Задание 22 — единственное во второй части ОГЭ, где нужно рисовать. Надо построить график функции и ответить, при каких значениях параметра прямая имеет с ним заданное число общих точек. Формула часто выглядит пугающе, но после упрощения почти всегда остаётся знакомая парабола, прямая или гипербола. Подвох обычно в выколотой точке или в стыке двух кусков.
Что проверяет задание 22
Задание второй части с развёрнутым ответом, стоит до 2 первичных баллов. Оценивают и построенный график, и найденные значения параметра. Если график построен верно, а одно значение параметра потеряно, полного балла не будет.
Какие умения нужны:
- упрощать формулу функции и помнить область определения: где был знаменатель, там будет выколотая точка;
- строить параболу по вершине и опорным точкам, прямую по двум точкам, гиперболу $y = \dfrac{k}{x}$;
- строить кусочно-заданные функции и проверять, как куски стыкуются на границе;
- строить графики с модулем: $y = f(|x|)$ и $y = |f(x)|$;
- считать общие точки графика с горизонтальной прямой $y = m$ или с прямой $y = kx$, проходящей через начало координат.
Как выглядит задание
Типичные формулировки (аналоги):
- Постройте график функции $y = \dfrac{(x^2 + 4)(x + 1)}{-1 - x}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
- Постройте график функции $y = x^2 - 4|x| + 3$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Алгоритм решения
- Найдите область определения. Выпишите значения $x$, при которых знаменатель равен нулю. Они станут выколотыми точками.
- Упростите формулу. Сократите дробь, раскройте модуль по промежуткам. Запишите, на каких $x$ действует каждая формула.
- Найдите опорные точки: вершину параболы $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$, точки на границах кусков, координаты выколотых точек. Их считают по упрощённой формуле.
- Постройте график. Выколотые точки изобразите пустыми кружками, закрашенные границы — сплошными.
- Двигайте прямую. Горизонтальную прямую $y = m$ мысленно ведите снизу вверх и считайте пересечения. Число точек меняется только на «особых» уровнях: вершина, выколотая точка, стык кусков.
- Проверьте особые уровни отдельно и выпишите ответ: отдельные значения $m$ и промежутки.
Разбор примеров
Пример 1 (выколотая точка). Постройте график функции $y = \dfrac{(x^2 + 4)(x + 1)}{-1 - x}$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Область определения: $-1 - x \ne 0$, то есть $x \ne -1$.
Знаменатель равен $-(x + 1)$, поэтому при $x \ne -1$:
$$y = \frac{(x^2 + 4)(x + 1)}{-(x + 1)} = -(x^2 + 4) = -x^2 - 4.$$График — парабола $y = -x^2 - 4$, ветви вниз, вершина $(0; -4)$. Точка с абсциссой $x = -1$ выколота, её ордината $y = -1 - 4 = -5$. Выколотая точка $(-1; -5)$.
Опорные точки: $(\pm 1; -5)$, но $(-1; -5)$ пустая, $(\pm 2; -8)$.
Считаем общие точки с $y = m$:
- $m > -4$: прямая выше вершины, общих точек нет;
- $m = -4$: одна точка, вершина;
- $m < -4$: обычно две точки, симметричные относительно оси $Oy$. Исключение — $m = -5$: точка $x = -1$ выколота, остаётся только $x = 1$.
Ответ: $m = -4$ и $m = -5$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2 (кусочная функция). Постройте график функции
$$y = \begin{cases} 2x + 5, & x < -1, \\ x^2 - 2x, & x \ge -1 \end{cases}$$и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.
Левый кусок — луч прямой $y = 2x + 5$ при $x < -1$. На границе $2 \cdot (-1) + 5 = 3$, но сама точка $(-1; 3)$ этому куску не принадлежит. Левее значения убывают до $-\infty$.
Правый кусок — парабола $y = x^2 - 2x$ при $x \ge -1$. Вершина: $x_0 = 1$, $y_0 = -1$. На границе $(-1)^2 - 2 \cdot (-1) = 3$, точка $(-1; 3)$ закрашена. Значит, куски стыкуются без разрыва.
Опорные точки параболы: $(-1; 3)$, $(0; 0)$, $(1; -1)$, $(2; 0)$, $(3; 3)$.
Ведём прямую $y = m$ снизу вверх:
- $m < -1$: пересекает только луч, 1 точка;
- $m = -1$: луч и вершина параболы, 2 точки;
- $-1 < m < 3$: луч и две точки параболы, 3 точки;
- $m = 3$: луч не даёт точку ($2x + 5 = 3$ при $x = -1$, а это не $x < -1$), парабола даёт $x = -1$ и $x = 3$, итого 2 точки;
- $m > 3$: луч значений больше 3 не принимает, парабола при $x \ge -1$ даёт одну точку правее $x = 3$, итого 1 точка.
Ответ: $m = -1$ и $m = 3$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3 (модуль внутри). Постройте график функции $y = x^2 - 4|x| + 3$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно три общие точки.
Так как $x^2 = |x|^2$, функция имеет вид $y = f(|x|)$, где $f(x) = x^2 - 4x + 3$. По правилу из урока «Преобразования графиков» строим $f(x)$ при $x \ge 0$ и отражаем эту часть симметрично относительно оси $Oy$.
При $x \ge 0$: парабола $y = x^2 - 4x + 3$, вершина $(2; -1)$, нули $x = 1$ и $x = 3$, при $x = 0$ значение $y = 3$.
Отражение даёт вторую «ямку» с вершиной $(-2; -1)$ и нулями $-1$, $-3$. Получается график в форме буквы W с «пиком» в точке $(0; 3)$.
Считаем общие точки:
- $m < -1$: 0;
- $m = -1$: 2 (две вершины);
- $-1 < m < 3$: 4;
- $m = 3$: 3, это точки $x = 0$ и $x = \pm 4$ (из $x^2 - 4x + 3 = 3$ получаем $x = 0$ или $x = 4$);
- $m > 3$: 2.
Ответ: $m = 3$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Сократили и забыли про область определения. После сокращения дроби выколотая точка остаётся, её надо отметить на графике и учесть при подсчёте. Это самая частая потеря балла.
- Ордината выколотой точки посчитана по исходной формуле. В исходной формуле при этом $x$ знаменатель равен нулю. Ординату считают по упрощённой формуле.
- Не проверен стык кусков. Если на границе значения кусков разные, у графика будет разрыв, и число точек пересечения меняется иначе.
- Перепутаны $f(|x|)$ и $|f(x)|$. Модуль внутри копирует правую половину налево, модуль снаружи отражает нижнюю часть вверх.
- Потеряны граничные значения $m$. В ответ входят и промежутки, и отдельные значения: вершина, выколотая точка, стык.
Что повторить
- Парабола: Вершина параболы и Построение графика по опорным точкам в уроке «Квадратичная функция».
- Прямые: Построение графика линейной функции и Взаимное расположение графиков линейных функций. Пригодится для задач с прямой $y = kx$.
- Гипербола: Отрицательный целый показатель: гиперболы и обратные зависимости.
- Сдвиги и модуль в графиках: Параллельный перенос и Модуль: два разных трюка.
- Раскрытие модуля по промежуткам: Блок 1: Раскрытие модуля произвольного выражения.
Уроки 79–84 рассчитаны на 10–11 класс, и в примерах там встречается машинное обучение. Девятикласснику достаточно прочитать указанные разделы. Отдельного урока, который разбирает задание 22 целиком (выколотые точки плюс подсчёт общих точек с $y = m$), на сайте пока нет. Его заменяют примеры на этой странице.
Где потренироваться
- Практика: 30 заданий по параболе.
- Практика: 30 заданий по преобразованиям графиков.
- Практика: 30 заданий по линейной функции.
- Практика: 30 заданий по модулю.
Соседние задания ОГЭ: задание 11 (соответствие графиков и формул, база для этого задания), задание 21 (текстовые задачи) и задание 23 (геометрия).