Задание 6 — новое. В проекте спецификации ЕГЭ 2027 оно добавлено в часть 1: случайная величина, её распределение, математическое ожидание и дисперсия. В демоверсии это задача про средний выигрыш в лотерее. В спецификации 2026 года такого задания не было, так что формат может ещё уточниться.
Структура заданий на этой странице взята из проекта демоверсии и спецификации ЕГЭ 2027, которые ФИПИ опубликовал для обсуждения до 30.09.2026. Окончательная версия может отличаться. Банка задач по этому заданию пока нет, поэтому формулировки ниже — наши аналоги по теме спецификации, а не типовые задачи банка.
Что проверяет задание 6
Задание части 1 с кратким ответом, за верный ответ дают 1 первичный балл. По спецификации проверяются:
- понятие случайной величины и её распределения (таблица значений и вероятностей);
- математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение;
- функция распределения и плотность для равномерного, показательного и нормального распределений.
На практике это значит: уметь заполнить таблицу распределения по условию, посчитать по ней $E(X)$ и $D(X)$, пользоваться свойствами матожидания и дисперсии и находить вероятности для равномерной величины.
Как выглядит задание
Возможные формулировки (наши аналоги):
- «В лотерее 1000 билетов. На 5 билетов выпадает выигрыш 500 рублей, на 20 билетов 100 рублей, остальные без выигрыша. Найдите математическое ожидание выигрыша на один билет».
- «Случайная величина $X$ принимает значения $0$, $1$, $2$ с вероятностями $0{,}2$, $0{,}5$, $0{,}3$. Найдите дисперсию величины $Y = 3X + 1$».
- «Время ожидания автобуса распределено равномерно на отрезке от 0 до 12 минут. Найдите вероятность того, что ждать придётся больше 9 минут».
Алгоритм решения
-
Составь таблицу распределения: все значения $x_i$ величины и их вероятности $p_i$. Проверь, что $\sum p_i = 1$.
-
Математическое ожидание — средневзвешенное значений по вероятностям:
$$E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$$ -
Дисперсию удобнее всего считать по рабочей формуле:
$$D(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2,$$где $E(X^2) = x_1^2 p_1 + \dots + x_n^2 p_n$. Стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{D(X)}$.
-
Для линейных преобразований используй свойства, а не новую таблицу:
$$E(aX + b) = a\,E(X) + b, \qquad D(aX + b) = a^2 D(X).$$Математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий.
-
Для равномерного распределения на $[a; b]$ вероятность попасть в подотрезок равна его длине, делённой на $b - a$. Матожидание — середина отрезка $\dfrac{a+b}{2}$.
Разбор примеров
Пример 1. В лотерее 1000 билетов. На 5 билетов выпадает выигрыш 500 рублей, на 20 билетов 100 рублей, остальные 975 билетов без выигрыша. Найдите математическое ожидание выигрыша на один купленный билет.
Шаг 1. Выигрыш $X$ — случайная величина. Таблица распределения:
- $X = 500$ с вероятностью $\dfrac{5}{1000} = 0{,}005$;
- $X = 100$ с вероятностью $\dfrac{20}{1000} = 0{,}02$;
- $X = 0$ с вероятностью $\dfrac{975}{1000} = 0{,}975$.
Сумма вероятностей: $0{,}005 + 0{,}02 + 0{,}975 = 1$.
Шаг 2. Матожидание:
$$E(X) = 500 \cdot 0{,}005 + 100 \cdot 0{,}02 + 0 \cdot 0{,}975 = 2{,}5 + 2 = 4{,}5$$Смысл. В среднем билет приносит 4,5 рубля. Если билет стоит, например, 10 рублей, покупатель в среднем теряет 5,5 рубля на каждом билете.
Ответ: $4{,}5$
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. Случайная величина $X$ принимает значения $0$, $1$, $2$ с вероятностями $0{,}2$, $0{,}5$, $0{,}3$ соответственно. Найдите дисперсию величины $Y = 3X + 1$.
Шаг 1. Матожидание $X$:
$$E(X) = 0 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}3 = 1{,}1$$Шаг 2. Матожидание квадрата:
$$E(X^2) = 0 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}3 = 1{,}7$$Шаг 3. Дисперсия $X$:
$$D(X) = 1{,}7 - 1{,}1^2 = 1{,}7 - 1{,}21 = 0{,}49$$Заодно стандартное отклонение $\sigma(X) = \sqrt{0{,}49} = 0{,}7$.
Шаг 4. Сдвиг на $1$ дисперсию не меняет, а множитель $3$ выносится в квадрате:
$$D(3X + 1) = 3^2 \cdot 0{,}49 = 4{,}41$$Ответ: $4{,}41$
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Автобусы ходят строго каждые 12 минут, пассажир приходит на остановку в случайный момент. Время ожидания распределено равномерно на отрезке $[0; 12]$ минут. Найдите вероятность того, что ждать придётся больше 9 минут.
Шаг 1. Равномерное распределение: вероятность попасть в подотрезок пропорциональна его длине.
Шаг 2. Событие «ждать больше 9 минут» — это попадание в отрезок $(9; 12]$ длиной $3$ минуты. Вся длина — $12$ минут.
Шаг 3. $P = \dfrac{3}{12} = 0{,}25$.
Заодно. Среднее время ожидания — середина отрезка: $E = \dfrac{0 + 12}{2} = 6$ минут.
Ответ: $0{,}25$
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Берут простое среднее значений вместо средневзвешенного. В примере 1 среднее $(500 + 100 + 0)/3$ не имеет отношения к ответу.
- Забывают значение с нулевым выигрышем в таблице и получают сумму вероятностей меньше единицы. На $E(X)$ и $E(X^2)$ нулевое значение не влияет, но без него не пройдёт проверка $\sum p = 1$, а при счёте дисперсии по определению, через $(x - EX)^2$, эта строка обязательна.
- Считают $D(3X + 1) = 3 D(X) + 1$. Правильно: $D(aX + b) = a^2 D(X)$, сдвиг на дисперсию не влияет.
- Путают $E(X^2)$ и $\big(E(X)\big)^2$. Это разные числа, их разность как раз и есть дисперсия.
- Отвечают стандартным отклонением, когда спрашивают дисперсию, и наоборот.
Что повторить
Теория по этому заданию на сайте есть с запасом, но она лежит в курсе теории вероятностей для машинного обучения: подача вузовская, примеры из ML. Разбора задач именно в формате ЕГЭ в уроках нет. Для задания 6 достаточно разделов ниже.
- Урок «Случайные величины»: Закон распределения дискретной величины
- Урок «Математическое ожидание»:
- Урок «Дисперсия и стандартное отклонение»:
- Урок «Основные распределения»:
- Урок «Функция распределения»: Дискретная величина: лесенка со скачками
Где потренироваться
- Практика: 30 заданий по случайным величинам
- Практика: 30 заданий по математическому ожиданию
- Практика: 30 заданий по дисперсии и стандартному отклонению
- Практика: 30 заданий по основным распределениям
В практике этих уроков есть задачи сложнее уровня ЕГЭ. Для подготовки к заданию 6 выбирай задачи на таблицу распределения, матожидание и дисперсию.
Соседние задания ЕГЭ: задание 5, вероятность сложных событий и задание 7, простейшие уравнения. Все задания собраны на странице ЕГЭ профиль.