Что проверяет задание 18
Задание 18 первой части ОГЭ стоит 1 первичный балл. На клетчатой бумаге с клетками $1 \times 1$ изображена фигура: треугольник, трапеция, параллелограмм, отрезок или угол. Нужно найти длину, площадь, среднюю линию или значение тригонометрической функции угла. Вершины фигур всегда лежат в узлах сетки, поэтому любую длину по горизонтали или вертикали можно просто посчитать по клеткам.
Что нужно уметь:
- считать горизонтальные и вертикальные отрезки по клеткам;
- находить длину наклонного отрезка по теореме Пифагора: $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$;
- находить площадь треугольника, параллелограмма и трапеции, если основание и высота идут по линиям сетки;
- находить площадь «неудобной» фигуры, вычитая лишние куски из описанного прямоугольника;
- находить среднюю линию трапеции или треугольника и тангенс угла по клеткам.
Как выглядит задание
Типичные формулировки (свои аналоги):
На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник. Найдите его площадь.
На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ отмечены точки $A$ и $B$. Найдите длину отрезка $AB$.
Рисунка здесь нет, поэтому в примерах мы задаём вершины координатами узлов сетки: $(x; y)$ — это $x$ клеток вправо и $y$ клеток вверх от выбранного угла листа. На экзамене ты делаешь то же самое, только считаешь клетки по рисунку.
Алгоритм решения
- Найди на рисунке стороны, идущие по линиям сетки. Их длины считаются прямо по клеткам. Удобно, если такая сторона станет основанием.
- Проведи высоту по линии сетки. Если основание горизонтальное, высота вертикальная, и её тоже можно посчитать по клеткам.
- Если подходящего основания нет, используй метод описанного прямоугольника: дострой фигуру до прямоугольника со сторонами по сетке, найди его площадь и вычти площади прямоугольных треугольников по углам.
- Для наклонного отрезка посчитай, на сколько клеток он смещается по горизонтали ($\Delta x$) и по вертикали ($\Delta y$). Длина равна $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$.
- Для тангенса угла построй прямоугольный треугольник с катетами по сетке: $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$.
- Проверь ответ. Площадь фигуры не может быть больше площади описанного прямоугольника.
Какие формулы нужны на клетчатой бумаге
- Площадь треугольника: $S = \dfrac{1}{2} a h$, где $a$ — основание, $h$ — высота к нему.
- Площадь параллелограмма: $S = a h$. Если основание идёт по линии сетки, высота — это расстояние между параллельными сторонами по клеткам.
- Площадь трапеции: $S = \dfrac{a + b}{2} \cdot h$.
- Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
- Длина отрезка: $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$. Полезно помнить тройки 3, 4, 5 и 6, 8, 10: они часто встречаются на клетчатой бумаге.
- Тангенс острого угла прямоугольного треугольника — отношение противолежащего катета к прилежащему. На сетке оба катета считаются по клеткам.
Если на рисунке круг или его часть и в условии сказано «ответ разделите на $\pi$», в бланк записывается только числовой множитель при $\pi$.
Разбор примеров
Пример 1. Треугольник на клетчатой бумаге $1 \times 1$ имеет вершины $(1; 1)$, $(7; 1)$ и $(4; 5)$. Найди его площадь.
Решение.
Шаг 1. Сторона между $(1; 1)$ и $(7; 1)$ горизонтальная. Её длина — 6 клеток. Берём её за основание.
Шаг 2. Высота, опущенная из вершины $(4; 5)$ на прямую $y = 1$, вертикальная: $5 - 1 = 4$ клетки.
Шаг 3.
$$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$$Ответ: 12.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. На клетчатой бумаге $1 \times 1$ отмечены точки $A(1; 2)$ и $B(7; 10)$. Найди длину отрезка $AB$.
Решение.
Отрезок наклонный. Смещение по горизонтали: $\Delta x = 7 - 1 = 6$ клеток, по вертикали: $\Delta y = 10 - 2 = 8$ клеток. Эти смещения — катеты прямоугольного треугольника, а $AB$ — его гипотенуза:
$$AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$$Ответ: 10.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Четырёхугольник на клетчатой бумаге $1 \times 1$ имеет вершины $(1; 1)$, $(6; 1)$, $(8; 4)$ и $(2; 5)$. Найди его площадь.
Решение.
Удобных оснований и высот нет, поэтому применяем метод описанного прямоугольника.
Шаг 1. Наименьший прямоугольник со сторонами по сетке, содержащий фигуру: по горизонтали от 1 до 8, по вертикали от 1 до 5. Его площадь $7 \cdot 4 = 28$.
Шаг 2. Вырезаем лишние прямоугольные треугольники по углам:
- справа внизу, с вершинами $(6; 1)$, $(8; 1)$, $(8; 4)$: катеты 2 и 3, площадь $\dfrac{2 \cdot 3}{2} = 3$;
- справа вверху, с вершинами $(8; 4)$, $(8; 5)$, $(2; 5)$: катеты 1 и 6, площадь $\dfrac{1 \cdot 6}{2} = 3$;
- слева вверху, с вершинами $(2; 5)$, $(1; 5)$, $(1; 1)$: катеты 1 и 4, площадь $\dfrac{1 \cdot 4}{2} = 2$.
В левом нижнем углу вырезать нечего, там лежит вершина фигуры.
Шаг 3.
$$S = 28 - 3 - 3 - 2 = 20$$Ответ: 20.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Длину наклонного отрезка считают по клеткам «вдоль». Диагональ клетки не равна 1, она равна $\sqrt{2}$. Любой наклонный отрезок считается только по теореме Пифагора.
- Берут в качестве высоты наклонную сторону. Высота перпендикулярна основанию. На клетчатой бумаге её удобно проводить по линиям сетки.
- В методе описанного прямоугольника пропускают кусок. Перед вычитанием обведи все лишние области по контуру. Иногда в углу оказывается не треугольник, а трапеция или прямоугольник.
- Ошибаются на единицу при подсчёте клеток. Считай промежутки между узлами, а не сами узлы. От узла 1 до узла 7 — шесть клеток.
- Забывают поделить на 2 в площади треугольника.
Что повторить
- Площадь — урок 5 класса, где площадь прямоугольника считается по клеткам.
- Длина (норма) вектора — та же формула $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$, что и для отрезка на клетчатой бумаге. Урок вузовский и содержит примеры из машинного обучения, поэтому для ОГЭ достаточно этого раздела.
- Статьи блога: теорема Пифагора и площади фигур.
Честно о пробелах: отдельного урока про задачи на клетчатой бумаге на сайте пока нет. Приём с описанным прямоугольником разобран только здесь, в примере 3. Остальные навыки собраны из материалов, перечисленных выше.
Где потренироваться
- Практика по периметру, площади и объёму: 30 заданий
- Практика по векторам: 30 заданий — для тех, кто хочет потренировать длины отрезков по координатам.
Соседние задания ОГЭ: задание 17 — четырёхугольники, задание 19 — анализ геометрических утверждений.