Что проверяет задание 19
Задание 19 закрывает первую часть ОГЭ и стоит 1 первичный балл. Считать здесь ничего не нужно. Даны три утверждения о геометрических фигурах, и нужно выбрать верные или, наоборот, неверные, смотря что спрашивают. В ответ записывается номер выбранного утверждения, а если их несколько — номера подряд, без пробелов и запятых. По сути это проверка теории планиметрии 7–9 класса: определений, признаков и свойств фигур.
Что нужно уметь:
- помнить основные факты о треугольниках: сумма углов, признаки равенства и подобия, свойства равнобедренного и прямоугольного треугольника;
- различать свойства параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата и трапеции;
- знать свойства окружности: вписанный и центральный угол, касательная;
- видеть в формулировке ловушки: «любой», «всегда», «существует», пропущенное условие;
- опровергать утверждение одним контрпримером.
Как выглядит задание
Типичная формулировка (свой аналог):
Какие из следующих утверждений верны?
- Сумма углов любого треугольника равна $180°$.
- Диагонали любого параллелограмма равны.
- Любой квадрат является ромбом. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Внимательно читай вопрос. Если спрашивают, какие утверждения неверны, логика ответа меняется на противоположную.
Алгоритм решения
- Прочитай вопрос. Реши заранее, что ищешь: верные утверждения или неверные.
- Разбери каждое утверждение отдельно. Найди в нём фигуру и свойство, о котором идёт речь.
- Проверь кванторы. Слово «любой» (или его отсутствие, что означает то же самое) требует, чтобы свойство выполнялось всегда. Слово «существует» или «некоторый» требует хотя бы одного примера.
- Попробуй построить контрпример. Если удаётся нарисовать фигуру, для которой утверждение не выполняется, оно ложно. Для «любого параллелограмма» проверь вытянутый непрямоугольный параллелограмм, для «любого треугольника» — тупоугольный.
- Проверь, не пропущено ли условие. Многие ложные утверждения — это верные теоремы, из которых выброшено важное условие. Например, в признаке подобия по двум сторонам обязателен угол между ними.
- Запиши номера в порядке возрастания, без пробелов.
Утверждения, которые часто путают
- Верно: против большей стороны треугольника лежит больший угол.
- Верно: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
- Неверно: «если в четырёхугольнике диагонали равны, то это прямоугольник». Равные диагонали есть и у равнобедренной трапеции.
- Верно: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
- Неверно: «любые два прямоугольных треугольника подобны». Для подобия нужен ещё один равный острый угол.
- Верно: все квадраты подобны друг другу, все правильные треугольники тоже.
- Неверно: «центр описанной окружности всегда лежит внутри треугольника». У тупоугольного треугольника он лежит снаружи, у прямоугольного — в середине гипотенузы.
Разбор примеров
Пример 1. Какие из утверждений верны? 1) Сумма углов любого треугольника равна $180°$. 2) Диагонали любого параллелограмма равны. 3) Любой квадрат является ромбом.
Решение.
-
Верно: это теорема о сумме углов треугольника.
-
Неверно. Равные диагонали есть у прямоугольника, но не у любого параллелограмма. Контрпример: параллелограмм с вершинами $(0; 0)$, $(4; 0)$, $(5; 2)$, $(1; 2)$. Его диагонали равны $\sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{29}$ и $\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$.
-
Верно. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. У квадрата все стороны равны, значит, он ромб.
Ответ: 13.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. Какое из утверждений неверно? 1) Если один из углов треугольника тупой, то два других угла острые. 2) Вписанный угол равен центральному углу, опирающемуся на ту же дугу. 3) Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
Решение.
-
Верно. Тупой угол больше $90°$, значит, на два оставшихся угла приходится меньше $90°$, и каждый из них острый.
-
Неверно. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
-
Верно: это свойство средней линии трапеции.
Спрашивают неверное утверждение — это номер 2.
Ответ: 2.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Какие из утверждений верны? 1) Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. 2) Диагонали любого прямоугольника перпендикулярны. 3) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Решение.
-
Верно: это свойство касательной.
-
Неверно. Перпендикулярные диагонали у ромба. Контрпример: прямоугольник $2 \times 1$ с вершинами $(0; 0)$, $(2; 0)$, $(2; 1)$, $(0; 1)$. Векторы диагоналей $(2; 1)$ и $(-2; 1)$, их скалярное произведение $-4 + 1 = -3 \neq 0$, значит, диагонали не перпендикулярны.
-
Неверно: пропущено условие о равенстве углов между этими сторонами. Контрпример: треугольник со сторонами 2 и 3 и углом $30°$ между ними и треугольник со сторонами 4 и 6 и углом $90°$ между ними. Стороны пропорциональны, но углы разные, значит, треугольники не подобны.
Ответ: 1.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Ответили на противоположный вопрос. Спрашивали неверные утверждения, а записали верные. Подчеркни в условии слово «верны» или «неверны».
- Приняли «почти верное» утверждение. Самая коварная ловушка — верная теорема без одного условия: «треугольники подобны, если две стороны пропорциональны» без угла между ними, «диагонали равны» без слова «прямоугольник».
- Перенесли свойство частного случая на общий. Квадрат — это и ромб, и прямоугольник, поэтому у квадрата есть свойства обоих. У произвольного ромба нет свойств прямоугольника, и наоборот.
- Перепутали признак и свойство. «Если параллелограмм — ромб, то его диагонали перпендикулярны» и «если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то он ромб» — разные утверждения. Первое верно, второе нет: у дельтоида диагонали тоже перпендикулярны.
- Записали ответ с запятыми или пробелами. Номера пишутся подряд: 13, а не «1, 3».
Что повторить
- Решение прямоугольных треугольников — свойства прямоугольного треугольника.
- От теоремы Пифагора к теореме косинусов — когда теорема Пифагора верна, а когда нет.
- Теорема Пифагора — статья блога.
- Свойства фигур, которые чаще всего встречаются в задании 19, собраны на страницах соседних заданий: треугольники, окружность, четырёхугольники.
Честно о пробелах: задание 19 проверяет теорию планиметрии 7–9 класса, а её на сайте пока нет. Урока или справочника с перечнем определений, признаков и свойств фигур тоже нет. Уроки по ссылкам выше касаются темы лишь частично, поэтому основную теорию придётся повторить по школьному учебнику геометрии.
Где потренироваться
Соседние задания ОГЭ: задание 18 — фигуры на клетчатой бумаге, задание 20 — алгебраические выражения, уравнения и неравенства. С задания 20 начинается вторая часть с развёрнутым ответом.