Задание 21 — это текстовая задача, которую решают уравнением. Сюжеты повторяются из года в год: лодка на реке, две трубы или два рабочих, смесь растворов или сплав. Вычисления несложные. Главная трудность — перевести условие на язык формул и не запутаться в том, что обозначено за $x$.
Что проверяет задание 21
Задание из второй части ОГЭ с развёрнутым ответом, за него дают до 2 первичных баллов. Нужно записать решение целиком: что обозначено за переменную, какое уравнение составлено и почему, как оно решено, какой корень выбран.
Какие умения нужны:
- знать формулы $S = v \cdot t$ и $A = p \cdot t$ (работа = производительность × время) и выражать из них любую величину;
- учитывать скорость течения: по течению скорости складываются, против течения вычитаются;
- принимать всю работу за 1, если объём не задан числом;
- в задачах на смеси считать отдельно «чистое вещество» и общую массу;
- составлять уравнение, в том числе дробное, сводить его к квадратному и отбрасывать корни, которые не подходят по смыслу.
Как выглядит задание
Типичные формулировки (аналоги, а не задачи ФИПИ):
- Моторная лодка прошла против течения 48 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде 10 км/ч.
- Первая труба пропускает на 4 литра в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 192 литра она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая?
Алгоритм решения
Это тот же пятишаговый алгоритм, что в уроке «Решаем задачи с помощью уравнений», только с поправкой на экзамен.
- Выберите неизвестное. Обычно за $x$ берут то, что спрашивают. Если так уравнение получается громоздким, берите скорость или производительность. Запишите явно: «Пусть $x$ км/ч — скорость течения».
- Составьте таблицу. Для движения столбцы такие: скорость, время, расстояние. Для работы: производительность, время, объём. Для смесей: масса, доля вещества, масса вещества. Заполните клетки через $x$.
- Найдите равенство. В условии всегда есть фраза, которая даёт уравнение: «на 2 часа меньше», «вместе за 6 часов», «получили 36-процентный раствор».
- Решите уравнение. Дробное уравнение умножьте на общий знаменатель и получите квадратное. Помните, что знаменатели не равны нулю.
- Отберите корни по смыслу. Скорость, время и масса положительны. Скорость течения меньше собственной скорости лодки.
- Ответьте на вопрос задачи. Если за $x$ взяли скорость второй трубы, а спрашивают про первую, сделайте ещё одно действие.
Разбор примеров
Пример 1 (движение по реке). Моторная лодка прошла против течения 48 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Скорость лодки в неподвижной воде 10 км/ч. Найдите скорость течения.
Пусть $v$ км/ч — скорость течения, $0 < v < 10$.
| Скорость, км/ч | Расстояние, км | Время, ч | |
|---|---|---|---|
| Против течения | $10 - v$ | 48 | $\dfrac{48}{10 - v}$ |
| По течению | $10 + v$ | 48 | $\dfrac{48}{10 + v}$ |
Против течения лодка шла дольше на 2 часа:
$$\frac{48}{10 - v} - \frac{48}{10 + v} = 2.$$Умножим на $(10 - v)(10 + v) \ne 0$:
$$48(10 + v) - 48(10 - v) = 2(100 - v^2) \;\Rightarrow\; 96v = 200 - 2v^2 \;\Rightarrow\; v^2 + 48v - 100 = 0.$$$D = 48^2 + 4 \cdot 100 = 2304 + 400 = 2704 = 52^2$, откуда $v = \dfrac{-48 + 52}{2} = 2$ или $v = \dfrac{-48 - 52}{2} = -50$.
Скорость не может быть отрицательной, остаётся $v = 2$. Проверка: $48 : 8 = 6$ ч, $48 : 12 = 4$ ч, разница 2 ч.
Ответ: 2 км/ч.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2 (работа, трубы). Первая труба пропускает на 4 литра в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 192 литра она заполняет на 4 минуты дольше, чем вторая?
Пусть $x$ л/мин — производительность второй трубы, тогда первая пропускает $x - 4$ л/мин, $x > 4$.
Время заполнения: у первой трубы $\dfrac{192}{x - 4}$ мин, у второй $\dfrac{192}{x}$ мин. Первая работает на 4 минуты дольше:
$$\frac{192}{x - 4} - \frac{192}{x} = 4.$$Умножим на $x(x - 4) \ne 0$:
$$192x - 192(x - 4) = 4x(x - 4) \;\Rightarrow\; 768 = 4x^2 - 16x \;\Rightarrow\; x^2 - 4x - 192 = 0.$$$D = 16 + 768 = 784 = 28^2$, $x = \dfrac{4 + 28}{2} = 16$ или $x = \dfrac{4 - 28}{2} = -12$ (не подходит).
Вторая труба пропускает 16 л/мин, а спрашивают про первую: $16 - 4 = 12$ л/мин. Проверка: $192 : 12 = 16$ мин, $192 : 16 = 12$ мин, разница 4 мин.
Ответ: 12 литров в минуту.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3 (смеси). Смешали 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавили 10 кг чистой воды. Получили 36-процентный раствор. Если бы вместо воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, получили бы 41-процентный раствор. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали?
Пусть взяли $x$ кг 30-процентного и $y$ кг 60-процентного раствора. Кислоты в них $0{,}3x + 0{,}6y$ кг.
С водой масса смеси $x + y + 10$, кислоты столько же:
$$0{,}3x + 0{,}6y = 0{,}36(x + y + 10).$$С 50-процентным раствором кислоты добавилось $0{,}5 \cdot 10 = 5$ кг:
$$0{,}3x + 0{,}6y + 5 = 0{,}41(x + y + 10).$$Вычтем первое уравнение из второго: $5 = 0{,}05(x + y + 10)$, откуда $x + y + 10 = 100$ и $x + y = 90$.
Подставим в первое уравнение: $0{,}3x + 0{,}6y = 36$. Из $y = 90 - x$ получаем $0{,}3x + 54 - 0{,}6x = 36$, то есть $0{,}3x = 18$ и $x = 60$.
Проверка: $y = 30$, кислоты $18 + 18 = 36$ кг, масса смеси $100$ кг, это 36 %. Во втором случае $41 : 100 = 41$ %.
Ответ: 60 кг.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Неправильный порядок вычитания. «На 2 часа меньше» означает: из большего времени вычесть меньшее. Сначала решите, какое время больше, потом пишите уравнение.
- Ответ не на тот вопрос. За $x$ взяли вторую трубу, а спрашивали про первую. Перечитайте вопрос перед ответом.
- Не отброшен лишний корень. Отрицательный корень должен быть явно отброшен с объяснением: «скорость не может быть отрицательной».
- Смешаны проценты и массы. Складывают концентрации ($30\% + 60\%$) вместо масс вещества. Складывать можно только килограммы и литры.
- Разные единицы. Минуты и часы в одном уравнении. Переведите всё в одну единицу до составления уравнения.
Что повторить
- Движение: Блок 1: Главная формула движения и Блок 4: Движение по реке в уроке «Задачи на движение».
- Работа: Блок 2: Совместная работа (когда объём работы дан числом) и Блок 3: Когда объём работы не назван числом в уроке «Производительность труда».
- Как составлять уравнение: Блок 1: Алгоритм составления уравнения и Блок 3: Задачи на движение и работу через уравнение.
- Смеси: Блок 4: Задачи на концентрацию и смеси в уроке «Задачи на проценты».
Где потренироваться
- Практика: 30 заданий на движение.
- Практика: 30 заданий на работу.
- Практика: 30 заданий на составление уравнений.
- Практика: 30 заданий на проценты и смеси.
Соседние задания ОГЭ: задание 20 (уравнения и неравенства, та же техника решения) и задание 22 (графики функций). Задачи на проценты с кратким ответом встречаются и в блоке заданий 1–5.