Что проверяет задание 13
Задание 13 из первой части ОГЭ стоит 1 первичный балл. Нужно решить неравенство или систему неравенств и выбрать из четырёх вариантов тот, где решение изображено или записано верно. В ответ записывается одна цифра — номер варианта. Варианты обычно отличаются в мелочах: закрашен ли кружок на конце промежутка, между корнями или снаружи лежит ответ, в какую сторону направлена штриховка. Поэтому решать нужно полностью, а не угадывать по внешнему виду.
Что нужно уметь:
- решать линейные неравенства и помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется;
- решать квадратные неравенства через корни и направление ветвей параболы;
- решать системы неравенств, то есть находить пересечение промежутков;
- отличать строгое неравенство (выколотая точка, круглая скобка) от нестрогого (закрашенная точка, квадратная скобка).
Как выглядит задание
Типичные формулировки (свои аналоги):
Укажите решение неравенства $3x - 7 > 5x + 1$. Варианты: 1) $(-\infty; -4)$; 2) $(-4; +\infty)$; 3) $(-\infty; 4)$; 4) $(4; +\infty)$.
Укажите решение системы неравенств $\begin{cases} 2x - 1 < 5, \\ -3x \le 9. \end{cases}$
На экзамене варианты часто даны рисунками: промежутки на координатной прямой. Здесь мы записываем их скобками, смысл тот же. Круглая скобка соответствует выколотой точке, квадратная — закрашенной.
Алгоритм решения
- Определи тип неравенства. Если старшая степень $x$ первая, неравенство линейное. Если есть $x^2$, квадратное. Если дано несколько неравенств в фигурной скобке, это система.
- Линейное неравенство решай как уравнение: переноси слагаемые с $x$ в одну сторону, числа в другую. Если делишь обе части на отрицательное число, переверни знак.
- Квадратное неравенство решай через параболу:
- найди корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ через дискриминант или по теореме Виета;
- определи направление ветвей по знаку $a$;
- при $a > 0$ парабола ниже оси $Ox$ между корнями, а выше оси снаружи от корней.
- Систему неравенств решай по частям: каждое неравенство отдельно, затем оба ответа на одну прямую и найди общую часть.
- Проверь концы промежутка. Знак $>$ или $<$ даёт выколотую точку, знак $\ge$ или $\le$ — закрашенную.
- Сверь с вариантами и подставь одно «контрольное» число из своего ответа в исходное неравенство.
Как быстро отсеять неверные варианты
Варианты ответа в задании 13 можно использовать как подсказку. Часто решение даже не нужно доводить до конца.
- Подставь ноль. Если $x = 0$ удовлетворяет неравенству, оставь только те варианты, в которые входит 0. Если не удовлетворяет, наоборот. Одна подстановка нередко отсекает сразу два варианта из четырёх.
- Проверь граничную точку. Подставь конец промежутка из варианта. Если получилось равенство, точка входит в ответ только при нестрогом знаке. Если равенства нет, значит, этот конец вообще неверный.
- Посмотри на форму ответа. У квадратного неравенства с двумя корнями ответ — либо один отрезок между корнями, либо два луча снаружи. Если среди вариантов есть и то, и другое, достаточно понять знак $a$ и знак неравенства.
Этот приём — проверка, а не замена решения. Сначала реши неравенство, потом убедись подстановкой, что выбрал правильный вариант.
Разбор примеров
Пример 1. Укажи решение неравенства $3x - 7 > 5x + 1$. Варианты: 1) $(-\infty; -4)$; 2) $(-4; +\infty)$; 3) $(-\infty; 4)$; 4) $(4; +\infty)$.
Решение.
Шаг 1. Переносим $5x$ влево, $-7$ вправо:
$$3x - 5x > 1 + 7, \qquad -2x > 8$$Шаг 2. Делим обе части на $-2$. Число отрицательное, поэтому знак меняется на противоположный:
$$x < -4$$Шаг 3. Проверка: возьмём $x = -5$. Слева $3 \cdot (-5) - 7 = -22$, справа $5 \cdot (-5) + 1 = -24$. $-22 > -24$ — верно.
Решение $(-\infty; -4)$, это вариант 1.
Ответ: 1.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. Укажи решение неравенства $x^2 - 2x - 15 \le 0$. Варианты: 1) $(-\infty; -3] \cup [5; +\infty)$; 2) $[-3; 5]$; 3) $[-5; 3]$; 4) $(-\infty; -5] \cup [3; +\infty)$.
Решение.
Шаг 1. Корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$, $x_1 \cdot x_2 = -15$. Подходят $x_1 = -3$, $x_2 = 5$. Проверка через дискриминант: $D = 4 + 60 = 64$, $x = \dfrac{2 \pm 8}{2}$, то есть $-3$ и $5$.
Шаг 2. $a = 1 > 0$, ветви вверх. Парабола лежит ниже оси $Ox$ (или на ней) между корнями.
Шаг 3. Неравенство нестрогое, концы входят в ответ: $x \in [-3; 5]$.
Проверка: $x = 0$ даёт $-15 \le 0$ — верно; $x = 6$ даёт $36 - 12 - 15 = 9 > 0$ — не входит, как и должно быть.
Ответ: 2.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Укажи решение системы $\begin{cases} 2x - 1 < 5, \\ -3x \le 9. \end{cases}$ Варианты: 1) $(-3; 3)$; 2) $[-3; 3)$; 3) $(-3; 3]$; 4) решений нет.
Решение.
Шаг 1. Первое неравенство: $2x < 6$, $x < 3$. Неравенство строгое, точка 3 выколота.
Шаг 2. Второе неравенство: делим на $-3$ и меняем знак: $x \ge -3$. Неравенство нестрогое, точка $-3$ закрашена.
Шаг 3. Общая часть промежутков $[-3; +\infty)$ и $(-\infty; 3)$ — это $[-3; 3)$.
Ответ: 2.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Не перевернули знак при делении или умножении на отрицательное число. Это самая частая ошибка в задании 13: из $-2x > 8$ получается $x < -4$, а не $x > -4$.
- Перепутали «между корнями» и «снаружи». Правило «меньше нуля — между корнями» работает только при $a > 0$. Если ветви вниз, всё наоборот. Надёжнее каждый раз мысленно рисовать параболу.
- Потеряли концы промежутка. При нестрогом знаке концы закрашены, при строгом выколоты. В системе у каждого конца свой тип точки.
- Взяли объединение вместо пересечения. Решение системы — это то, что подходит под оба неравенства сразу, то есть общая часть.
- Решили правильно, но выбрали не тот рисунок. Перед записью ответа сверь с вариантом и направление, и тип каждой точки.
Что повторить
- Урок «Неравенства: линейные, квадратные, с модулем»: линейные неравенства, квадратные неравенства, системы неравенств.
- Урок о системах линейных неравенств: как решать систему неравенств и особые случаи, в том числе системы без решений.
- Пересечение и объединение числовых промежутков — если путаешь «и» с «или».
Где потренироваться
- Практика по неравенствам: 30 заданий
- Практика по системам линейных неравенств: 30 заданий
- Практика по операциям над множествами: 30 заданий
Соседние задания ОГЭ: задание 12 — расчёты по формулам, задание 14 — прогрессии. Квадратные неравенства с методом интервалов встретятся во второй части, в задании 20.