Задание 7 профильного ЕГЭ — простейшее уравнение. Это может быть показательное, логарифмическое, иррациональное, рациональное или тригонометрическое уравнение, но всегда такое, которое решается в два-три шага и сводится к линейному или квадратному. В проекте ЕГЭ 2027 это задание сдвинулось: в 2026 году оно шло под номером 6.
Структура заданий на этой странице взята из проекта демоверсии и спецификации ЕГЭ 2027, которые ФИПИ опубликовал для обсуждения. Окончательная версия может отличаться.
Что проверяет задание 7
Задание части 1 с кратким ответом, за верный ответ дают 1 первичный балл. Проверяются умения:
- приводить степени к одному основанию и решать показательные уравнения;
- решать логарифмические уравнения с учётом области допустимых значений;
- решать иррациональные уравнения и отсеивать посторонние корни;
- решать рациональные и квадратные уравнения;
- решать простейшие тригонометрические уравнения и выбирать нужный корень из серии.
Если у уравнения несколько корней, в условии обычно просят записать один из них: меньший, больший или наименьший положительный.
Как выглядит задание
Типовые формулировки (наши аналоги):
- «Найдите корень уравнения $4^{x-3} = 8$».
- «Решите уравнение $\log_3(x+1) + \log_3(x+3) = 1$».
- «Найдите корень уравнения $\sqrt{x+7} = x + 1$. Если корней несколько, укажите меньший из них».
- «Решите уравнение $\cos\dfrac{\pi(2x-1)}{3} = \dfrac12$. В ответе запишите наименьший положительный корень».
Алгоритм решения
- Узнай тип уравнения по тому, где стоит неизвестное: в показателе, под логарифмом, под корнем, под знаком синуса или косинуса.
- Запиши ограничения, если они есть: под логарифмом выражение строго больше нуля, основание логарифма положительно и не равно единице; правая часть уравнения $\sqrt{f(x)} = g(x)$ неотрицательна.
- Сведи уравнение к алгебраическому:
- $a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$ при $a > 0$, $a \ne 1$;
- $\log_a f(x) = b \iff f(x) = a^b$;
- $\sqrt{f(x)} = g(x)$ — возводим в квадрат при условии $g(x) \ge 0$;
- $\cos t = a \iff t = \pm\arccos a + 2\pi n$, $\sin t = a \iff t = (-1)^n \arcsin a + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
- Реши получившееся линейное или квадратное уравнение. Квадратное — через дискриминант или по теореме Виета.
- Отбери корни: проверь ограничения из шага 2 или подставь корни в исходное уравнение. В тригонометрии перебери несколько значений $n$ и выбери корень, который просят.
- Запиши один ответ — число, которое просили.
Разбор примеров
Пример 1. Найдите корень уравнения $4^{x-3} = 8$.
Шаг 1. Приводим обе части к основанию $2$: $4^{x-3} = (2^2)^{x-3} = 2^{2x-6}$, а $8 = 2^3$.
Шаг 2. Основания равны, приравниваем показатели: $2x - 6 = 3$.
Шаг 3. $2x = 9$, $x = 4{,}5$.
Проверка. $4^{1{,}5} = (\sqrt4)^3 = 2^3 = 8$. Сходится.
Ответ: $4{,}5$
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. Решите уравнение $\log_3(x+1) + \log_3(x+3) = 1$.
Шаг 1. Ограничения: $x + 1 > 0$ и $x + 3 > 0$, то есть $x > -1$.
Шаг 2. Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения:
$$\log_3\big((x+1)(x+3)\big) = 1$$Шаг 3. По определению логарифма $(x+1)(x+3) = 3^1 = 3$. Раскрываем скобки: $x^2 + 4x + 3 = 3$, откуда $x^2 + 4x = 0$, $x(x + 4) = 0$.
Шаг 4. Корни $x = 0$ и $x = -4$. Условию $x > -1$ удовлетворяет только $x = 0$.
Проверка. $\log_3 1 + \log_3 3 = 0 + 1 = 1$. Сходится.
Ответ: $0$
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Найдите корень уравнения $\sqrt{x+7} = x + 1$. Если корней несколько, укажите меньший из них.
Шаг 1. Условие на правую часть: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.
Шаг 2. Возводим в квадрат: $x + 7 = x^2 + 2x + 1$, откуда $x^2 + x - 6 = 0$.
Шаг 3. Дискриминант $D = 1 + 24 = 25$, корни $x_1 = \dfrac{-1 + 5}{2} = 2$, $x_2 = \dfrac{-1 - 5}{2} = -3$.
Шаг 4. Корень $x = -3$ не удовлетворяет условию $x \ge -1$, это посторонний корень. Остаётся $x = 2$.
Проверка. $\sqrt{9} = 3 = 2 + 1$. Сходится.
Внимание: «меньший из корней» здесь не $-3$. После отбора корень остался один.
Ответ: $2$
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 4. Решите уравнение $\cos\dfrac{\pi(2x-1)}{3} = \dfrac12$. В ответе запишите наименьший положительный корень.
Шаг 1. Табличное значение: $\arccos\dfrac12 = \dfrac{\pi}{3}$. Поэтому
$$\frac{\pi(2x-1)}{3} = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$Шаг 2. Умножаем на $\dfrac{3}{\pi}$: $2x - 1 = \pm 1 + 6n$.
Шаг 3. Две серии: $x = 1 + 3n$ и $x = 3n$.
Шаг 4. Перебираем небольшие $n$. Первая серия: $\dots, -2, 1, 4, \dots$ Вторая серия: $\dots, 0, 3, 6, \dots$ Корень $0$ не положительный. Наименьший положительный корень равен $1$.
Проверка. $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac12$. Сходится.
Ответ: $1$
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Не проверяют посторонние корни. Возведение в квадрат и объединение логарифмов расширяют область допустимых значений. В примерах 2 и 3 лишний корень попадает в ответ именно так.
- Путаются в степенях при приведении к основанию: $4^{x-3} = 2^{2x-6}$, а не $2^{2x-3}$.
- Записывают в ответ отброшенный корень, потому что в условии было «укажите меньший».
- Берут $n = 0$ и останавливаются. Наименьший положительный корень может дать любое $n$ и любая из серий.
- Решают $\log_a f(x) = b$ как $f(x) = b^a$. Правильно: $f(x) = a^b$.
Что повторить
- Урок «Показательные уравнения»:
- Урок «Логарифмические уравнения»: Метод 1: простейшее логарифмическое уравнение. Сведение суммы логарифмов к одному логарифму разобрано там же, в следующем методе.
- Урок «Извлечение корня из обеих частей уравнения»: Уравнения вида $\sqrt{f(x)}=g(x)$
- Урок «Квадратные уравнения»: Дискриминант и формула корней
- Урок «Простейшие тригонометрические уравнения»:
Из блога: Как решать уравнения: пошаговый алгоритм для начинающих.
Где потренироваться
- Практика: 30 заданий по показательным уравнениям
- Практика: 30 заданий по логарифмическим уравнениям
- Практика: 30 заданий по иррациональным уравнениям
- Практика: 30 заданий по квадратным уравнениям
- Практика: 30 заданий по простейшим тригонометрическим уравнениям
Соседние задания ЕГЭ: задание 6, случайная величина и задание 8, вычисления и преобразования. Все задания собраны на странице ЕГЭ профиль.