Задание 25 — последнее и самое трудное в ОГЭ. Это вычислительная задача по планиметрии, где ответ получается за несколько шагов: одной формулы мало, нужно заметить дополнительное построение или связать две фигуры. Решают его немногие, поэтому даже частичное продвижение заметно выделяет работу. Если вы нацелены на «пятёрку» с запасом, разберите приёмы ниже.
Что проверяет задание 25
Задание второй части с развёрнутым ответом, стоит до 2 первичных баллов, как и остальные задания 20–24. Оценивается полное обоснованное решение. Одного верного ответа без рассуждения недостаточно.
Какие умения нужны:
- дополнительные построения: перенос диагонали трапеции, высоты, продолжение сторон;
- подобие треугольников и отношение площадей подобных фигур (равно квадрату коэффициента подобия);
- равновеликие треугольники: у них общее основание и равные высоты;
- теоремы косинусов и синусов, радиус описанной окружности $R = \dfrac{a}{2\sin A}$;
- площадь треугольника $S = \tfrac12 ab \sin C$ и площадь трапеции.
Как выглядит задание
Типичные формулировки (аналоги):
- Основания трапеции равны 4 и 9, а её диагонали равны 5 и 12. Найдите площадь трапеции.
- Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Алгоритм решения
- Аккуратный чертёж. В задании 25 чертёж «на глаз» часто подсказывает неверное решение. Соблюдайте пропорции.
- Классифицируйте данные. Что известно: стороны, углы, диагонали, площади частей? Что общего у данных и искомого?
- Вспомните стандартный приём для этой конфигурации:
- две диагонали и основания трапеции — перенесите одну диагональ параллельно;
- точка пересечения диагоналей трапеции — подобие треугольников $BOC$ и $DOA$;
- три стороны треугольника — теорема косинусов даёт угол, дальше площадь или радиус;
- сторона и противолежащий угол — теорема синусов и $R$.
- Разбейте задачу на промежуточные цели: «найти угол», «найти высоту», «найти коэффициент подобия». Каждая цель — отдельный абзац решения.
- Проверьте результат другим способом или хотя бы по смыслу: площадь части меньше площади целого, радиус описанной окружности не меньше половины наибольшей стороны (равен ей у прямоугольного треугольника).
- Запишите ответ.
Разбор примеров
Пример 1 (перенос диагонали). Основания трапеции $ABCD$ равны $BC = 4$ и $AD = 9$, диагонали $AC = 5$ и $BD = 12$. Найдите площадь трапеции.
Через вершину $C$ проведём прямую, параллельную $BD$, до пересечения с прямой $AD$ в точке $E$.
В четырёхугольнике $BCED$ противоположные стороны попарно параллельны ($BC \parallel DE$ и $CE \parallel BD$), значит это параллелограмм. Поэтому $DE = BC = 4$ и $CE = BD = 12$.
Рассмотрим треугольник $ACE$: $AC = 5$, $CE = 12$, $AE = AD + DE = 9 + 4 = 13$.
Так как $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $ACE$ прямоугольный с прямым углом $C$. Его площадь
$$S_{ACE} = \tfrac12 \cdot 5 \cdot 12 = 30.$$У трапеции и треугольника $ACE$ одна и та же высота $h$ (расстояние от $C$ до прямой $AD$). Площадь трапеции $\dfrac{BC + AD}{2} \cdot h = \dfrac{13}{2} h$, площадь треугольника $\dfrac{AE}{2} \cdot h = \dfrac{13}{2} h$. Они равны.
Ответ: 30.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2 (подобие и площади). Диагонали трапеции $ABCD$ с основаниями $BC = 3$ и $AD = 7$ пересекаются в точке $O$. Площадь треугольника $BOC$ равна 9. Найдите площадь трапеции.
Треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны по двум углам: вертикальные углы при $O$ и накрест лежащие $\angle OBC = \angle ODA$. Коэффициент подобия
$$k = \frac{AD}{BC} = \frac{7}{3}.$$Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:
$$S_{DOA} = 9 \cdot \left(\frac{7}{3}\right)^2 = 9 \cdot \frac{49}{9} = 49.$$Треугольники $AOB$ и $BOC$ имеют общую высоту из вершины $B$ на прямую $AC$, поэтому их площади относятся как основания:
$$\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}} = \frac{AO}{OC} = \frac{7}{3} \;\Rightarrow\; S_{AOB} = 9 \cdot \frac{7}{3} = 21.$$Треугольники $ABD$ и $ACD$ имеют общее основание $AD$ и равные высоты (расстояние между основаниями трапеции), поэтому равновелики. Вычитая $S_{AOD}$, получаем $S_{COD} = S_{AOB} = 21$.
$$S_{ABCD} = 9 + 49 + 21 + 21 = 100.$$Заметим, что $S_{AOB} = \sqrt{S_{BOC} \cdot S_{DOA}} = \sqrt{9 \cdot 49} = 21$. Это удобная проверка.
Ответ: 100.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3 (косинусы и синусы). Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Пусть $a = 13$, $b = 14$, $c = 15$, $B$ — угол против стороны $b = 14$. По теореме косинусов:
$$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{169 + 225 - 196}{2 \cdot 13 \cdot 15} = \frac{198}{390} = \frac{33}{65}.$$Угол $B$ острый, $\sin B > 0$:
$$\sin B = \sqrt{1 - \frac{33^2}{65^2}} = \sqrt{\frac{4225 - 1089}{4225}} = \sqrt{\frac{3136}{4225}} = \frac{56}{65}.$$По теореме синусов $\dfrac{b}{\sin B} = 2R$:
$$R = \frac{14}{2 \cdot \frac{56}{65}} = \frac{14 \cdot 65}{112} = \frac{65}{8} = 8{,}125.$$Проверка через площадь: $S = \tfrac12 ac \sin B = \tfrac12 \cdot 13 \cdot 15 \cdot \tfrac{56}{65} = 84$, и $R = \dfrac{abc}{4S} = \dfrac{13 \cdot 14 \cdot 15}{336} = 8{,}125$.
Ответ: 8,125.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Нет обоснования построения. Проведя $CE \parallel BD$, нужно доказать, что $BCED$ — параллелограмм, и только потом пользоваться равенством сторон.
- Отношение площадей равно $k$, а не $k^2$. Для подобных треугольников площади относятся как квадрат коэффициента. Линейная пропорция здесь неверна.
- Не тот угол в теореме косинусов. В формуле $\cos B = \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$ со знаком минус стоит сторона, которая лежит напротив искомого угла. Подпишите на чертеже, какой угол ищете.
- Потеря точности. Округление $\cos B \approx 0{,}51$ на промежуточном шаге даёт неверный радиус. Считайте дробями до конца.
- Брошено на полпути. Даже если до ответа не дошли, запишите найденные величины с обоснованием. Проверяющий видит ход решения.
Что повторить
- Площадь через синус: Площадь треугольника через синус угла в уроке «Применение тригонометрии в геометрии».
- Все углы по трём сторонам: Блок 4: Обратная задача — находим все углы по трём сторонам.
- Радиус описанной окружности: Блок 3: Радиус описанной окружности и триангуляция в реальном мире.
- Формулы площадей: статья блога Площади фигур: формулы для квадрата, треугольника, круга.
Честно о пробелах: разборов сложных планиметрических задач и уроков базовой планиметрии 7–9 класса на сайте пока нет. Не разобраны подобие, свойства трапеции, биссектрисы, касательные. Уроки 108–110 дают только тригонометрическую часть аппарата. Приёмы из примеров 1 и 2 (перенос диагонали, площади частей трапеции) в уроках не разбираются, они показаны только на этой странице.
Где потренироваться
- Практика: 30 заданий по теореме косинусов.
- Практика: 30 заданий по теореме синусов.
- Практика: 30 заданий по тригонометрии в геометрии.
Соседние задания ОГЭ: задание 23 (геометрия на вычисление, тот же аппарат, но проще) и задание 24 (доказательство; пример 2 оттуда доказывает подобие, которое используется здесь). Вернуться к началу второй части: задание 20.