 \cdot \frac{1}{2} = 27$$Ответ: 27.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Перепутали прилежащий и противолежащий катет. Прилежащий катет — тот, что образует угол вместе с гипотенузой, противолежащий лежит напротив угла. Проговаривай это для каждого угла отдельно.
- Применили теорему Пифагора к непрямоугольному треугольнику. Она верна только при прямом угле. Для произвольного треугольника есть теорема косинусов.
- В формуле площади взяли не тот угол. В $S = \dfrac{1}{2}ab\sin C$ угол $C$ должен лежать между сторонами $a$ и $b$.
- Решили, что синус тупого угла отрицательный. Отрицателен косинус тупого угла, а синус положителен: $\sin 150° = \dfrac{1}{2}$.
- Спутали биссектрису, медиану и высоту. Биссектриса делит угол пополам, медиана делит противоположную сторону пополам, высота перпендикулярна стороне.
Что повторить
- Решение прямоугольных треугольников — синус, косинус и тангенс острого угла в деле.
- Площадь треугольника через синус угла.
- От теоремы Пифагора к теореме косинусов.
- Теорема синусов: вывод и формулировка — для задач, где известны сторона и противолежащий угол.
- Статьи блога: теорема Пифагора, синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике, площади фигур.
Честно о пробелах: уроков школьной планиметрии 7–9 класса на сайте пока нет. Сумма углов треугольника, равнобедренный треугольник, биссектриса, медиана, высота, признаки равенства и подобия, внешний угол отдельно не разобраны. Уроки 108–110 написаны для 10 класса и покрывают вычисления в прямоугольном треугольнике, площадь через синус и теоремы синусов и косинусов. Теорема Пифагора разобрана только в статье блога.
Где потренироваться
- Практика по тригонометрии в геометрии: 30 заданий
- Практика по теореме косинусов: 30 заданий
- Практика по теореме синусов: 30 заданий
Соседние задания ОГЭ: задание 14 — прогрессии, задание 16 — окружность. Более сложные задачи на треугольники ждут во второй части, в задании 23.