Задание 10 ОГЭ — задача на вероятность. В условии описан простой опыт: вынимают шар из коробки, бросают монету или кубик, выбирают случайный билет. Нужно найти вероятность события. Почти всегда хватает одной формулы: число благоприятных исходов делить на число всех исходов. Это одно из самых «дешёвых» заданий ОГЭ, если не ошибиться в подсчёте исходов.
Что проверяет задание 10
Задание части 1, оценивается в 1 первичный балл. Ответ краткий — число от 0 до 1, записанное десятичной дробью.
Какие умения нужны:
- находить вероятность в опытах с равновозможными исходами (классическое определение);
- правильно считать число всех и число благоприятных исходов, в том числе при двух-трёх бросаниях монеты;
- находить вероятность события «или» для несовместных событий сложением;
- переходить к противоположному событию: $P(\text{не } A) = 1 - P(A)$.
Как выглядит задание
Примеры формулировок (сюжеты наши):
- «В коробке 12 красных, 8 синих и 5 зелёных ручек. Ученик наугад берёт одну. Найдите вероятность того, что ручка окажется не красной».
- «Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза».
- «В сборнике 40 билетов, в 6 из них есть вопрос о вероятностях, в 10 — о процентах, в одном билете двух таких вопросов не бывает. Найдите вероятность того, что в случайном билете будет вопрос на одну из этих тем».
Алгоритм решения
- Опишите опыт. Что именно случайно выбирается и сколько всего вариантов? Это число всех исходов $n$.
- Убедитесь, что исходы равновозможны. Ручки выбирают наугад, монета симметричная — значит, классическая формула работает.
- Посчитайте благоприятные исходы $m$ — те, при которых событие наступает. При нескольких бросаниях монеты выпишите все варианты: ОО, ОР, РО, РР и так далее.
- Примените формулу $P(A) = \dfrac{m}{n}$.
- Для «или» с несовместными событиями можно сложить вероятности: $P(A \text{ или } B) = P(A) + P(B)$.
- Если проще посчитать обратное, найдите $P(\text{не } A)$ и вычтите из 1.
- Переведите ответ в десятичную дробь и проверьте, что он от 0 до 1.
Если в условии сказано «из 60 пирожков 21 с мясом, 15 с капустой, остальные с вишней», сначала найдите «остальных»: $60 - 21 - 15 = 24$, и только потом делите. Вероятность выбрать пирожок с вишней: $\frac{24}{60} = 0{,}4$.
Разбор примеров
Пример 1. В коробке 12 красных, 8 синих и 5 зелёных ручек. Ученик наугад берёт одну ручку. Найдите вероятность того, что она окажется не красной.
Шаг 1. Все исходы. Всего ручек $12 + 8 + 5 = 25$, любую можно вытащить с равными шансами: $n = 25$.
Шаг 2. Благоприятные исходы. Не красные — это синие и зелёные: $m = 8 + 5 = 13$.
Шаг 3. Формула:
$$P = \frac{13}{25} = 0{,}52.$$Проверка через противоположное событие: вероятность красной $\frac{12}{25} = 0{,}48$, и $1 - 0{,}48 = 0{,}52$.
Ответ: 0,52.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. Симметричную монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Шаг 1. Все исходы. Каждый бросок даёт 2 варианта, три броска: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ равновозможных исходов:
ООО, ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО, РРР.
Шаг 2. Благоприятные. Ровно два орла: ООР, ОРО, РОО — $m = 3$.
Шаг 3. $P = \dfrac{3}{8} = 0{,}375$.
Ответ: 0,375.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. В сборнике 40 экзаменационных билетов. В 6 билетах есть вопрос о вероятностях, в 10 билетах — вопрос о процентах. В одном билете двух таких вопросов не бывает. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном билете будет вопрос на одну из этих двух тем.
Шаг 1. События несовместны: билет не может содержать оба вопроса сразу.
Шаг 2. Вероятности по отдельности:
$$P(A) = \frac{6}{40} = 0{,}15, \qquad P(B) = \frac{10}{40} = 0{,}25.$$Шаг 3. Сложение для несовместных событий:
$$P(A \text{ или } B) = 0{,}15 + 0{,}25 = 0{,}4.$$То же получится напрямую: благоприятных билетов $6 + 10 = 16$, и $\frac{16}{40} = 0{,}4$.
Ответ: 0,4.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Неверное число всех исходов. Считают только красные и синие ручки, забыв про зелёные, или берут 3 исхода вместо 8 при трёх бросаниях монеты.
- Склеивают разные исходы. «Два орла и решка» — это три разных исхода (ООР, ОРО, РОО), а не один.
- Складывают вероятности совместных событий. Формула $P(A) + P(B)$ верна, только если события не могут произойти одновременно.
- Ответ больше 1 или в процентах. Вероятность записывают дробью от 0 до 1: 0,52, а не 52.
- Не используют противоположное событие, когда оно проще. «Хотя бы один» почти всегда быстрее считать через $1 - P(\text{ни одного})$.
Что повторить
Школьного урока по вероятности для 5–9 класса на сайте пока нет. Нужная теория есть в курсе математики для машинного обучения (уроки 226–229). Подача там более взрослая, и в примерах много машинного обучения, поэтому девятикласснику достаточно прочитать только эти разделы:
- Классическое определение: считаем исходы — главная формула задания 10
- Классические задачи: урны, кости, карты, дни рождения
- Случайный эксперимент и пространство элементарных исходов
- Совместные, несовместные события и полная группа
- Теорема сложения для несовместных событий
- Противоположное событие: приём «хотя бы один»
Где потренироваться
В практике этих уроков встречаются задачи уровня выше ОГЭ. Начинайте с первых, базовых заданий:
- Практика по классическому определению вероятности: 30 заданий
- Практика по случайным событиям: 30 заданий
- Практика по теоремам сложения и умножения: 30 заданий
Соседние задания: задание 9 — уравнения и задание 11 — графики функций. Все задания собраны в разделе ОГЭ.