В задании 7 ОГЭ почти всегда присутствует координатная прямая: на ней отмечена точка или несколько точек, а спрашивают, какое число им соответствует или какое утверждение верно. Считать много не нужно. Нужно уметь быстро прикинуть, между какими целыми числами лежит дробь или корень, и понимать, что происходит с числом при смене знака, возведении в квадрат или переходе к обратному.
Что проверяет задание 7
Задание 7 относится к части 1 и оценивается в 1 первичный балл. Особенность — формат ответа: это выбор номера варианта. В бланк пишут одну цифру, номер верного ответа из четырёх, а не само число.
Какие умения нужны:
- находить место числа на координатной прямой;
- сравнивать рациональные числа: обыкновенные и десятичные дроби, отрицательные числа;
- сравнивать числа с корнями без калькулятора;
- оценивать значение выражения, если известно, между какими числами лежит переменная.
Как выглядит задание
Два самых частых вида (формулировки наши):
- Какое число на отрезке. «Какое из чисел $\sqrt{15}$, $\sqrt{17}$, $\sqrt{26}$, $\sqrt{30}$ принадлежит отрезку $[4;\,5]$? В ответе укажите номер варианта».
- Утверждение про точку $a$. «На координатной прямой отмечено число $a$, оно лежит между −2 и −1. Какое из утверждений верно?» Дальше четыре неравенства с $a$.
Иногда вместо этого дают несколько дробей и просят выбрать наибольшую или наименьшую, либо определить, какой из отмеченных точек соответствует данное число.
Алгоритм решения
- Запишите, что известно, двойным неравенством. Точка $a$ между −2 и −1 превращается в $-2 < a < -1$.
- Для корней возведите границы в квадрат. Отрезок $[4;\,5]$ для чисел вида $\sqrt{n}$ означает $16 \le n \le 25$.
- Для дробей переведите всё в десятичный вид с двумя-тремя знаками или приведите к общему знаменателю.
- Для утверждений с буквой подставьте проверочное значение из промежутка, например $a = -1{,}5$. Утверждение, которое неверно хотя бы для одного допустимого значения, отбрасывается.
- Проверьте выбранный вариант аккуратно, через двойное неравенство, а не только на одном числе.
- Запишите в ответ номер варианта.
Полезно помнить квадраты чисел от 1 до 20: тогда место любого корня на прямой находится за секунды. Например, $\sqrt{50}$ лежит между 7 и 8, потому что $49 < 50 < 64$, причём ближе к 7. Для дробей удобен приём сравнения крест-накрест: $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ с положительными знаменателями сравнивают так же, как произведения $ad$ и $bc$.
Разбор примеров
Пример 1. Какое из чисел принадлежит отрезку $[4;\,5]$?
- $\sqrt{15}$ 2) $\sqrt{17}$ 3) $\sqrt{26}$ 4) $\sqrt{30}$
Шаг 1. Переходим к квадратам. Все числа неотрицательные, поэтому сравнивать их можно по квадратам. Отрезок $[4;\,5]$ в квадратах: $[16;\,25]$.
Шаг 2. Проверяем подкоренные выражения.
- $15 < 16$, значит $\sqrt{15} < 4$: не подходит.
- $16 \le 17 \le 25$, значит $4 \le \sqrt{17} \le 5$: подходит.
- $26 > 25$ и $30 > 25$: оба больше 5, не подходят.
Ответ: 2.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. На координатной прямой отмечено число $a$, лежащее между −2 и −1. Какое из утверждений верно?
- $a + 1 > 0$ 2) $a^2 < 1$ 3) $-a > 1$ 4) $\dfrac{1}{a} < -1$
Шаг 1. Записываем условие: $-2 < a < -1$.
Шаг 2. Проверяем каждое утверждение.
-
Прибавим 1 ко всем частям: $-1 < a + 1 < 0$. Значит, $a + 1$ отрицательно, утверждение неверно.
-
Обе границы отрицательные, при возведении в квадрат знаки неравенства меняются: $1 < a^2 < 4$. Значит, $a^2 > 1$, утверждение неверно.
-
Умножим на −1, знаки неравенства меняются: $1 < -a < 2$. Значит, $-a > 1$, утверждение верно.
-
Для отрицательных чисел переход к обратным тоже меняет знаки: $-1 < \dfrac{1}{a} < -\dfrac{1}{2}$. Значит, $\dfrac{1}{a} > -1$, утверждение неверно.
Проверка на числе $a = -1{,}5$: $a + 1 = -0{,}5$; $a^2 = 2{,}25$; $-a = 1{,}5$; $\frac{1}{a} \approx -0{,}67$. Верно только третье.
Ответ: 3.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Какое из чисел наименьшее?
- $\dfrac{5}{7}$ 2) $0{,}7$ 3) $\dfrac{8}{11}$ 4) $\dfrac{3}{4}$
Шаг 1. Переводим в десятичные дроби с тремя знаками:
$$\frac{5}{7} \approx 0{,}714, \quad 0{,}7 = 0{,}700, \quad \frac{8}{11} \approx 0{,}727, \quad \frac{3}{4} = 0{,}750.$$Шаг 2. Сравниваем. Наименьшее: $0{,}700$.
Можно и без деления: $\frac{5}{7} > \frac{7}{10}$, потому что $5 \cdot 10 = 50 > 7 \cdot 7 = 49$. Остальные дроби больше $\frac{5}{7}$.
Ответ: 2.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- В ответ пишут число, а не номер. В задании 7 нужен номер варианта: «2», а не «$\sqrt{17}$».
- Забывают менять знак неравенства при умножении на отрицательное число или при переходе к обратным отрицательным числам.
- Возводят в квадрат отрицательные границы «как есть». Из $-2 < a < -1$ не следует $4 < a^2 < 1$. Для отрицательных чисел больший по модулю даёт больший квадрат.
- Путают, что левее на прямой. Из двух отрицательных чисел меньше то, у которого больше модуль: $-2 < -1$.
- Проверяют утверждение на одном числе и сразу пишут ответ. Одно число помогает отбросить неверные варианты, но верный лучше подтвердить неравенствами.
Что повторить
- Рациональные числа на координатной прямой
- Сравнение рациональных чисел: главное правило — координатная прямая
- Сравнение десятичных дробей
- Отрицательные числа: точки на координатной прямой
- Квадратный корень: сравнение чисел с корнями
Таблица квадратов для быстрой прикидки корней есть в статье блога «Квадратный корень: таблица и калькулятор».
Где потренироваться
- Практика по рациональным числам: 30 заданий
- Практика по сравнению рациональных чисел: 30 заданий
- Практика по отрицательным числам: 30 заданий
- Практика по квадратному корню: 30 заданий
Соседние задания: задание 6 — вычисления с дробями и задание 8 — степени и корни. Все задания собраны в разделе ОГЭ.