Что проверяет задание 14
Задание 14 — последнее алгебраическое задание первой части ОГЭ, оно стоит 1 первичный балл. Почти всегда это текстовая задача с бытовым сюжетом. Спортсмен каждый день увеличивает дистанцию, в зрительном зале ряды становятся длиннее, вещество распадается, бактерии делятся. Слово «прогрессия» в условии может и не прозвучать. Твоя задача — увидеть прогрессию в тексте, определить её первый член и разность (или знаменатель) и применить нужную формулу.
Что нужно уметь:
- распознавать арифметическую прогрессию («каждый раз на столько-то больше или меньше») и геометрическую («каждый раз во столько-то раз»);
- находить $n$-й член: $a_n = a_1 + (n-1)d$ и $b_n = b_1 q^{\,n-1}$;
- находить сумму первых $n$ членов: $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ для арифметической и $S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ для геометрической;
- правильно считать номер члена, когда в условии идёт речь о минутах, днях или рядах.
Как выглядит задание
Типичные формулировки (свои аналоги):
В первый день тренировок бегун пробежал 3 км, а каждый следующий день пробегал на 0,5 км больше, чем в предыдущий. Сколько километров он пробежал в десятый день?
Масса радиоактивного вещества в начале опыта составляла 640 мг. Каждые 3 минуты половина имеющегося вещества распадается. Какая масса вещества (в мг) останется через 18 минут?
Сами формулы простые. Основные потери баллов здесь из-за неверно определённого номера члена и путаницы между одним членом и суммой.
Алгоритм решения
- Определи тип прогрессии. «На столько-то больше или меньше» — арифметическая, ищем разность $d$. «Во столько-то раз», «половина», «удваивается», «на столько-то процентов» — геометрическая, ищем знаменатель $q$.
- Найди первый член. Это значение в первый день, в первом ряду, в начальный момент.
- Определи номер члена, о котором спрашивают. Будь внимателен со временем: если начальная масса — это $b_1$, то через один период будет $b_2$, а через $k$ периодов — $b_{k+1}$.
- Пойми, что спрашивают: один член или сумму. «Сколько в десятый день» — это $a_{10}$. «Сколько всего за десять дней» — это $S_{10}$.
- Подставь в формулу и посчитай. Если членов немного, результат можно проверить, выписав последовательность подряд.
Шпаргалка по формулам
| Арифметическая | Геометрическая | |
|---|---|---|
| Как связаны соседние члены | $a_{n+1} = a_n + d$ | $b_{n+1} = b_n \cdot q$ |
| $n$-й член | $a_n = a_1 + (n-1)d$ | $b_n = b_1 q^{\,n-1}$ |
| Сумма первых $n$ членов | $S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ | $S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, $q \ne 1$ |
| Сигнал в тексте | «на … больше», «на … меньше» | «в … раз», «половина», «удваивается» |
Есть и вторая форма суммы арифметической прогрессии: $S_n = \dfrac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$. Она удобна, когда последний член не известен и считать его отдельно не хочется. Обе формы дают один и тот же результат.
Разбор примеров
Пример 1. В первый день тренировок бегун пробежал 3 км, а каждый следующий день пробегал на 0,5 км больше. Сколько километров он пробежал в десятый день?
Решение.
«На 0,5 км больше» — арифметическая прогрессия с $a_1 = 3$ и $d = 0{,}5$. Спрашивают один член с номером 10.
$$a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 9 \cdot 0{,}5 = 3 + 4{,}5 = 7{,}5$$Ответ: 7,5.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. В первом ряду амфитеатра 18 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Всего в амфитеатре 12 рядов. Сколько мест в амфитеатре?
Решение.
Шаг 1. Арифметическая прогрессия: $a_1 = 18$, $d = 3$, $n = 12$. Спрашивают общее число мест, то есть сумму $S_{12}$.
Шаг 2. Находим последний член: $a_{12} = 18 + 11 \cdot 3 = 18 + 33 = 51$.
Шаг 3. Сумма:
$$S_{12} = \frac{a_1 + a_{12}}{2} \cdot 12 = \frac{18 + 51}{2} \cdot 12 = 69 \cdot 6 = 414$$Ответ: 414.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Масса радиоактивного вещества в начале опыта составляла 640 мг. Каждые 3 минуты половина имеющегося вещества распадается. Какая масса вещества (в мг) останется через 18 минут?
Решение.
Шаг 1. Масса каждый раз уменьшается вдвое — это геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \dfrac{1}{2}$. Начальная масса $b_1 = 640$.
Шаг 2. Считаем периоды: $18 : 3 = 6$ периодов полураспада. Начальному моменту соответствует $b_1$, после первого периода — $b_2$, после шестого — $b_7$.
Шаг 3.
$$b_7 = b_1 \cdot q^6 = 640 \cdot \frac{1}{64} = 10$$Проверка выписыванием: 640, 320, 160, 80, 40, 20, 10. Седьмой член равен 10.
Ответ: 10.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Сдвиг номера на единицу. Самая частая ошибка в задании 14. Через 6 периодов — это седьмой член, а не шестой, потому что первый член соответствует началу отсчёта. В арифметической прогрессии в формуле стоит $(n - 1)d$, а не $nd$.
- Нашли член вместо суммы или наоборот. Перечитай вопрос. «Сколько в последний день» и «сколько за все дни» — разные величины.
- Перепутали разность и знаменатель. «Уменьшается на 2» даёт $d = -2$, а «уменьшается в 2 раза» даёт $q = \dfrac{1}{2}$.
- Потеряли знак убывающей прогрессии. Если величина уменьшается на одно и то же число, разность отрицательная, например $d = -3$.
- Ошиблись в степени. $\left(\dfrac{1}{2}\right)^6 = \dfrac{1}{64}$, а не $\dfrac{1}{12}$. Небольшие степени надёжнее проверить выписыванием членов.
Что повторить
- Арифметическая прогрессия: формула $n$-го члена и сумма первых $n$ членов, приём Гаусса.
- Геометрическая прогрессия: формула n-го члена и сумма первых n членов.
- Три способа задать последовательность — если задача задаёт последовательность формулой или рекуррентно.
- Период полураспада — сюжеты про распад и рост.
Уроки 125–128 написаны для старших классов и местами содержат примеры из машинного обучения. Для задания 14 достаточно разделов по ссылкам выше. Логарифмы из урока 125 на ОГЭ не нужны.
Где потренироваться
- Практика по арифметической прогрессии: 30 заданий
- Практика по геометрической прогрессии: 30 заданий
- Практика по последовательностям: 30 заданий
Соседние задания ОГЭ: задание 13 — неравенства, задание 15 — треугольники. С задания 15 начинается геометрия.