В задании 24 ничего не нужно вычислять: надо доказать утверждение о фигуре. Многие пропускают его, считая доказательства чем-то сложным. На деле большинство задач решается в три-четыре шага: найти пару равных или подобных треугольников, сослаться на признак, сделать вывод. Здесь важнее аккуратная логика, чем изобретательность.
Что проверяет задание 24
Задание второй части с развёрнутым ответом, стоит до 2 первичных баллов. Ответа-числа нет, оценивают само рассуждение: каждое утверждение должно следовать из условия или из известной теоремы.
Какие умения нужны:
- три признака равенства треугольников и признаки подобия;
- свойства углов при параллельных прямых: накрест лежащие углы равны, односторонние в сумме дают $180^\circ$, вертикальные углы равны;
- свойства и признаки параллелограмма, прямоугольника, ромба, трапеции;
- свойства равнобедренного треугольника: углы при основании, биссектриса-медиана-высота;
- умение записать цепочку «потому что — значит» без логических пропусков.
Как выглядит задание
Типичные формулировки (аналоги):
- В параллелограмме $ABCD$ точка $M$ — середина стороны $BC$. Известно, что $MA = MD$. Докажите, что $ABCD$ — прямоугольник.
- Диагонали трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны.
- Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Докажите, что треугольник $ABK$ равнобедренный.
Удобный шаблон записи: «Рассмотрим треугольники ... и .... 1) ... (по условию); 2) ... (как ...); 3) ... (как ...). Значит, треугольники равны (подобны) по ... признаку. Следовательно, .... Что и требовалось доказать». Такая запись занимает несколько строк, и проверяющему сразу видна логика.
Алгоритм решения
- Чертёж по условию. Отметьте все данные: равные отрезки штрихами, равные углы дугами, параллельные стороны стрелками.
- Сформулируйте, что именно доказываете, на языке, удобном для доказательства. «Прямоугольник» значит «параллелограмм с прямым углом». «Равнобедренный» значит «два угла равны» или «две стороны равны».
- Найдите треугольники, которые содержат нужные элементы. Чаще всего доказательство держится на паре равных или подобных треугольников.
- Соберите три условия для признака. Для каждого равенства укажите причину: «по условию», «как противоположные стороны параллелограмма», «как накрест лежащие».
- Сделайте вывод из равенства или подобия: соответственные элементы равны или пропорциональны.
- Закончите фразой, которая повторяет утверждение задачи: «что и требовалось доказать».
Разбор примеров
Пример 1 (равенство треугольников). В параллелограмме $ABCD$ точка $M$ — середина стороны $BC$. Известно, что $MA = MD$. Докажите, что $ABCD$ — прямоугольник.
Рассмотрим треугольники $ABM$ и $DCM$.
- $BM = CM$, так как $M$ — середина $BC$.
- $AB = DC$ как противоположные стороны параллелограмма.
- $MA = MD$ по условию.
Значит, $\triangle ABM = \triangle DCM$ по трём сторонам. Отсюда $\angle ABM = \angle DCM$, то есть $\angle B = \angle C$.
Углы $B$ и $C$ параллелограмма прилежат к одной стороне $BC$, поэтому они односторонние при $AB \parallel DC$ и секущей $BC$:
$$\angle B + \angle C = 180^\circ.$$Так как $\angle B = \angle C$, каждый из них равен $90^\circ$. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник, что и требовалось доказать.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2 (подобие). Диагонали трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны.
Рассмотрим треугольники $BOC$ и $DOA$.
- $\angle BOC = \angle DOA$ как вертикальные.
- $\angle OBC = \angle ODA$ как накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$.
Два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, значит $\triangle BOC \sim \triangle DOA$ по первому признаку подобия (по двум углам), что и требовалось доказать.
Полезное следствие для задания 25: коэффициент подобия равен $\dfrac{BC}{AD}$, поэтому $\dfrac{BO}{OD} = \dfrac{CO}{OA} = \dfrac{BC}{AD}$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3 (равнобедренный треугольник). Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Докажите, что треугольник $ABK$ равнобедренный.
- $\angle BAK = \angle KAD$, так как $AK$ — биссектриса угла $A$.
- $\angle KAD = \angle BKA$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ (противоположные стороны параллелограмма) и секущей $AK$.
Из (1) и (2) получаем $\angle BAK = \angle BKA$. В треугольнике $ABK$ два угла равны, значит он равнобедренный с основанием $AK$: $AB = BK$. Что и требовалось доказать.
Этот факт часто нужен и в вычислительных задачах: биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Ссылка на чертёж. «Видно, что углы равны» — не доказательство. Каждое равенство нужно обосновать условием или теоремой.
- Не тот признак. «Две стороны и угол» даёт равенство, только если угол лежит между этими сторонами. Проверяйте, какие именно элементы у вас есть.
- Перепутаны соответственные вершины. Записывайте равные треугольники так, чтобы вершины шли в соответствующем порядке: $\triangle ABM = \triangle DCM$, а не $\triangle ABM = \triangle CDM$.
- Доказательство от ответа. Нельзя начинать с того, что требуется доказать, и выводить из этого условие. Логика идёт от данных к выводу.
- Нет итоговой фразы. Закончите явным выводом, который совпадает с формулировкой задачи.
Что повторить
Честно о пробелах: материалов по геометрическим доказательствам на сайте пока нет. Нет уроков о признаках равенства и подобия треугольников, о свойствах параллелограмма и трапеции, о вписанных четырёхугольниках, нет образцов оформления доказательства. Для задания 24 эти темы стоит повторить по школьному учебнику геометрии 7–9 класса.
Ближе всего к умению строить рассуждение подходят разделы, где формула выводится шаг за шагом. Это другой тип задач, но хороший пример логической цепочки от известного к новому:
- Блок 1: Вывод и формулировка теоремы синусов в уроке «Теорема синусов»;
- Блок 2: Откуда берётся формула — вывод через координаты в уроке «Теорема косинусов».
Где потренироваться
На сайте пока нет практики именно по доказательствам. Для закрепления геометрического аппарата подойдут:
- Практика: 30 заданий по теореме синусов;
- Практика: 30 заданий по теореме косинусов.
Соседние задания ОГЭ: задание 19 (верные и неверные утверждения, та же теория в тестовой форме), задание 23 (геометрия на вычисление) и задание 25 (задача повышенной сложности).