Что проверяет задание 11
Задание 11 относится к первой части ОГЭ и приносит 1 первичный балл. На рисунке даны несколько графиков, рядом формулы функций или утверждения о коэффициентах. Каждому графику нужно подобрать подходящий вариант. Ответ записывается последовательностью цифр, например 312. Одна неверная цифра — и балл потерян целиком, поэтому здесь важна аккуратность, а не скорость.
Что нужно уметь:
- по графику прямой $y = kx + b$ определять знак углового коэффициента $k$ и свободного члена $b$;
- по параболе $y = ax^2 + bx + c$ определять знак $a$ (направление ветвей), значение $c$ (пересечение с осью $Oy$) и положение вершины;
- узнавать гиперболу $y = \dfrac{k}{x}$ и по четвертям, где лежат её ветви, определять знак $k$;
- проверять формулу подстановкой координат точки, которая хорошо видна на графике.
Как выглядит задание
Типичная формулировка (своя, по мотивам открытого банка заданий):
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. Графики: А, Б, В. Формулы: 1) $y = x^2 - 4x + 3$; 2) $y = -x^2 + 2x + 3$; 3) $y = x^2 + 2x - 3$. В ответ запишите цифры, соответствующие буквам А, Б, В.
Второй распространённый вариант — вместо формул даны знаки коэффициентов:
На рисунке изображены графики функций вида $y = kx + b$. Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов $k$ и $b$: 1) $k > 0,\ b > 0$; 2) $k < 0,\ b > 0$; 3) $k > 0,\ b < 0$.
На экзамене графики нарисованы на клетчатой сетке. Ниже мы описываем их словами и координатами характерных точек: это та же информация, которую ты снимаешь с рисунка.
Алгоритм решения
- Определи тип каждой функции по виду графика. Прямая — линейная функция $y = kx + b$. Парабола — квадратичная $y = ax^2 + bx + c$. Две ветви, которые приближаются к осям, но не пересекают их, — гипербола $y = \dfrac{k}{x}$. Подробный справочник графиков есть в уроке «График функции».
- Для прямой смотри на наклон и точку пересечения с $Oy$. Прямая идёт вверх слева направо — $k > 0$, вниз — $k < 0$. Пересекает $Oy$ выше нуля — $b > 0$, ниже — $b < 0$.
- Для параболы начни со знака $a$: ветви вверх — $a > 0$, вниз — $a < 0$. Затем найди $c$: это ордината точки пересечения с $Oy$. Если этого мало, вычисли абсциссу вершины $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ и сравни с рисунком.
- Для гиперболы посмотри на четверти. Ветви в I и III четвертях — $k > 0$, во II и IV — $k < 0$. Модуль $|k|$ найдёшь подстановкой любой точки с целыми координатами: $k = x \cdot y$.
- Проверь хотя бы одну точку. Возьми узел сетки, через который график проходит точно, и подставь его координаты в выбранную формулу. Если равенство не выполнилось, выбор неверный.
- Запиши ответ цифрами в порядке букв А, Б, В, без пробелов и запятых.
Разбор примеров
Пример 1. Графики функций вида $y = kx + b$ описаны так. А: прямая возрастает и пересекает ось $Oy$ в точке $(0; -2)$. Б: прямая убывает и пересекает ось $Oy$ в точке $(0; 3)$. В: прямая возрастает и пересекает ось $Oy$ в точке $(0; 1)$. Установи соответствие со знаками коэффициентов: 1) $k > 0,\ b > 0$; 2) $k < 0,\ b > 0$; 3) $k > 0,\ b < 0$.
Решение.
Знак $k$ определяем по направлению прямой, знак $b$ — по точке пересечения с осью $Oy$, ведь при $x = 0$ получается $y = b$.
- А: прямая возрастает, значит $k > 0$; пересекает $Oy$ в точке $-2$, значит $b < 0$. Подходит вариант 3.
- Б: прямая убывает, значит $k < 0$; $b = 3 > 0$. Подходит вариант 2.
- В: прямая возрастает, $k > 0$; $b = 1 > 0$. Подходит вариант 1.
Ответ: 321.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. Графики — три параболы. А: ветви направлены вниз, вершина в точке $(1; 4)$. Б: ветви вверх, вершина в точке $(2; -1)$. В: ветви вверх, вершина в точке $(-1; -4)$. Формулы: 1) $y = x^2 - 4x + 3$; 2) $y = -x^2 + 2x + 3$; 3) $y = x^2 + 2x - 3$.
Решение.
Шаг 1. Знак $a$. Ветви вниз только у формулы 2 ($a = -1$), значит график А — это формула 2.
Шаг 2. У формул 1 и 3 $a = 1 > 0$. Различаем их по вершине: $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.
Для формулы 1: $x_0 = -\dfrac{-4}{2} = 2$, $y_0 = 4 - 8 + 3 = -1$. Вершина $(2; -1)$ — это график Б.
Для формулы 3: $x_0 = -\dfrac{2}{2} = -1$, $y_0 = 1 - 2 - 3 = -4$. Вершина $(-1; -4)$ — это график В.
Шаг 3 (проверка для А). Для формулы 2: $x_0 = -\dfrac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$, $y_0 = -1 + 2 + 3 = 4$. Вершина $(1; 4)$ совпадает с описанием.
Ответ: 213.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Три графика разных типов. А: гипербола, ветви во II и IV четвертях, проходит через точку $(2; -3)$. Б: прямая, проходит через начало координат и точку $(2; 3)$. В: гипербола, ветви в I и III четвертях, проходит через точку $(-2; -3)$. Формулы: 1) $y = 1{,}5x^2$; 2) $y = -\dfrac{6}{x}$; 3) $y = \dfrac{6}{x}$; 4) $y = 1{,}5x$.
Решение.
Лишняя формула 1 — это парабола, парабол среди графиков нет. Её можно сразу исключить.
- А: ветви во II и IV четвертях, значит $k < 0$. Подходит $y = -\dfrac{6}{x}$. Проверка: при $x = 2$ получаем $y = -3$. Верно, это формула 2.
- Б: прямая через начало координат — прямая пропорциональность $y = kx$. По точке $(2; 3)$: $k = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$. Это формула 4.
- В: ветви в I и III четвертях, $k > 0$. Проверка $y = \dfrac{6}{x}$ при $x = -2$: $y = -3$. Верно, это формула 3.
Ответ: 243.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Путают знак $b$ с направлением прямой. Прямая может возрастать и при этом пересекать $Oy$ ниже нуля. Знак $k$ и знак $b$ определяются независимо: первый по наклону, второй по точке на оси $Oy$.
- Читают $c$ у параболы как вершину. Число $c$ — это точка пересечения с осью $Oy$, а не высота вершины. Они совпадают, только если $b = 0$.
- Ошибаются в знаке при вычислении вершины. В формуле $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ два минуса легко потерять. Если $b = -4$, то $x_0 = -\dfrac{-4}{2} = +2$.
- Проверяют формулу по точке, которая лежит не в узле сетки. Координаты «на глаз» между клетками ненадёжны. Бери только точки, где график проходит через пересечение линий сетки.
- Записывают ответ не в том порядке. Цифры идут в порядке букв А, Б, В, а не в порядке номеров формул.
Что повторить
- Линейная функция: смысл углового коэффициента k и смысл свободного члена b.
- Квадратичная функция: коэффициенты a, b и c и направление ветвей и форма параболы.
- Гипербола: графики прямой и обратной пропорциональности (8 класс) и гиперболы в уроке о степенной функции.
- Общие навыки: графики основных функций, справочник и как читать информацию с графика.
Уроки 78–81 написаны для 10–11 класса и местами содержат примеры из анализа данных. Для задания 11 достаточно разделов, на которые ведут ссылки выше.
Где потренироваться
- Практика по линейной функции: 30 заданий
- Практика по квадратичной функции: 30 заданий
- Практика по прямой и обратной пропорциональности: 30 заданий
- Практика по графикам функций: 30 заданий
Соседние задания ОГЭ: задание 10 — теория вероятностей, задание 12 — расчёты по формулам. Графики понадобятся ещё раз во второй части, в задании 22.