В задании 8 ОГЭ дают выражение со степенями или корнями и просят найти его значение. Числа в таких выражениях обычно подобраны так, что «в лоб» считать долго, а после преобразований всё сокращается до небольшого целого числа. Поэтому задание проверяет не столько арифметику, сколько знание свойств степеней и корней.
Что проверяет задание 8
Задание части 1, оценивается в 1 первичный балл, ответ краткий — число.
Какие умения нужны:
- свойства степени с целым показателем: умножение и деление степеней с одинаковым основанием, степень степени, степень произведения и дроби;
- отрицательный показатель: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$;
- свойства арифметического квадратного корня: $\sqrt{ab} = \sqrt a \cdot \sqrt b$, $\sqrt{a^2} = |a|$;
- формулы сокращённого умножения, прежде всего разность квадратов, при вычислениях с корнями.
Как выглядит задание
Типичные формулировки (числа наши):
- «Найдите значение выражения $\dfrac{a^{12} \cdot a^{-5}}{a^{4}}$ при $a = 3$».
- «Найдите значение выражения $\sqrt{45} \cdot \sqrt{20}$».
- «Найдите значение выражения $\left(\sqrt{13} - \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{13} + \sqrt{3}\right)$».
- «Найдите значение выражения $\dfrac{6^{9}}{2^{7} \cdot 3^{9}}$» — здесь нужно разложить основание 6 на множители 2 и 3.
Алгоритм решения
- Не подставляйте число сразу. Сначала упростите выражение с буквой по свойствам степеней.
- Приведите к одному основанию. Если основания разные, разложите их на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$, $12 = 2^2 \cdot 3$.
- Примените свойства степеней: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются.
- Корни объединяйте под один знак по правилу $\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt{ab}$ и ищите под корнем полный квадрат.
- Узнавайте формулы сокращённого умножения. Произведение вида $(x - y)(x + y)$ — это $x^2 - y^2$.
- Подставьте значение и посчитайте только в конце, когда выражение стало коротким.
Шпаргалка по свойствам
Для задания 8 хватает небольшого набора правил. Для степеней при $a \ne 0$:
$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad (a^m)^n = a^{mn}, \qquad (ab)^n = a^n b^n, \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}.$$Для корней при $a \ge 0$, $b \ge 0$:
$$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}, \qquad \frac{\sqrt a}{\sqrt b} = \sqrt{\frac{a}{b}}\ (b \ne 0), \qquad (\sqrt a)^2 = a.$$Как это работает на выражении с разными основаниями: $\dfrac{6^{9}}{2^{7} \cdot 3^{9}}$. Раскладываем $6^9 = 2^9 \cdot 3^9$, тройки сокращаются, остаётся $\dfrac{2^9}{2^7} = 2^2 = 4$. Ни одного большого числа считать не пришлось.
Отдельно про корень из квадрата: $\sqrt{a^2} = |a|$, а не просто $a$. Например, $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$. В задании 8 это встречается, когда под корнем стоит квадрат отрицательного числа или разности вроде $(2 - \sqrt5)^2$: так как $\sqrt5 > 2$, получаем $\sqrt{(2 - \sqrt5)^2} = \sqrt5 - 2$.
Хороший признак правильного пути: после преобразований получается небольшое целое число или простая десятичная дробь. Если выходит что-то вроде $\sqrt{37}$ или $3^{11}$, скорее всего, пропущено сокращение.
Разбор примеров
Пример 1. Найдите значение выражения $\dfrac{a^{12} \cdot a^{-5}}{a^{4}}$ при $a = 3$.
Шаг 1. Числитель. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
$$a^{12} \cdot a^{-5} = a^{12 + (-5)} = a^{7}.$$Шаг 2. Деление. Показатели вычитаются:
$$\frac{a^{7}}{a^{4}} = a^{7 - 4} = a^{3}.$$Шаг 3. Подставляем $a = 3$: $3^3 = 27$.
Ответ: 27.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. Найдите значение выражения $\sqrt{45} \cdot \sqrt{20}$.
Шаг 1. Объединяем под одним корнем:
$$\sqrt{45} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{45 \cdot 20} = \sqrt{900}.$$Шаг 2. Извлекаем корень: $\sqrt{900} = 30$, потому что $30^2 = 900$.
Другой путь: $\sqrt{45} = 3\sqrt5$, $\sqrt{20} = 2\sqrt5$, и $3\sqrt5 \cdot 2\sqrt5 = 6 \cdot 5 = 30$.
Ответ: 30.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Найдите значение выражения $\left(\sqrt{13} - \sqrt{3}\right)\left(\sqrt{13} + \sqrt{3}\right)$.
Шаг 1. Узнаём формулу. Это произведение разности двух выражений на их сумму:
$$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2, \quad x = \sqrt{13},\ y = \sqrt3.$$Шаг 2. Считаем квадраты: $(\sqrt{13})^2 = 13$, $(\sqrt3)^2 = 3$.
Шаг 3. $13 - 3 = 10$.
Ответ: 10.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Показатели перемножают при умножении степеней. $a^{12} \cdot a^{-5} = a^{7}$, а не $a^{-60}$. Перемножают показатели только при возведении степени в степень: $(a^3)^4 = a^{12}$.
- Теряют минус в показателе. $a^{7} : a^{-2} = a^{7 - (-2)} = a^{9}$, а не $a^{5}$.
- Складывают корни как числа: $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$, а не $\sqrt{25} = 5$. Под один корень можно объединять только произведение и частное.
- Подставляют число до упрощения и получают огромные степени вроде $3^{12}$, в которых легко ошибиться.
- Не видят разность квадратов и раскрывают скобки почленно, получая четыре слагаемых с корнями. Это не ошибка, но долго и рискованно.
Что повторить
- Умножение степеней с одинаковым основанием
- Деление степеней с одинаковым основанием
- Возведение произведения и дроби в степень
- Степень с целым показателем: все правила степеней работают и здесь
- Перенос степени между числителем и знаменателем
- Свойства корней
- Упрощение корней и избавление от иррациональности в знаменателе
- Разность квадратов: умножение разности двух выражений на их сумму
- Квадрат суммы двух выражений
Таблица квадратов, которая помогает быстро извлекать корни, есть в статье блога «Квадратный корень: таблица и калькулятор».
Где потренироваться
- Практика по степени с натуральным показателем: 30 заданий
- Практика по степени с целым показателем: 30 заданий
- Практика по квадратному корню: 30 заданий
- Практика по формулам сокращённого умножения: 30 заданий
Соседние задания: задание 7 — числа на координатной прямой и задание 9 — уравнения. Все задания собраны в разделе ОГЭ.