Что проверяет задание 15
Задание 15 — стереометрическая задача второй части с развёрнутым ответом, максимум 3 первичных балла. По проекту КИМ 2027 года это бывшее задание 14. Задача состоит из двух пунктов. В пункте а) нужно что-то доказать: перпендикулярность, параллельность, что сечение проходит через точку. В пункте б) нужно вычислить угол, расстояние, площадь сечения или объём. Пункт б) обычно можно решить, даже если доказательство в пункте а) не получилось, и за него дают отдельные баллы.
Что нужно уметь:
- работать с кубом, прямоугольным параллелепипедом, правильными призмами и пирамидами;
- доказывать перпендикулярность прямой и плоскости через две пересекающиеся прямые этой плоскости;
- находить угол между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями;
- находить расстояние от точки до плоскости и между скрещивающимися прямыми;
- применять координатный метод: ввести систему координат, найти координаты векторов, посчитать скалярное произведение и уравнение плоскости.
Как выглядит задание
Типичные формулировки (наши аналоги):
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 6 а) докажите, что прямая $BD_1$ перпендикулярна плоскости $ACB_1$; б) найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACB_1$.
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна 6, боковое ребро равно $\sqrt{34}$. а) Докажите, что плоскость $SOM$, где $O$ — центр основания, а $M$ — середина $BC$, перпендикулярна плоскости $SBC$. б) Найдите расстояние от точки $O$ до плоскости $SBC$.
Алгоритм решения
- Сделать крупный и честный чертёж. Видимые рёбра сплошные, невидимые пунктиром. Сразу отметь всё, что дано.
- Пункт а) решать синтетически, через признаки. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. Плоскости перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой.
- Для пункта б) выбрать метод. Если фигура «прямоугольная» (куб, параллелепипед, правильная пирамида), почти всегда работает координатный метод.
- Ввести координаты: начало в удобной вершине или в центре основания, оси вдоль рёбер. Выписать координаты нужных точек.
- Посчитать нужную величину.
- Угол между прямыми: $\cos\varphi = \dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{v}|}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$.
- Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $ax + by + cz + d = 0$: $\rho = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.
- Нормаль к плоскости можно найти как векторное произведение двух векторов этой плоскости.
- Проверить ответ другим способом, если есть время: через объём, подобие или прямоугольный треугольник.
Разбор примеров
Пример 1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 6: а) докажите, что $BD_1 \perp (ACB_1)$; б) найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACB_1$.
Введём координаты: $A$ в начале, ось $x$ вдоль $AB$, ось $y$ вдоль $AD$, ось $z$ вдоль $AA_1$. Для пункта а) длина ребра не важна, возьмём ребро 1: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $B_1(1;0;1)$, $D_1(0;1;1)$.
а) $\overrightarrow{BD_1} = (-1;\,1;\,1)$, $\overrightarrow{AC} = (1;\,1;\,0)$, $\overrightarrow{AB_1} = (1;\,0;\,1)$.
$$\overrightarrow{BD_1}\cdot\overrightarrow{AC} = -1 + 1 + 0 = 0, \qquad \overrightarrow{BD_1}\cdot\overrightarrow{AB_1} = -1 + 0 + 1 = 0.$$Значит, $BD_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $AB_1$ плоскости $ACB_1$. По признаку $BD_1 \perp (ACB_1)$, что и требовалось доказать.
б) Теперь ребро 6. Вектор $(-1;\,1;\,1)$ перпендикулярен плоскости, а сама плоскость проходит через $A(0;0;0)$. Её уравнение: $-x + y + z = 0$. Точка $B(6;0;0)$:
$$\rho = \frac{|-6 + 0 + 0|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}.$$Проверка: диагональ куба $BD_1 = 6\sqrt{3}$, и плоскость $ACB_1$ отсекает от неё ровно треть, как и должно быть.
Ответ: б) $2\sqrt{3}$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.
Возьмём ребро 1 и те же координаты: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $B_1(1;0;1)$, $C_1(1;1;1)$.
Шаг 1. Направляющие векторы: $\overrightarrow{AB_1} = (1;\,0;\,1)$, $\overrightarrow{BC_1} = (0;\,1;\,1)$.
Шаг 2. Скалярное произведение: $1\cdot 0 + 0\cdot 1 + 1\cdot 1 = 1$. Длины: $\sqrt{2}$ и $\sqrt{2}$.
$$\cos\varphi = \frac{|1|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad \varphi = 60^\circ.$$Геометрическая проверка: $BC_1 \parallel AD_1$, поэтому искомый угол равен углу $B_1AD_1$. Треугольник $AB_1D_1$ составлен из трёх диагоналей граней, он равносторонний, и все его углы равны $60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна 6, боковое ребро равно $\sqrt{34}$, $O$ — центр основания, $M$ — середина $BC$. а) Докажите, что $(SOM) \perp (SBC)$. б) Найдите расстояние от $O$ до плоскости $SBC$.
а) $OM$ — отрезок, соединяющий центр квадрата с серединой стороны, поэтому $OM \parallel AB$ и $OM \perp BC$. Кроме того, $SO$ — высота пирамиды, значит, $SO \perp BC$. Прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $SO$ и $OM$ плоскости $SOM$, поэтому $BC \perp (SOM)$. Плоскость $SBC$ содержит прямую $BC$, перпендикулярную плоскости $SOM$, значит, $(SBC) \perp (SOM)$.
б) Шаг 1. Высота пирамиды. $OB$ — половина диагонали квадрата: $OB = 3\sqrt{2}$. Из треугольника $SOB$: $SO = \sqrt{34 - 18} = 4$.
Шаг 2. Плоскости перпендикулярны, поэтому перпендикуляр из $O$ на прямую $SM$ перпендикулярен и всей плоскости $SBC$. Искомое расстояние — это высота прямоугольного треугольника $SOM$, опущенная на гипотенузу. $OM = 3$, $SO = 4$, $SM = 5$:
$$\rho = \frac{SO\cdot OM}{SM} = \frac{4\cdot 3}{5} = 2{,}4.$$Проверка координатами: $O(0;0;0)$, $S(0;0;4)$, $B(3;-3;0)$, $C(3;3;0)$. Плоскость $SBC$ задаётся уравнением $4x + 3z - 12 = 0$, и $\rho = \dfrac{|-12|}{\sqrt{16 + 9}} = 2{,}4$. Ответ совпал.
Ответ: б) $2{,}4$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Перпендикулярность одной прямой. Чтобы доказать $a \perp \alpha$, нужны две пересекающиеся прямые плоскости. Одной прямой или двух параллельных недостаточно.
- Угол больше $90^\circ$. Угол между прямыми не бывает тупым. Если скалярное произведение отрицательное, бери модуль.
- Неверные координаты. Чаще всего ошибаются в точках верхнего основания и в центре основания пирамиды. Выпиши все точки таблицей и проверь хотя бы одну длину ребра.
- Ответ без обоснования в пункте а). «Видно из чертежа» доказательством не считается. Нужна ссылка на признак.
- Пункт б) без связи с пунктом а). Если в а) доказана перпендикулярность плоскостей, используй это в б): так решение становится коротким и строгим.
Что повторить
Честно о пробеле: уроков по стереометрии на сайте пока нет. Не разобраны параллельность и перпендикулярность в пространстве, теорема о трёх перпендикулярах, построение сечений, углы и расстояния синтетическим способом. Координатного метода в формате ЕГЭ тоже нет. Аппарат для координатного метода дают векторные уроки из вузовского раздела. Подача там вузовская, но нужные формулы те же:
- Формула через угол между векторами — угол между прямыми, как в примере 2.
- Векторное произведение: площадь параллелограмма — нормаль к плоскости и площадь сечения.
- Смешанное произведение: три способа вычисления — объём тетраэдра и проверка расстояния через объём.
Где потренироваться
- Практика по скалярному произведению.
- Практика по векторному произведению.
- Практика по смешанному произведению.
Соседние задания: задание 3, стереометрия с кратким ответом — начни с него, если объёмы и площади поверхностей даются с трудом. Дальше задание 14, уравнения и задание 16, неравенства.