Что проверяет задание 16
Задание 16 первой части ОГЭ стоит 1 первичный балл и посвящено окружности. В условии обычно есть окружность и связанная с ней фигура: вписанный угол, касательная, хорда, вписанный или описанный многоугольник. Вычислений здесь мало. Главное — вспомнить нужное свойство окружности, после чего ответ часто получается в одно действие.
Что нужно уметь:
- отличать центральный угол (вершина в центре окружности) от вписанного (вершина на окружности);
- пользоваться тем, что вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу;
- помнить, что касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания;
- находить радиус описанной окружности, в том числе по теореме синусов $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$;
- считать длину окружности $C = 2\pi R$ и площадь круга $S = \pi R^2$.
Как выглядит задание
Типичные формулировки (свои аналоги):
Точка $O$ — центр окружности, на которой лежат точки $A$, $B$ и $C$. Известно, что $\angle AOB = 124°$. Найдите вписанный угол $ACB$, опирающийся на дугу $AB$, не содержащую точку $C$. Ответ дайте в градусах.
Отрезок $AB$ касается окружности с центром $O$ в точке $B$. Радиус окружности равен 5, $AO = 13$. Найдите $AB$.
Алгоритм решения
- Найди на чертеже центр окружности и отметь радиусы. Все радиусы равны, поэтому треугольник с двумя радиусами в качестве сторон равнобедренный. Это часто ключ к решению.
- Определи, какие углы даны. Вершина в центре — центральный угол, он равен угловой величине дуги. Вершина на окружности — вписанный угол, он равен половине дуги, на которую опирается.
- Если есть касательная, проведи радиус в точку касания. Получится прямой угол, а значит, прямоугольный треугольник, где работает теорема Пифагора.
- Если нужен радиус описанной окружности треугольника, используй теорему синусов: $2R = \dfrac{a}{\sin A}$, где $A$ — угол, противолежащий стороне $a$. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, и $R$ равен половине гипотенузы.
- Проверь ответ. Вписанный угол не может превышать $180°$, а касательный отрезок короче расстояния от точки до центра.
Короткая шпаргалка по окружности
- Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
- Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
- Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны.
- Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
- В четырёхугольнике, вписанном в окружность, суммы противоположных углов равны $180°$.
- В четырёхугольнике, описанном около окружности, суммы противоположных сторон равны.
- Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы.
- Для правильного треугольника со стороной $a$: радиус описанной окружности $R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$, радиус вписанной $r = \dfrac{a}{2\sqrt{3}}$.
Разбор примеров
Пример 1. Точка $O$ — центр окружности, на которой лежат точки $A$, $B$ и $C$. Известно, что $\angle AOB = 124°$. Найди вписанный угол $ACB$, если он опирается на ту же дугу $AB$, что и центральный угол $AOB$.
Решение.
Центральный угол $AOB$ и вписанный угол $ACB$ опираются на одну и ту же дугу. Вписанный угол равен половине центрального:
$$\angle ACB = \frac{124°}{2} = 62°$$Ответ: 62.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. В треугольнике $ABC$ сторона $AB = 9$, а угол $C$, лежащий напротив неё, равен $30°$. Найди радиус окружности, описанной около треугольника.
Решение.
По теореме синусов отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности:
$$\frac{AB}{\sin C} = 2R$$$$2R = \frac{9}{\sin 30°} = \frac{9}{0{,}5} = 18, \qquad R = 9$$Ответ: 9.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Отрезок $AB$ касается окружности с центром $O$ в точке $B$. Радиус окружности равен 5, а $AO = 13$. Найди $AB$.
Решение.
Шаг 1. Радиус $OB$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, треугольник $ABO$ прямоугольный с прямым углом $B$.
Шаг 2. $AO$ — гипотенуза, $OB = 5$ и $AB$ — катеты. По теореме Пифагора:
$$AB = \sqrt{AO^2 - OB^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$Ответ: 12.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Вписанный угол приравняли к центральному. Вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу. Ошибка работает и в обратную сторону: центральный угол вдвое больше вписанного.
- Не заметили, на какую дугу опирается угол. Две точки делят окружность на две дуги. Вписанные углы, опирающиеся на разные дуги, в сумме дают $180°$.
- Забыли про прямой угол у касательной. Без радиуса, проведённого в точку касания, задачу с касательной не решить.
- Перепутали радиус и диаметр. Теорема синусов даёт $2R$, то есть диаметр. Для ответа его нужно разделить пополам.
- Длину окружности и площадь круга посчитали по одной формуле. Длина — $2\pi R$, площадь — $\pi R^2$. Если в ответе просят «дать ответ, делённый на $\pi$», число $\pi$ в ответ не пишут.
Что повторить
- Радиус описанной окружности через теорему синусов. В этом же уроке, в выводе теоремы, кратко упоминается свойство вписанного угла.
- Элементы правильных многоугольников через тригонометрию — радиусы вписанной и описанной окружностей правильного многоугольника.
- Площади фигур — статья блога, где есть площадь круга.
- Для задач с касательной пригодится теорема Пифагора (статья блога).
Честно о пробелах: отдельного урока по окружности на сайте пока нет. Не разобраны центральный и вписанный угол, касательная и её свойства, вписанный и описанный четырёхугольник, радиус вписанной окружности. Ближе всего к теме урок 109 (радиус описанной окружности через теорему синусов) и урок 108 (правильные многоугольники, вписанные в окружность). Площадь круга есть только в блоге, а длины окружности пока нет нигде на сайте. Формулы и свойства на этой странице помогут закрыть задание 16 до появления полноценного урока.
Где потренироваться
Соседние задания ОГЭ: задание 15 — треугольники, задание 17 — четырёхугольники. Свойства окружности пригодятся и в задании 19, где нужно оценивать геометрические утверждения.