Системы линейных неравенств с одной переменной
📋 Содержание урока
Системы линейных неравенств с одной переменной ⚖️
Представь: ты копишь на новый скин в игре. Скин продаётся только тем, у кого уровень аккаунта выше 20 — это первое условие. Но ещё у тебя есть только 500 монет, а скин с апгрейдами стоит по 15 монет за уровень — значит, нужно, чтобы твой уровень при этом не требовал больше монет, чем у тебя есть. Получается два условия сразу, и оба должны выполняться одновременно.
Именно так работают системы неравенств. Одно неравенство редко описывает жизнь полностью — обычно условий несколько: "выше 18 лет, но младше 65", "цена меньше 3000, но качество не ниже 4 звёзд", "скорость не меньше 60 км/ч, но и не больше 90". Каждое такое требование — отдельное неравенство, а всё вместе — система.
В прошлом уроке ты научился решать одно линейное неравенство. Сегодня ты узнаешь, что делать, когда условий несколько, как находить общее решение и что происходит, если условия противоречат друг другу.
🎯 Ты узнаешь:
- Что такое система неравенств и чем она отличается от одного неравенства
- Как находить пересечение решений на числовой прямой
- Какие бывают особые случаи (когда решений нет вообще, или наоборот — подходит любое число)
- Как переводить текстовую задачу в систему неравенств
История: откуда взялись системы неравенств? 📜
Сами знаки "меньше" и "больше" (< и >) придумал английский математик Томас Хэрриот в начале XVII века — до этого учёные вынуждены были писать словами "меньше, чем" или "больше, чем", что делало любые вычисления невыносимо длинными.
А вот идея системы неравенств — когда несколько условий должны выполняться одновременно — по-настоящему расцвела только в XX веке, и не в чистой математике, а в экономике и логистике. В 1939 году советский математик Леонид Канторович решал очень практическую задачу: как распределить сырьё между фабриками, чтобы произвести максимум продукции, при этом не превысив запасы каждого ресурса. Каждое ограничение по ресурсу — это отдельное неравенство ("угля израсходовано не больше, чем есть на складе"), а решение всей системы этих неравенств показывало, какие планы производства вообще возможны. За эту работу (позже развитую американцем Джорджем Данцигом, который в 1947 году придумал знаменитый симплекс-метод) Канторович в 1975 году получил Нобелевскую премию по экономике.
Сегодня системы неравенств — это основа целой области под названием линейное программирование. Она решает задачи вроде "как загрузить самолёт грузом, не превысив ни предельный вес, ни предельный объём багажного отсека", "как составить расписание доставки, чтобы уложиться и во время, и в бюджет" — а внутри каждой такой задачи спрятана система неравенств, очень похожая на те, что ты сегодня научишься решать.
Блок 1: Что такое система неравенств
Простыми словами
Представь, что ты выбираешь фильм на вечер. Первое условие: фильм должен идти не меньше 90 минут (иначе не успеешь погрузиться в сюжет). Второе условие: фильм должен закончиться не позже полуночи, а сейчас 21:30, значит, длительность должна быть не больше 150 минут.
Тебе подходит только тот фильм, который удовлетворяет ОБОИМ условиям сразу — длится от 90 до 150 минут. Условие "хотя бы 200 минут" тебе не подходит, даже если формально это "больше 90" — потому что оно нарушает второе требование.
Вот что такое система: несколько условий, которые должны выполняться одновременно, а решение — то, что удовлетворяет каждому из них.
Строгое определение
Определение: Системой линейных неравенств с одной переменной называется несколько линейных неравенств, объединённых фигурной скобкой, для которых нужно найти значения переменной, при которых верны все неравенства системы одновременно.
Обозначения:
- Фигурная скобка
{слева от неравенств означает "и то, и другое одновременно" (по-научному — конъюнкция, "И") - Решение системы — это пересечение множеств решений каждого отдельного неравенства
{ x > 2
{ x < 7
Решение этой системы — числа, которые одновременно больше 2 И меньше 7, то есть промежуток (2; 7).
Примеры с подробным разбором
Пример 1 (простой): Проверь, является ли x = 5 решением системы
{ x > 1
{ x < 10
Шаг 1: проверяем первое неравенство: 5 > 1 — верно.
Шаг 2: проверяем второе неравенство: 5 < 10 — верно.
Шаг 3: оба условия выполнены одновременно.
Ответ: да, x = 5 — решение системы.
Пример 2 (средний): Проверь, является ли x = 8 решением системы
{ x ≥ 3
{ x ≤ 8
{ x ≠ 8
Шаг 1: 8 ≥ 3 — верно.
Шаг 2: 8 ≤ 8 — верно.
Шаг 3: 8 ≠ 8 — а вот это неверно! Восемь равно восьми.
Ответ: нет, x = 8 не является решением, потому что нарушает третье условие. Достаточно нарушить хотя бы одно неравенство системы, чтобы число не подошло.
Пример 3 (сложный): При каких целых x одновременно верны оба условия?
{ 2x - 1 > 5
{ x < 10
Шаг 1: решаем первое неравенство отдельно: 2x - 1 > 5 → 2x > 6 → x > 3.
Шаг 2: решаем второе: x < 10 (уже готово).
Шаг 3: ищем целые числа, которые больше 3 И меньше 10: это 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Ответ: x ∈ {4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Почему это важно
Одно неравенство описывает только одно ограничение, а реальные задачи почти всегда содержат несколько ограничений сразу: бюджет и качество, время и расстояние, возраст и рост. Система неравенств — это математический способ сказать "все условия должны выполниться одновременно", а не "хотя бы одно".
Блок 2: Как решать систему неравенств
Простыми словами
Решение системы — это как искать место на карте, где пересекаются два маршрута. Один маршрут — решение первого неравенства (например, всё восточнее реки), другой — решение второго (всё севернее дороги). Место, которое подходит под оба условия сразу — это пересечение маршрутов, и именно его мы ищем.
На числовой прямой это выглядит ещё нагляднее: закрашиваешь решение первого неравенства одним цветом, решение второго — другим, и смотришь, где цвета накладываются друг на друга. Это и есть ответ.
Алгоритм решения
Правило:
- Реши каждое неравенство системы отдельно, как обычное неравенство
- Отметь оба решения на одной числовой прямой
- Найди общую часть (пересечение) — то, что закрашено под обоими условиями
- Запиши ответ в виде промежутка
Примеры с подробным разбором
Пример 1 (простой): Реши систему
{ x + 3 > 5
{ 2x < 16
Шаг 1: решаем первое неравенство:
x + 3 > 5
x > 2
Шаг 2: решаем второе неравенство:
2x < 16
x < 8
Шаг 3: отмечаем на числовой прямой: первое даёт всё правее точки 2 (не включая), второе — всё левее точки 8 (не включая). Пересечение — между ними.
──────○═══════════○──────→
2 8
Ответ: x ∈ (2; 8)
Пример 2 (средний): Реши систему
{ 3x - 5 ≤ 4
{ 2x + 1 ≥ -3
Шаг 1: решаем первое неравенство:
3x - 5 ≤ 4
3x ≤ 9
x ≤ 3
Шаг 2: решаем второе неравенство:
2x + 1 ≥ -3
2x ≥ -4
x ≥ -2
Шаг 3: первое даёт всё левее 3 (включительно), второе — всё правее -2 (включительно). Пересечение:
────●═══════════●──────→
-2 3
Ответ: x ∈ [-2; 3]
Проверка: возьмём x = 0 (число из середины промежутка). 3·0 - 5 = -5 ≤ 4 ✅, 2·0 + 1 = 1 ≥ -3 ✅. Подходит!
Пример 3 (сложный): Реши систему из трёх неравенств
{ 5x - 2 < 3x + 8
{ 4 - x ≤ 10
{ 2(x + 1) > x - 3
Шаг 1: решаем первое:
5x - 2 < 3x + 8
2x < 10
x < 5
Шаг 2: решаем второе:
4 - x ≤ 10
-x ≤ 6
x ≥ -6
(при делении на -1 знак неравенства меняется на противоположный!)
Шаг 3: решаем третье:
2(x + 1) > x - 3
2x + 2 > x - 3
x > -5
Шаг 4: ищем пересечение трёх условий: x < 5, x ≥ -6, x > -5. Самое строгое ограничение слева — это x > -5 (оно "сильнее", чем x ≥ -6, потому что вырезает больше), а справа — x < 5.
Ответ: x ∈ (-5; 5)
Почему это важно
Именно в этот момент рождается умение "видеть" общее решение сразу нескольких условий — это ровно тот же навык, который использует навигатор, когда ищет маршрут, удовлетворяющий и ограничению по времени, и ограничению по пробкам одновременно.
Блок 3: Особые случаи
Простыми словами
Не всегда система неравенств даёт красивый промежуток. Иногда условия противоречат друг другу (никакое число не подходит), иногда наоборот — одно условие "поглощает" другое, а иногда после упрощения переменная вообще исчезает.
Три типа особых случаев
Случай 1 (нет решений): если промежутки решений не пересекаются, система решений не имеет: ответ — ∅ (пустое множество)
Случай 2 (одна точка): если промежутки соприкасаются ровно в одной точке, решение — единственное число
Случай 3 (переменная исчезает): если после раскрытия скобок переменная сокращается, получается либо всегда верное числовое неравенство (тогда решение — весь оставшийся промежуток от других условий), либо всегда неверное (тогда решений нет, независимо от остальных условий)
Примеры с подробным разбором
Пример 1 (простой — нет решений): Реши систему
{ x > 6
{ x < 2
Шаг 1: первое неравенство: x > 6 — всё правее точки 6.
Шаг 2: второе неравенство: x < 2 — всё левее точки 2.
Шаг 3: эти два промежутка нигде не пересекаются — правее 6 и одновременно левее 2 не может быть ни одно число.
Ответ: решений нет, x ∈ ∅
Пример 2 (средний — одна точка): Реши систему
{ x ≥ 4
{ x ≤ 4
Шаг 1: первое: всё, что не меньше 4.
Шаг 2: второе: всё, что не больше 4.
Шаг 3: единственное число, которое одновременно ≥ 4 и ≤ 4 — это само число 4.
Ответ: x = 4 (единственное решение)
Пример 3 (сложный — переменная исчезает): Реши систему
{ 4x + 7 > 4x + 1
{ x ≤ 12
Шаг 1: решаем первое неравенство:
4x + 7 > 4x + 1
7 > 1
Переменная x полностью сократилась! Осталось верное числовое неравенство 7 > 1 — оно верно ВСЕГДА, при любом x.
Шаг 2: значит, первое неравенство не накладывает никаких ограничений — подходит любое x.
Шаг 3: остаётся только второе условие: x ≤ 12.
Ответ: x ∈ (-∞; 12]
Обратный вариант: если бы получилось, например, 7 < 1 (заведомо неверное числовое неравенство), то решений не было бы вовсе — независимо от того, что говорит второе условие, потому что оба условия должны выполняться одновременно.
Почему это важно
Особые случаи — это не "исключения ради исключений". Пустое решение системы неравенств в реальной жизни означает "это невозможно организовать при таких ограничениях" — например, нельзя одновременно уложиться в бюджет и купить товар с такими характеристиками. Умение это распознавать так же важно, как умение находить обычное решение.
Блок 4: Системы неравенств в текстовых задачах
Простыми словами
Многие жизненные задачи скрывают в себе систему неравенств: "не меньше... но не больше...", "хватит денег... и при этом успеешь...". Задача — правильно перевести условие с русского языка на язык неравенств.
Алгоритм составления системы
Правило:
- Введи переменную для неизвестной величины
- Найди в тексте каждое ограничение и запиши его как отдельное неравенство
- Объедини все неравенства в систему (фигурная скобка)
- Реши систему и проверь ответ по смыслу задачи
Примеры с подробным разбором
Пример 1 (простой): Автобус до школы
Автобус приходит на остановку не раньше, чем через 5 минут, и не позже, чем через 15 минут. Через сколько минут (x) может прийти автобус?
Решение: "не раньше 5" значит x ≥ 5, "не позже 15" значит x ≤ 15.
{ x ≥ 5
{ x ≤ 15
Ответ: x ∈ [5; 15] — автобус придёт где-то между 5 и 15 минутами.
Пример 2 (средний): Игровой инвентарь
У тебя есть 800 монет. Ты хочешь купить рюкзак за 200 монет и несколько зелий по 60 монет каждое, но при этом хочешь оставить себе хотя бы 50 монет про запас. Сколько зелий (x) ты можешь купить?
Решение:
Общая стоимость покупки: 200 + 60x. Ограничение — денег должно хватить, и должно остаться не меньше 50:
{ 200 + 60x ≤ 800 (хватает денег)
{ 800 - (200 + 60x) ≥ 50 (остаётся хотя бы 50)
Решаем первое:
60x ≤ 600
x ≤ 10
Решаем второе:
600 - 60x ≥ 50
-60x ≥ -550
x ≤ 550/60 = 9,1(6)
(при делении на отрицательное число знак меняется). Плюс подразумевается x ≥ 0, ведь зелий не может быть отрицательное количество.
Пересечение: 0 ≤ x ≤ 9,1(6). Так как зелья покупаются целыми штуками, максимум — 9.
Ответ: можно купить от 0 до 9 зелий (целое число).
Почему это важно
Ровно так работают калькуляторы бюджета в приложениях, планировщики маршрутов и даже школьное расписание — за кулисами почти всегда система неравенств, просто спрятанная за удобным интерфейсом.
Практика: 30 заданий
Базовые (задания 1-10)
Задание 1: Реши систему: {x > 3; x < 7}
Задание 2: Реши систему: {x ≥ -2; x ≤ 5}
Задание 3: Реши систему: {x > 1; x > 4}
Задание 4: Реши систему: {x < 10; x < 3}
Задание 5: Реши систему: {2x > 6; x < 8}
Задание 6: Реши систему: {3x ≤ 15; x > -1}
Задание 7: Реши систему: {x + 2 > 5; x - 1 < 6}
Задание 8: Реши систему: {5x < 20; 2x ≥ -4}
Задание 9: Реши систему: {x ≥ 0; x ≤ 0}
Задание 10: Реши систему: {x > 5; x < 2}
Средние (задания 11-20)
Задание 11: Реши систему: {2x - 1 > 3; 3x + 2 ≤ 14}
Задание 12: Реши систему: {4 - x > 1; 2x + 3 > 7}
Задание 13: Реши систему: {3(x - 2) < 9; x + 5 ≥ 1}
Задание 14: Реши систему: {5x + 3 ≤ 2x + 12; x - 4 > -9}
Задание 15: Реши систему: {x/2 > 3; x/3 < 10}
Задание 16: Реши систему: {2(x + 1) ≥ x + 5; 3x - 1 < 2x + 4}
Задание 17: Реши систему: {7 - 2x < 1; 4x + 3 ≤ 19}
Задание 18: Реши систему из трёх неравенств: {x + 1 > 0; 2x < 10; x - 3 ≥ -5}
Задание 19: У тебя 500₽. Билет в кино стоит 150₽, но нужно оставить минимум 50₽ на автобус. Сколько билетов (x) можно купить?
Задание 20: Термостат холодильника показывает температуру t, для которой должно выполняться: 3t - 1 ≤ 23 и 2t + 4 ≥ 8. Найди допустимый диапазон t.
Продвинутые (задания 21-30)
Задание 21: Реши систему: {2x - 5 > x - 2; 3x + 1 < 2x + 9}
Задание 22: Реши систему: {(x - 1)/2 ≥ (x + 1)/3; x < 10}
Задание 23: Реши систему: {3x + 5 > 3x + 1; x ≤ 10}
Задание 24: Реши систему: {2x + 3 < 2x + 1; x ≥ 0}
Задание 25: Реши систему: {x ≥ 4; x ≤ 4; 2x - 3 > 0}
Задание 26: Найди все целые решения системы: {2x - 7 ≤ 3; 3x + 1 > -5}
Задание 27: Реши систему: {(2x + 1)/3 - (x - 1)/2 ≤ 1; x > -4}
Задание 28: Реши двойное неравенство -3 ≤ 2x - 1 < 5 (это тоже система, просто записанная компактно)
Задание 29: За два уровня игры нужно набрать от 50 до 90 очков включительно (иначе либо не хватит для перехода дальше, либо сработает система защиты от читеров). На первом уровне игрок набрал x очков, на втором — вдвое больше минус 10, то есть (2x - 10). Найди диапазон возможных x.
Задание 30: Чтобы удержать текущий ранг в игре, нужно набирать от 15 до 40 очков в неделю. За выполнение ежедневных заданий игрок гарантированно получает 3 очка в день (21 очко за неделю), а за победу в турнире — ещё b бонусных очков (b ≥ 0). Найди диапазон возможных значений b.
Частые ошибки
❌ Ошибка 1: Путают систему с одним неравенством Неправильно: решили только первое неравенство системы и записали его как ответ, забыв про второе. Правильно: решать нужно КАЖДОЕ неравенство системы, а потом найти общую часть их решений. Почему важно: ответ, который удовлетворяет только одному из условий, не является решением системы.
❌ Ошибка 2: Путают пересечение с объединением Неправильно: {x < 2; x > 8} записали как x < 2 или x > 8. Правильно: в системе действует "И" — нужно пересечение, а не объединение. Раз промежутки (-∞;2) и (8;+∞) не пересекаются, решений нет. Почему важно: это одна из самых частых путаниц — легко перепутать систему (∩) с совокупностью (∪), об этом подробнее в следующем уроке.
❌ Ошибка 3: Забывают менять знак при делении на отрицательное число Неправильно: -2x < 6 → x < -3 Правильно: -2x < 6 → x > -3 (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный) Почему важно: пропущенная смена знака переворачивает весь ответ, включая всю систему.
❌ Ошибка 4: Не проверяют особые случаи Неправильно: увидев, что переменная сократилась в одном из неравенств, теряются и не знают, что делать. Правильно: если получилось верное числовое неравенство (типа 5 > 1) — условие выполняется всегда; если неверное (типа 3 < 1) — у системы нет решений вообще. Почему важно: это стандартная ситуация в контрольных работах, и её нужно уверенно распознавать.
❌ Ошибка 5: Неправильно отмечают границы на числовой прямой Неправильно: рисуют закрашенную точку для строгого неравенства (< или >) или выколотую для нестрогого (≤ или ≥). Правильно: строгое неравенство (< или >) — выколотая точка "○", нестрогое (≤ или ≥) — закрашенная точка "●". Почему важно: от этого зависит, входит ли граничная точка в ответ или нет.
❌ Ошибка 6: Ищут только целые решения без указания Неправильно: записали ответ x ∈ {1, 2, 3, 4} для задачи, где переменная — любое действительное число. Правильно: ищи целые решения только тогда, когда это явно следует из смысла задачи (количество билетов, очков, предметов). Почему важно: система неравенств по умолчанию имеет решением целый промежуток, а не отдельные точки.
Главное запомнить
📝 Ключевые понятия
✅ Система неравенств — несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно (объединены фигурной скобкой)
✅ Решение системы — пересечение решений всех неравенств по отдельности
✅ Алгоритм: реши каждое неравенство отдельно → отметь на числовой прямой → найди общую часть
✅ Если промежутки решений не пересекаются — у системы решений нет (∅)
✅ Если промежутки соприкасаются в одной точке — решение единственное число
✅ Если переменная сокращается и остаётся верное числовое неравенство — условие выполняется всегда
✅ Если переменная сокращается и остаётся неверное числовое неравенство — у всей системы нет решений
✅ Двойное неравенство (a < f(x) < b) — это компактная запись системы из двух неравенств
✅ При делении неравенства на отрицательное число знак меняется на противоположный
✅ Текстовую задачу переводи в систему по одному ограничению за раз — каждое "не меньше", "не больше", "хватит на" — отдельное неравенство
Связь с другими темами курса
Что нужно было знать до этого урока:
- Общие сведения о неравенствах (урок 52) — без умения решать одно неравенство не решить систему из нескольких
- Уравнения (урок 48) — техника переноса слагаемых и умножения обеих частей та же самая
- Отрицательные числа (урок 29) — правило смены знака при умножении/делении на отрицательное число
Что изучить дальше:
- Операции над множествами (урок 54) — там ты формально изучишь разницу между пересечением (система, "И") и объединением (совокупность, "ИЛИ")
- Неравенства с модулем (уроки 73-74) — тоже сводятся к системам после раскрытия модуля
Где это нужно в жизни:
- 🎮 В играх: ограничения по уровню, деньгам и характеристикам персонажа почти всегда работают вместе, как система
- 📱 В технологиях: фильтры в интернет-магазинах ("цена от... до...", "рейтинг не ниже...") — это система неравенств, которую применяет сайт
- 💰 В финансах: банки одобряют кредит, только если доход выше минимума И долговая нагрузка ниже максимума — тоже система
- 🚗 В жизни: расписание автобуса, требования к росту на аттракционе, диапазон допустимой скорости — всё это системы неравенств вокруг нас каждый день
Интересные факты
💡 Нобелевская премия за неравенства. Леонид Канторович получил Нобелевскую премию по экономике в 1975 году именно за методы работы с системами линейных ограничений — то есть неравенств, которые ты сегодня научился решать.
💡 Симплекс-метод Джорджа Данцига, придуманный в 1947 году для решения огромных систем неравенств с сотнями переменных, до сих пор лежит в основе того, как авиакомпании планируют расписания, а заводы — производство.
💡 Знаки < и > — не такие уж старые. До XVII века математики буквально писали "меньше чем" словами на латыни — знаки сравнения придумал Томас Хэрриот только в 1631 году, уже после его смерти это опубликовали ученики.
💡 GPS-навигаторы постоянно решают системы неравенств в реальном времени: маршрут должен уложиться и во время, и в лимит платных дорог, и в разрешённую скорость — десятки условий одновременно.
Лайфхаки и полезные трюки
1. Рисуй числовую прямую всегда
Даже если кажется, что ответ очевиден — нарисуй прямую и закрась оба решения. Глаза реже ошибаются, чем память.
2. Ищи "самое сильное" ограничение
Если несколько неравенств дают один и тот же знак (все "x >"), в ответ идёт самое большое число из правых частей. Если все "x <" — самое маленькое число.
3. Проверяй ответ подстановкой одного числа
Возьми любое число из своего промежутка-ответа и подставь в ИСХОДНУЮ систему (до упрощений). Если оба неравенства верны — ты не ошибся.
4. При делении на минус — сразу меняй знак
Как только видишь минус перед переменной при делении, произноси вслух "меняю знак" — это спасает от самой частой ошибки темы.
5. Двойное неравенство — это подсказка, а не ловушка
Если видишь запись вида a < f(x) < b, выполняй операции сразу над ВСЕМИ тремя частями — это быстрее, чем разбивать на две отдельные системы.
💡 Совет: Системы неравенств кажутся сложнее одного неравенства только из-за лишнего шага — поиска пересечения. Отработай этот шаг на числовой прямой несколько раз, и он станет таким же автоматическим, как сложение дробей.
Продолжай изучение: Операции над множествами →