Задание 23 — первая геометрическая задача второй части ОГЭ. Нужно найти длину, угол или площадь и обосновать каждый шаг. Сами вычисления обычно короткие: одна-две формулы. Сложнее всего увидеть, какой факт планиметрии здесь работает, и сослаться на него.
Что проверяет задание 23
Задание второй части с развёрнутым ответом, стоит до 2 первичных баллов. В отличие от заданий 15–18 первой части, недостаточно получить число. Надо объяснить, почему треугольник прямоугольный, почему углы равны, какая теорема применяется.
Какие умения нужны:
- свойства параллельных прямых: накрест лежащие и односторонние углы;
- свойства биссектрисы, высоты, медианы; свойства параллелограмма и трапеции;
- теорема Пифагора и соотношения в прямоугольном треугольнике (синус, косинус, тангенс);
- теорема косинусов и теорема синусов, радиус описанной окружности;
- площадь треугольника через две стороны и угол между ними.
Как выглядит задание
Типичные формулировки (аналоги):
- Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите $AB$, если $AF = 24$, $BF = 7$.
- В треугольнике две стороны равны 5 и 3, а угол между ними равен $120^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.
Алгоритм решения
- Сделайте чертёж. Крупный, по условию, с обозначением всех данных. Равные углы отметьте дугами, прямые углы — квадратиком.
- Выпишите, что дано и что найти. Отдельно отметьте «скрытые» данные: параллельные стороны, биссектрисы, точки на окружности.
- Найдите ключевой факт. Задайте себе вопросы:
- есть ли параллельные прямые? Тогда ищите равные накрест лежащие углы и односторонние углы, дающие в сумме $180^\circ$;
- есть ли прямоугольный треугольник? Тогда Пифагор и тригонометрия острого угла;
- известны две стороны и угол между ними? Тогда теорема косинусов;
- известны сторона и противолежащий угол? Тогда теорема синусов и радиус $R$.
- Вычислите искомое, на каждом шаге ссылаясь на теорему или свойство.
- Проверьте разумность ответа: гипотенуза больше катета, против большей стороны лежит больший угол.
- Запишите ответ.
Разбор примеров
Пример 1 (биссектрисы в трапеции). Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) пересекаются в точке $F$. Найдите $AB$, если $AF = 24$, $BF = 7$.
Так как $AD \parallel BC$, а $AB$ — секущая, углы $A$ и $B$ трапеции односторонние:
$$\angle A + \angle B = 180^\circ.$$$AF$ и $BF$ — биссектрисы, поэтому $\angle FAB = \dfrac{\angle A}{2}$ и $\angle FBA = \dfrac{\angle B}{2}$. Их сумма:
$$\angle FAB + \angle FBA = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ.$$Сумма углов треугольника $AFB$ равна $180^\circ$, значит $\angle AFB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Треугольник $AFB$ прямоугольный с гипотенузой $AB$.
По теореме Пифагора:
$$AB = \sqrt{AF^2 + BF^2} = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25.$$Ответ: 25.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2 (высота в прямоугольном треугольнике). В треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой, $CH$ — высота, $AC = 10$, $\cos A = 0{,}8$. Найдите $BH$.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
$$\cos A = \frac{AC}{AB} \;\Rightarrow\; AB = \frac{10}{0{,}8} = 12{,}5.$$Треугольник $ACH$ тоже прямоугольный (угол $H$ прямой), и угол $A$ у него общий с треугольником $ABC$:
$$\cos A = \frac{AH}{AC} \;\Rightarrow\; AH = 10 \cdot 0{,}8 = 8.$$Точка $H$ лежит на гипотенузе $AB$, поэтому
$$BH = AB - AH = 12{,}5 - 8 = 4{,}5.$$Проверка другим способом: $CH = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$, и по свойству высоты из прямого угла $CH^2 = AH \cdot BH$, откуда $BH = 36 : 8 = 4{,}5$.
Ответ: 4,5.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3 (теорема косинусов и радиус). В треугольнике две стороны равны 5 и 3, а угол между ними равен $120^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Обозначим третью сторону $c$, она лежит против угла $120^\circ$. По теореме косинусов:
$$c^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos 120^\circ = 25 + 9 - 30 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right) = 34 + 15 = 49,$$значит $c = 7$.
По теореме синусов $\dfrac{c}{\sin C} = 2R$, где $C = 120^\circ$ и $\sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$:
$$R = \frac{c}{2 \sin 120^\circ} = \frac{7}{2 \cdot \frac{\sqrt3}{2}} = \frac{7}{\sqrt3} = \frac{7\sqrt3}{3}.$$Ответ: $\dfrac{7\sqrt3}{3}$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Вычисления без обоснования. Запись «$\angle AFB = 90^\circ$» без ссылки на односторонние углы и биссектрисы проверяющий не примет.
- Знак косинуса тупого угла. $\cos 120^\circ = -\tfrac12$, поэтому в теореме косинусов минус на минус даёт плюс. Если третья сторона вышла меньше, чем при прямом угле, где-то потерян знак.
- Перепутан прилежащий и противолежащий катет. Перед тем как писать $\sin$ или $\cos$, найдите на чертеже угол и подпишите, какой катет к нему прилежит.
- Чертёж «на глаз» вместо условия. Не считайте равными углы или стороны только потому, что так выглядит на рисунке.
- Иррациональность в знаменателе. Ответ $\dfrac{7}{\sqrt3}$ верен, но лучше записать $\dfrac{7\sqrt3}{3}$, чтобы не было вопросов.
Что повторить
- Прямоугольный треугольник: Решение прямоугольных треугольников и Площадь треугольника через синус угла в уроке «Применение тригонометрии в геометрии».
- Теорема косинусов: Блок 3: Примеры с разбором — находим третью сторону.
- Теорема синусов: Блок 1: Вывод и формулировка теоремы синусов.
- Теорема Пифагора: статья блога Теорема Пифагора: формула, примеры и как найти катет или гипотенузу.
Честно о пробелах: уроков планиметрии 7–9 класса на сайте пока нет. Нет разборов признаков подобия, свойств биссектрисы, трапеции и параллелограмма, окружности, а в задании 23 часто нужны именно они. Уроки 108–110 рассчитаны на 10 класс и дают тригонометрический аппарат: прямоугольный треугольник, теоремы синусов и косинусов. Свойства параллельных прямых и фигур пока придётся повторить по школьному учебнику.
Где потренироваться
- Практика: 30 заданий по тригонометрии в геометрии.
- Практика: 30 заданий по теореме косинусов.
- Практика: 30 заданий по теореме синусов.
Соседние задания ОГЭ: задание 15 (треугольники, первая часть), задание 24 (доказательство) и задание 25 (геометрия повышенной сложности).