Производительность труда: кто работает быстрее ⚙️

Представь: ты с другом играете в Minecraft и решили построить огромный замок. Друг за час кладёт 20 блоков, а ты — 15. Кто из вас работает быстрее? А если вы объединитесь — за сколько времени построите замок из 350 блоков?

Задачи "про работу" — это почти те же задачи на движение из прошлого урока, только вместо километров считают выполненную работу: строчки кода, страницы текста, покрашенные метры забора. Формулы окажутся до боли знакомыми — потому что это буквально то же самое S = V × t, только с другими названиями букв.

🎯 Ты узнаешь:

• Формулу производительности и все её варианты
• Как считать, за сколько времени справятся с работой ВМЕСТЕ два (или больше) работника
• Что делать, если объём работы не назван числом
• Как учитывать факторы, которые работают ПРОТИВ результата (например, слив в бассейне)

---

История: откуда взялись задачи на работу? 📜

Задачи о совместной работе — одни из старейших в математике. В китайском трактате "Девять книг по арифметике" (около 200 года до н. э.) уже встречаются задачи вроде "один канал наполняет пруд за столько-то дней, другой — за столько-то, за сколько наполнят вместе?" — практически слово в слово похожие на те, что ты будешь решать сегодня.

Причина понятна: строительство каналов, ирригация полей, возведение стен требовали чёткого планирования — сколько рабочих нанять, чтобы уложиться в срок, и как распределить силы между несколькими бригадами. Ошибка в расчёте могла стоить сорванного урожая или незаконченной крепости к сезону дождей.

Сегодня та же математика работает в планировании ИТ-проектов: когда команда разработчиков оценивает, за сколько дней закончит проект, если к команде добавить ещё одного программиста, — это буквально задача на совместную работу, которую люди решают уже больше двух тысяч лет.

---

Блок 1: Формула производительности

Что это такое простыми словами

Производительность — это сколько работы выполняется за единицу времени (час, минуту, день). Проще говоря: кто за одно и то же время делает больше — тот и работает быстрее.

Строгое определение

Определение: Производительность v — это объём работы A, выполненный за единицу времени t:

$$v = \frac{A}{t}$$

Отсюда: $A = v \times t$ (объём работы) и $t = \dfrac{A}{v}$ (время работы).

Обозначения:

• v — производительность (работа в единицу времени)
• A — объём выполненной работы
• t — время работы

Примеры с подробным разбором

Пример 1 (простой): Коля решил 24 примера за 6 минут. Какая у него производительность?

v = A ÷ t = 24 ÷ 6 = 4 примера в минуту

Ответ: 4 примера в минуту.

---

Пример 2 (средний): Принтер печатает 50 страниц в час. Сколько он напечатает за 3,5 часа?

A = v × t = 50 × 3,5 = 175 страниц

Ответ: 175 страниц.

---

Пример 3 (сложный — единицы измерения): Нужно отредактировать 186 фотографий. Редактор обрабатывает 15 фотографий в час. За сколько часов и минут он справится?

Шаг 1: Находим время в часах.

t = A ÷ v = 186 ÷ 15 = 12,4 часа

Шаг 2: Переводим дробную часть часа в минуты.

0,4 × 60 = 24 минуты

Ответ: 12 часов 24 минуты.

Почему это важно

Формула производительности — это ровно та же формула движения S = V × t, просто применённая не к расстоянию, а к любой измеримой работе. Освоив её один раз, ты автоматически умеешь решать десятки типов задач: про печать, уборку, сборку, написание кода.

---

Блок 2: Совместная работа (когда объём работы дан числом)

Что это такое простыми словами

Самое интересное начинается, когда несколько работников трудятся ВМЕСТЕ. Их производительности при этом складываются — точно так же, как складывались скорости при встречном движении.

Строгое определение

Определение: При совместной работе нескольких участников их производительности складываются:

$$v_{\text{вместе}} = v_1 + v_2 + \dots$$

Примеры с подробным разбором

Пример 1 (простой): Первый 3D-принтер печатает 5 деталей в час, второй — 7 деталей в час. Сколько деталей они напечатают вместе за 3 часа?

Шаг 1: Находим совместную производительность.

5 + 7 = 12 деталей в час

Шаг 2: Умножаем на время.

12 × 3 = 36 деталей

Ответ: 36 деталей.

---

Пример 2 (средний): Двое красят забор: первый красит 4 м² в час, второй — 6 м² в час. Вместе они покрасили 60 м². Сколько часов заняла работа?

Шаг 1: Находим совместную производительность.

4 + 6 = 10 м² в час

Шаг 2: Находим время.

60 ÷ 10 = 6 часов

Ответ: 6 часов.

---

Пример 3 (сложный): Трое упаковщиков работают с производительностью 8, 10 и 12 коробок в час. Они работают все вместе 2 часа, а затем двое самых быстрых (10 и 12 коробок в час) продолжают работать одни ещё 1,5 часа. Сколько коробок упаковано всего?

Шаг 1: Находим, сколько упаковали за первые 2 часа втроём.

(8 + 10 + 12) × 2 = 30 × 2 = 60 коробок

Шаг 2: Находим, сколько упаковали оставшиеся двое за следующие 1,5 часа.

(10 + 12) × 1,5 = 22 × 1,5 = 33 коробки

Шаг 3: Складываем оба этапа.

60 + 33 = 93 коробки

Ответ: 93 коробки.

Почему это важно

Умение считать совместную производительность напрямую переносится на планирование любой командной работы — от школьного проекта до реального бизнеса, где нужно понять, сколько сотрудников нанять, чтобы уложиться в срок.

---

Блок 3: Когда объём работы не назван числом

Что это такое простыми словами

Иногда в условии не дают конкретное число ("покрасил 60 м²"), а говорят иначе: "мама убирает квартиру за 2 часа, папа — за 3 часа". В таких случаях всю работу удобно принять за единицу (1) — как целую квартиру, целую картину или целый текст, вне зависимости от реального размера.

Строгое определение

Определение: Если известно только время, за которое участник выполняет ВСЮ работу целиком, объём этой работы принимают за 1. Тогда производительность участника — это дробь 1/t, где t — время выполнения всей работы в одиночку.

Примеры с подробным разбором

Пример 1 (простой): Мама может убрать квартиру за 2 часа, папа — за 3 часа. За сколько времени они уберут квартиру вместе?

Шаг 1: Вся работа = 1. Находим производительность каждого.

Мама: 1/2 квартиры в час
Папа: 1/3 квартиры в час

Шаг 2: Складываем производительности, приведя дроби к общему знаменателю.

1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 квартиры в час

Шаг 3: Находим время как 1 (вся работа), делённую на совместную производительность.

1 ÷ 5/6 = 1 × 6/5 = 1,2 часа = 1 час 12 минут

Ответ: 1 час 12 минут.

---

Пример 2 (средний): Первая труба заполняет бассейн за 4 часа, вторая — за 6 часов. За сколько часов бассейн заполнится через обе трубы вместе?

Шаг 1: Находим производительности.

1/4 + 1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12 бассейна в час

Шаг 2: Находим время.

1 ÷ 5/12 = 12/5 = 2,4 часа = 2 часа 24 минуты

Ответ: 2 часа 24 минуты.

---

Пример 3 (сложный): Художница может покрасить комнату за 8 дней, а её напарник — за 12 дней. Они работали вместе 2 дня, а затем художница закончила работу одна. Сколько всего дней потребовалось?

Шаг 1: Находим совместную производительность.

1/8 + 1/12 = 3/24 + 2/24 = 5/24 комнаты в день

Шаг 2: Находим, какая часть работы сделана за первые 2 дня.

5/24 × 2 = 10/24 = 5/12 комнаты

Шаг 3: Находим, сколько работы осталось.

1 − 5/12 = 7/12 комнаты

Шаг 4: Находим, за сколько дней художница закончит оставшуюся работу одна.

7/12 ÷ 1/8 = 7/12 × 8 = 56/12 = 14/3 = 4⅔ дня

Шаг 5: Складываем общее время.

2 + 14/3 = 6/3 + 14/3 = 20/3 = 6⅔ дня (6 дней и 16 часов)

Ответ: 6⅔ дня.

Почему это важно

Приём "принять работу за 1" — это мощный инструмент, который позволяет решать задачи, даже когда реальный объём работы неизвестен или не важен. Именно так финансисты считают "доли проекта", а инженеры — распределение нагрузки между несколькими станками.

---

Блок 4: Когда что-то мешает работе

Что это такое простыми словами

Иногда в задаче есть не только помощники, но и "вредители" — например, сливное отверстие в бассейне, которое опустошает его, пока трубы его наполняют. Такую производительность нужно вычитать, а не складывать — она работает ПРОТИВ общего результата.

Строгое определение

Определение: Если один из процессов действует НАВСТРЕЧУ основной работе (опустошает, разрушает, отменяет часть выполненного), его производительность вычитается из суммарной производительности помощников:

$$v_{\text{итоговая}} = v_1 + v_2 + \dots - v_{\text{мешающий}}$$

Примеры с подробным разбором

Пример 1 (простой): Через первую трубу бассейн наполняется за 3 часа, через вторую — за 6 часов, а через сливное отверстие опустошается за 4 часа. За какое время наполнится бассейн, если открыть всё одновременно?

Шаг 1: Находим итоговую производительность, приведя дроби к общему знаменателю 12.

1/3 + 1/6 − 1/4 = 4/12 + 2/12 − 3/12 = 3/12 = 1/4 бассейна в час

Шаг 2: Находим время.

1 ÷ 1/4 = 4 часа

Ответ: 4 часа.

---

Пример 2 (средний): Ванна заполняется через кран за 6 минут, но одновременно вытекает через отсутствующую пробку за 10 минут. Если кран открыт, а пробки нет, за сколько минут наполнится ванна?

Шаг 1: Находим итоговую производительность.

1/6 − 1/10 = 5/30 − 3/30 = 2/30 = 1/15 ванны в минуту

Шаг 2: Находим время.

1 ÷ 1/15 = 15 минут

Ответ: 15 минут.

---

Пример 3 (сложный): Команда разработчиков может создать игру за 120 дней. После 30 дней работы к ним присоединился ещё один разработчик, и всю оставшуюся работу они закончили за 60 дней. За сколько дней новый разработчик мог бы создать игру один?

Шаг 1: Находим производительность исходной команды.

1/120 игры в день

Шаг 2: Находим, сколько работы сделано за первые 30 дней.

30 × 1/120 = 30/120 = 1/4 игры

Шаг 3: Находим, сколько работы осталось.

1 − 1/4 = 3/4 игры

Шаг 4: Находим общую производительность команды с новым разработчиком (эта работа сделана за следующие 60 дней).

3/4 ÷ 60 = 3/240 = 1/80 игры в день

Шаг 5: Находим производительность нового разработчика — вычитаем производительность исходной команды.

1/80 − 1/120 = 3/240 − 2/240 = 1/240 игры в день

Шаг 6: Находим время, за которое он справился бы один.

1 ÷ 1/240 = 240 дней

Ответ: 240 дней.

Почему это важно

В реальной жизни почти всегда есть факторы, действующие против результата: расходы против доходов, поломки против ремонта, забывание против запоминания. Умение честно вычитать "негативную производительность" — это навык, который переносится далеко за пределы школьной математики.

---

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: Стример набирает 1000 подписчиков за 5 дней. Найди его производительность.

Задание 2: Курьер доставляет 8 заказов в час. Сколько он доставит за 6 часов?

Задание 3: Блогер написал 15 постов за 3 дня с постоянной скоростью. За сколько дней он напишет 25 постов?

Задание 4: Коля решил 24 примера за 6 минут. Найди его производительность.

Задание 5: Принтер печатает 50 страниц в час. Сколько он напечатает за 3 часа?

Задание 6: Нужно отредактировать 120 фотографий, редактор обрабатывает 15 фото в час. Сколько часов понадобится?

Задание 7: Первый принтер печатает 5 предметов в час, второй — 7. Найди их совместную производительность.

Задание 8: Маляр красит 4 м² в час. За сколько часов он покрасит 28 м²?

Задание 9: Команда написала 300 строк кода за 5 часов с постоянной скоростью. Найди производительность в строках в час.

Задание 10: Станок производит 9 деталей за 3 минуты. Найди производительность в деталях в минуту.

---

Средние (задания 11–20)

Задание 11: Первый 3D-принтер печатает модель за 4 часа, второй — за 6 часов. За сколько часов они напечатают модель вместе?

Задание 12: Двое красят забор: первый — 4 м²/час, второй — 6 м²/час. Вместе покрасили 60 м². Сколько часов заняла работа?

Задание 13: Мама убирает квартиру за 2 часа, папа — за 3 часа. За сколько часов они уберут квартиру вместе?

Задание 14: Ванна заполняется краном за 5 минут, а вытекает через дыру за 15 минут. Оба процесса идут одновременно. За сколько минут наполнится ванна?

Задание 15: Два программиста пишут код: первый — 50 строк/час, второй — 70 строк/час. За сколько часов они напишут программу в 960 строк?

Задание 16: Первая труба наполняет бассейн за 3 часа, вторая — за 6 часов, а слив опустошает за 4 часа. За сколько часов наполнится бассейн при одновременной работе всех трёх?

Задание 17: Работник может выполнить задачу за 10 дней. Он работал один 4 дня, затем к нему присоединился второй работник, и вместе они закончили оставшуюся работу за 2 дня. За сколько дней справился бы второй работник в одиночку?

Задание 18: Два повара готовят к вечеринке: первый готовит 12 блюд за 4 часа, второй — 15 блюд за 5 часов. У кого выше производительность?

Задание 19: Труба A наполняет бак за 8 часов, труба B — за 12 часов, а труба C (слив) опустошает за 24 часа. Все три работают одновременно. За сколько часов наполнится бак?

Задание 20: Завод собирает 1800 игрушек за неделю, используя одновременно два станка производительностью 100 и 150 игрушек в день. За сколько дней завод справится с заказом?

---

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21: Художница может покрасить комнату за 8 дней, а напарник — за 12 дней. Они работали вместе 2 дня, затем художница закончила одна. Сколько всего дней потребовалось?

Задание 22: Команда разработчиков может создать игру за 120 дней. После 30 дней работы присоединился ещё один разработчик, и оставшуюся работу закончили за 60 дней. За сколько дней новый разработчик справился бы один?

Задание 23: Кран наполняет ванну за 6 минут, слив опустошает за 10 минут. Кран открыт вместе со сливом. За сколько минут наполнится ванна?

Задание 24: Трое упаковщиков работают с производительностью 8, 10 и 12 коробок в час. Они работают вместе 2 часа, затем двое самых быстрых (10 и 12) продолжают ещё 1,5 часа. Сколько коробок упаковано всего?

Задание 25: Первый насос наполняет бассейн за 5 часов, второй — за x часов. Вместе они наполняют бассейн за 3 часа. Найди x.

Задание 26: Работник A выполняет задачу за 6 дней, работник B — за 12 дней. Они работают вместе 2 дня, затем B уходит, а к A присоединяется работник C — вместе они заканчивают оставшуюся работу за 2 дня. За сколько дней C справился бы один?

Задание 27: Двое друзей вместе косят газон за 4 часа. По отдельности первому нужно на 6 часов больше, чем второму. За сколько часов справился бы каждый в одиночку?

Задание 28: Бак наполняется через трубу A за 10 часов, а опустошается через трубу B за 15 часов. Бак пустой, обе трубы открыты одновременно. За сколько часов бак наполнится?

Задание 29: Двое студентов печатают эссе: вместе они справляются за 2 часа. Если бы первый печатал в одиночку весь текст, ему потребовалось бы 3 часа. За сколько часов справился бы второй в одиночку?

Задание 30 (на подумать): Бригада может построить здание за 90 дней. После 20 дней работы бригаду увеличили на 50% (общая производительность выросла на 50%), и увеличенная бригада закончила оставшуюся работу. Сколько всего дней (от начала проекта) заняла стройка?

---

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Путают производительность и объём работы Неправильно: называть "производительностью" общее количество сделанного, не деля на время Правильно: производительность — это работа ЗА ЕДИНИЦУ ВРЕМЕНИ, то есть уже поделённая величина Почему важно: без чёткого различия невозможно правильно составить уравнение

❌ Ошибка 2: При совместной работе умножают производительности вместо сложения Неправильно: v_вместе = v₁ × v₂ Правильно: производительности при совместной работе СКЛАДЫВАЮТСЯ: v_вместе = v₁ + v₂ Почему важно: умножение производительностей не имеет физического смысла и даёт абсурдно большие числа

❌ Ошибка 3: Забывают вычитать производительность "против работы" Неправильно: складывать производительность слива вместе с наполняющими трубами Правильно: если что-то мешает работе (слив, брак, поломка) — его производительность ВЫЧИТАЕТСЯ Почему важно: без вычитания результат окажется завышенным и не будет соответствовать реальности

❌ Ошибка 4: Берут вторую долю работы от исходного целого, а не от остатка Неправильно: во втором этапе задачи снова делить на 1 (всю работу), а не на то, что реально осталось Правильно: после первого этапа всегда находи ОСТАТОК работы и работай именно с ним дальше Почему важно: это та же ловушка, что и в задачах на дроби с "последовательными долями"

❌ Ошибка 5: Не переводят дробные часы в минуты для итогового ответа Неправильно: оставлять ответ в виде "2,4 часа" без пояснения Правильно: переведи дробную часть в минуты — 2,4 часа = 2 часа 24 минуты (0,4 × 60 = 24) Почему важно: ответ должен быть понятным и практически применимым

---

Главное запомнить

📝 Ключевые понятия

✅ Формула производительности: v = A ÷ t (и её варианты: A = v × t, t = A ÷ v)

✅ При совместной работе производительности СКЛАДЫВАЮТСЯ

✅ Если объём работы не назван числом — принимай его за 1 (всю работу целиком)

✅ Производительность при работе "за t часов на всё" равна дроби 1/t

✅ Факторы, мешающие работе (слив, брак) — их производительность ВЫЧИТАЕТСЯ

✅ После каждого этапа многошаговой задачи находи именно ОСТАТОК работы, а не бери долю от исходного целого

✅ Дробные часы переводи в минуты для итогового ответа: 0,4 часа = 24 минуты

✅ Формула производительности — это формула движения S = V × t, просто с другими названиями величин

---

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Простейшие задачи (урок 42) и задачи на дроби (урок 43) — план решения и работа с долями целого
• Задачи на движение (урок 45) — та же самая логика сложения "скоростей", только для работы, а не для расстояния

Что изучить дальше:

• Элементы статистики (урок 47) — там встретится похожая идея "средней производительности" по всей выборке данных
• Уравнения (урок 48–49) — многие задачи на производительность из этого урока можно решить ещё быстрее, если сразу составить уравнение

Где это нужно в жизни:

• 🎮 В играх: расчёт, за сколько ходов или часов игровая ферма (или крафт-станция) выдаст нужное количество ресурсов
• 📱 В технологиях: оценка, за сколько времени команда разработчиков закончит проект при разном количестве участников
• 💰 В жизни: распределение домашних дел так, чтобы всё было готово к нужному времени

---

Интересные факты

💡 "Девять книг по арифметике" — китайский трактат возрастом более 2200 лет — содержит задачи про совместное наполнение прудов через несколько каналов, почти идентичные тем, что решают современные школьники.

💡 Agile и "скорость команды" — в современной разработке программного обеспечения используется понятие "velocity" (скорость команды) — это буквально производительность команды, измеренная в очках задач за спринт (двухнедельный период работы).

💡 Закон Брукса — известное наблюдение в разработке ПО гласит: "добавление рабочей силы к отстающему программному проекту задерживает его ещё больше". Это забавное исключение из простой формулы сложения производительностей — новым людям нужно время, чтобы разобраться в проекте, прежде чем они начнут реально помогать.

💡 Muraille de Chine и рабочие бригады — при строительстве Великой Китайской стены планировщики распределяли рабочих по участкам именно через расчёт производительности каждой бригады, чтобы уложиться в сроки, поставленные императором.

---

Лайфхаки и полезные трюки

1. Если объём работы не назван — смело бери его за 1 Это не "хитрость", а стандартный математический приём, который сильно упрощает запись уравнений.

2. При совместной работе — сразу находи общий знаменатель Работая с дробями вида 1/t₁ + 1/t₂, сразу приведи их к общему знаменателю — это избавит от ошибок при сложении.

3. Слив, брак, поломка — всегда вычитай, никогда не складывай Если что-то работает ПРОТИВ результата — это отрицательный вклад в общую производительность.

4. Переводи дробные часы через умножение на 60 0,x часа = (0,x × 60) минут. Это быстрее, чем переводить через десятичную дробь часа отдельно.

5. Проверяй ответ через "здравый смысл команды" Если вместе люди работают дольше, чем самый быстрый из них поодиночке — ты явно перепутал сложение с вычитанием производительностей.

---

💡 Совет: Задачи на производительность почти всегда сводятся к одному и тому же шаблону: найди производительность каждого, сложи (или вычти, если что-то мешает), затем раздели работу на итоговую производительность. Заучи этот порядок — и любая формулировка перестанет пугать.

Готов двигаться дальше? В следующем уроке мы разберём, как анализировать наборы данных: искать среднее, моду и медиану. А если хочешь порешать задачи с подсказками — открой AI-репетитора в Telegram.