Что проверяет задание 9
Задание 9 собирает всё начало математического анализа в одну позицию: производную, её геометрический смысл, исследование функции и первообразную. По проекту спецификации ЕГЭ 2027 года отдельного задания на наибольшее и наименьшее значение функции больше нет, эти умения теперь входят в требования к заданию 9. Поэтому готовиться стоит шире, чем раньше: в одном варианте может попасться чтение графика производной, в другом — вычисление максимума на отрезке. Это наша сверка спецификаций 2026 и 2027 годов, и окончательная версия ФИПИ ещё может измениться.
Задание стоит в первой части, ответ краткий, за верный ответ ставится 1 первичный балл.
Что нужно уметь:
- понимать, что $f'(x_0)$ — это угловой коэффициент касательной, то есть тангенс угла её наклона;
- находить точку касания по заданной прямой;
- по знаку производной определять промежутки возрастания и убывания;
- находить точки максимума и минимума по смене знака производной;
- находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке;
- связывать функцию и её первообразную: $F'(x) = f(x)$, а площадь криволинейной трапеции равна $F(b) - F(a)$.
Как выглядит задание
Часть задач дана с рисунком, часть — формулой. Типичные формулировки (наши аналоги):
- На рисунке изображён график производной $y = f'(x)$ функции, определённой на интервале $(-7;\ 6)$. Найдите количество точек максимума функции $f(x)$ на этом интервале.
- Найдите наибольшее значение функции $y = x^3 - 12x + 7$ на отрезке $[-3;\ 0]$.
- Прямая $y = 5x - 8$ является касательной к графику функции $y = x^2 + x - 4$. Найдите абсциссу точки касания.
Главная ловушка первой формулировки — на рисунке график производной, а спрашивают про функцию. Точки максимума функции — это места, где график $f'$ пересекает ось $Ox$ сверху вниз (знак меняется с плюса на минус). Сами «горбы» графика $f'$ никакого отношения к максимумам $f$ не имеют.
Алгоритм решения
Под задание 9 нужен не один алгоритм, а три. Сначала определи, какой из них подходит.
Касательная и угловой коэффициент.
- Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен $f'(x_0)$.
- Если касательная задана уравнением $y = kx + b$, приравняй $f'(x) = k$ и найди кандидатов в точки касания.
- Проверь каждого кандидата: значение функции и значение прямой в этой точке должны совпасть.
Монотонность, экстремумы, значение на отрезке.
- Найди производную и разложи её на множители.
- Найди критические точки: где $f'(x) = 0$ или производная не существует.
- Если спрашивают про экстремумы, определи знак $f'$ на промежутках: $+ \to -$ — максимум, $- \to +$ — минимум.
- Если спрашивают наибольшее или наименьшее значение на отрезке, таблица знаков не нужна. Оставь критические точки внутри отрезка, посчитай функцию в них и на обоих концах, выбери нужное число.
Первообразная и площадь.
- Помни направление: $F' = f$. Первообразную дифференцируют, чтобы получить исходную функцию.
- Площадь под неотрицательной функцией $f$ на $[a;\ b]$ равна $F(b) - F(a)$ для любой первообразной $F$.
- Если график первообразной дан на рисунке, площадь находится вычитанием двух значений, которые читаются по клеткам. Формулу $f$ знать не нужно.
Разбор примеров
Пример 1. Прямая $y = 5x - 8$ является касательной к графику функции $y = x^2 + x - 4$. Найдите абсциссу точки касания.
Решение:
Шаг 1. Угловой коэффициент прямой равен $5$. В точке касания производная функции равна угловому коэффициенту касательной:
$$f'(x) = 2x + 1 = 5 \quad \Rightarrow \quad x = 2.$$Шаг 2. Проверяем, что прямая действительно проходит через точку графика с этой абсциссой:
$$f(2) = 4 + 2 - 4 = 2, \qquad 5 \cdot 2 - 8 = 2.$$Значения совпали, значит $x = 2$ — точка касания. Проверка обязательна: одинаковый наклон ещё не гарантирует касания, прямая могла бы оказаться параллельной касательной.
Ответ: 2
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. Найдите наибольшее значение функции $y = x^3 - 12x + 7$ на отрезке $[-3;\ 0]$.
Решение:
Шаг 1. Производная:
$$y' = 3x^2 - 12 = 3(x - 2)(x + 2).$$Шаг 2. Критические точки: $x = -2$ и $x = 2$. Внутри отрезка $[-3;\ 0]$ лежит только $x = -2$, точку $x = 2$ отбрасываем.
Шаг 3. Считаем значения в отобранной точке и на концах отрезка:
$$y(-3) = -27 + 36 + 7 = 16,$$$$y(-2) = -8 + 24 + 7 = 23,$$
$$y(0) = 7.$$
Шаг 4. Наибольшее из чисел $16$, $23$, $7$ равно $23$.
Ответ: 23
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Функция $F(x) = x^3 + 3x^2 - 2$ является одной из первообразных функции $f(x)$. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком $y = f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x = 1$ и $x = 3$.
Решение:
Шаг 1. Проверяем, что формула площади $F(b) - F(a)$ применима: для неё нужно $f(x) \geqslant 0$ на отрезке. Находим $f$ дифференцированием первообразной:
$$f(x) = F'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2).$$На отрезке $[1;\ 3]$ оба множителя положительны, значит $f(x) > 0$.
Шаг 2. По формуле Ньютона–Лейбница:
$$S = F(3) - F(1) = (27 + 27 - 2) - (1 + 3 - 2) = 52 - 2 = 50.$$Константа $-2$ в записи $F$ на ответ не влияет: при вычитании она сокращается.
Ответ: 50
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Путают график функции и график производной. Если на рисунке $f'$, то точки экстремума — это нули производной со сменой знака, а не вершины нарисованной кривой.
- Считают точкой экстремума любой ноль производной. Если знак $f'$ при переходе через точку не меняется, экстремума нет.
- При поиске значения на отрезке берут критическую точку вне отрезка или забывают посчитать значения на концах. Наибольшее значение часто достигается как раз на конце.
- Отвечают точкой вместо значения или наоборот. «Найдите наибольшее значение» — это $y$, «найдите точку максимума» — это $x$.
- Меняют местами $F$ и $f$. Площадь под графиком $f$ равна разности значений $F$, а не разности значений $f$.
Что повторить
- Касательная: От секущей к касательной и Уравнение касательной.
- Монотонность: Достаточный признак: знак производной решает.
- Экстремумы: Достаточное условие: смена знака производной и Полный алгоритм и эталонные решения.
- Значение на отрезке: Алгоритм для отрезка: сравнить конечный список чисел.
- Первообразная: Определение первообразной и Таблица первообразных.
- Площадь: Криволинейная трапеция: базовый случай.
Отдельной подборки задач с чтением графиков производной в формате ЕГЭ на сайте пока нет. Метод целиком разобран в уроках 140 и 141 на формулах, и к графикам он применяется без изменений.
Где потренироваться
- Практика по геометрическому смыслу производной
- Практика по возрастанию и убыванию функции
- Практика по точкам экстремума
- Практика по наибольшему и наименьшему значению
- Практика по первообразной
- Практика по вычислению площадей
Соседние задания: задание 8 — вычисления и преобразования и задание 10 — задачи с прикладным содержанием. Производная пригодится ещё раз во второй части, в задании 17 — моделировании с производной. Все задания собраны на странице ЕГЭ по математике.