Сумма двух чисел равна 7, произведение равно 12. Что это за числа? Если сходу сказал "3 и 4" — ты уже интуитивно понимаешь теорему Виета, просто пока не знал, как это называется.
Формулировка теоремы
📘 Определение
Для приведённого квадратного уравнения x² + bx + c = 0 (коэффициент при x² равен 1) сумма корней равна −b, а произведение корней равно c.
Как решать через Виета
Пример
x² − 5x + 6 = 0
Сумма корней = 5, произведение = 6. Какие два числа дают в сумме 5, а в произведении 6? Перебираем: 2 и 3 (2+3=5, 2×3=6).
Ответ: x = 2 или x = 3. Без всякого дискриминанта!
Проверка теоремы
Решаем честно через разложение
x²+4x+3=0 → (x+1)(x+3)=0 → корни −1 и −3
Проверяем по теореме
Сумма: (−1)+(−3) = −4 = −b ✓ Произведение: (−1)×(−3) = 3 = c ✓
Частая ошибка
Забывают минус в формуле суммы корней. Сумма корней = −b, а не b. Без минуса теорема просто не работает.
Предсказание знаков корней
💡 Полезный трюк
Ещё до того, как найдёшь корни, можно понять их знаки:
Произведение положительно → оба корня одного знака
Произведение отрицательно → корни разных знаков
Произведение и сумма положительны → оба корня положительные
Произведение положительно, сумма отрицательна → оба корня отрицательные
Если уравнение не приведённое
Что если уравнение вида 2x²+6x+4=0? Просто делим всё на коэффициент при x² (на 2): получаем x²+3x+2=0 — и дальше как обычно.
Обратная задача: составить уравнение по корням
Хочешь уравнение с корнями 3 и −5? Сумма = 3+(−5) = −2, произведение = 3×(−5) = −15. Значит b = −(сумма) = 2, c = произведение = −15. Уравнение: x² + 2x − 15 = 0.
Теорема Виета в линейной алгебре
🤖 Не только школьная алгебра
Теорема Виета обобщается на матрицы: сумма собственных значений (eigenvalues) матрицы равна её следу (сумме диагональных элементов), а произведение собственных значений равно определителю. Это буквально та же идея "сумма и произведение корней", только для многомерного случая — и она напрямую используется в PCA (методе главных компонент) и других алгоритмах машинного обучения, где нужно понимать структуру данных через матрицы.
Проверь себя
Задачи
Задача 1: Реши x² − 6x + 8 = 0 методом Виета
Подходят числа 2 и 4 (2+4=6, 2×4=8)
Ответ: x = 2 или x = 4
Задача 2: Составь уравнение с корнями 4 и 2
Ответ: x² − 6x + 8 = 0
📝 Главное запомнить
- Для x² + bx + c = 0: сумма корней = −b, произведение корней = c
- Работает быстрее дискриминанта, но только когда корни целые и легко подбираются
- Не получилось подобрать за 10 секунд — переходи на формулу через дискриминант
- Теорема работает и в обратную сторону — можно составить уравнение по известным корням
Хочешь разобрать теорему Виета на практике — полный урок на сайте, а потренироваться в диалоге можно у бесплатного AI-репетитора в Telegram.