Задание 1 открывает профильный ЕГЭ и проверяет школьную планиметрию: треугольники, четырёхугольники, окружности, площади. Задача решается в одно-два действия, если помнишь нужный факт. Если не помнишь, её не вытянуть никакой алгеброй. Поэтому готовиться к первому заданию лучше всего так: собрать короткий список фактов и прогнать их на типовых задачах.
Структура заданий на этой странице взята из проекта демоверсии и спецификации ЕГЭ 2027, которые ФИПИ опубликовал для обсуждения. Окончательная версия может отличаться.
Что проверяет задание 1
Это задание части 1 с кратким ответом, за верный ответ дают 1 первичный балл. Ответ — целое число или конечная десятичная дробь. Чтобы решить задание уверенно, нужно уметь:
- находить углы: сумма углов треугольника, смежные и вертикальные углы, углы при параллельных прямых, вписанные и центральные углы;
- работать с прямоугольным треугольником: теорема Пифагора, синус, косинус и тангенс острого угла;
- считать площади треугольника, параллелограмма, трапеции, в том числе через синус угла;
- пользоваться свойствами вписанных и описанных окружностей;
- применять подобие: отношение сторон и отношение площадей подобных фигур.
Как выглядит задание
Типовые формулировки (это наши аналоги, а не задачи из банка ФИПИ):
- «В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90°$, $AB = 25$, $\cos B = 0{,}96$. Найдите $AC$».
- «Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 7$, $BC = 9$, $CD = 12$. Найдите $AD$».
- «Сторона $AB$ треугольника $ABC$ равна $6\sqrt{2}$, угол $C$ равен $45°$. Найдите радиус описанной окружности».
Алгоритм решения
- Сделай чертёж, даже если он есть в условии. Подпиши на нём все данные: длины, углы, равные отрезки.
- Назови фигуру и найди опорный факт. Прямоугольный треугольник — тригонометрия острого угла и Пифагор. Описанный четырёхугольник — суммы противоположных сторон равны. Вписанный четырёхугольник — сумма противоположных углов $180°$. Угол, опирающийся на сторону, и радиус описанной окружности — теорема синусов.
- Запиши одно уравнение, связывающее искомое с данными. В задании 1 почти никогда не нужно больше двух формул подряд.
- Посчитай без калькулятора. Табличные значения синуса и косинуса ($30°$, $45°$, $60°$, $90°$, $120°$, $135°$, $150°$) надо знать наизусть.
- Проверь здравым смыслом. Катет короче гипотенузы, угол треугольника меньше $180°$, площадь положительна.
Короткая шпаргалка фактов, для которых на сайте пока нет отдельного урока:
- вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу; вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой;
- в четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда $AB + CD = BC + AD$;
- около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180°$;
- средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине;
- если фигуры подобны с коэффициентом $k$, их площади относятся как $k^2$.
Разбор примеров
Пример 1. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90°$, гипотенуза $AB = 25$, $\cos B = 0{,}96$. Найдите катет $AC$.
Шаг 1. Катет $AC$ лежит напротив угла $B$, то есть он противолежащий. Значит, нам нужен синус угла $B$: $AC = AB \cdot \sin B$.
Шаг 2. Синус находим из основного тригонометрического тождества. Угол $B$ острый, поэтому синус положителен:
$$\sin B = \sqrt{1 - 0{,}96^2} = \sqrt{1 - 0{,}9216} = \sqrt{0{,}0784} = 0{,}28$$Шаг 3. $AC = 25 \cdot 0{,}28 = 7$.
Проверка. Второй катет $BC = 25 \cdot 0{,}96 = 24$, и $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$. Сходится.
Ответ: $7$
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. Две стороны треугольника равны $8$ и $12$, а угол между ними равен $150°$. Найдите площадь треугольника.
Шаг 1. Даны две стороны и угол между ними, это ровно случай формулы $S = \dfrac12\, ab \sin C$.
Шаг 2. По формуле приведения $\sin 150° = \sin(180° - 30°) = \sin 30° = \dfrac12$.
Шаг 3. Считаем:
$$S = \frac12 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac12 = 24$$Ответ: $24$
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. В треугольнике $ABC$ сторона $AB = 6\sqrt{2}$, угол $C$ равен $45°$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.
Шаг 1. Сторона $AB$ лежит напротив угла $C$. По теореме синусов отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности:
$$\frac{AB}{\sin C} = 2R$$Шаг 2. Подставляем $\sin 45° = \dfrac{\sqrt2}{2}$:
$$2R = \frac{6\sqrt2}{\sqrt2 / 2} = 12$$Шаг 3. $R = 6$.
Ответ: $6$
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Путают противолежащий и прилежащий катет. Роль катета определяется выбранным углом: для угла $A$ катет $BC$ противолежащий, для угла $B$ тот же катет прилежащий.
- Берут в формуле площади не тот угол. В $S = \dfrac12 ab\sin C$ угол $C$ обязан лежать между сторонами $a$ и $b$.
- Забывают, что $\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$. Из-за этого тупой угол $150°$ кажется «неудобным», хотя его синус табличный.
- Отвечают диаметром вместо радиуса. Теорема синусов даёт $2R$, в ответ идёт половина.
- Записывают в бланк корень. Ответ части 1 — число без радикалов. Если получилось $5\sqrt3$, скорее всего, в вычислениях ошибка или спрашивали другую величину.
Что повторить
Честно: отдельных уроков школьной планиметрии на сайте пока нет. Не разобраны вписанные углы, вписанные и описанные четырёхугольники, средняя линия, подобие и отношение площадей, биссектриса. Факты по этим темам собраны в шпаргалке выше. Уроки ниже закрывают тригонометрическую часть задания: прямоугольные треугольники, площадь через синус, теоремы синусов и косинусов.
- Урок «Применение тригонометрии в геометрии»:
- Урок «Теорема синусов»:
- Урок «Теорема косинусов»: Примеры с разбором: находим третью сторону
Из блога:
- Теорема Пифагора: формула, примеры и как найти катет или гипотенузу
- Синус, косинус и тангенс: как найти стороны прямоугольного треугольника
- Площади фигур: формулы для квадрата, треугольника, круга
Где потренироваться
- Практика: 30 заданий по тригонометрии в геометрии
- Практика: 30 заданий по теореме синусов
- Практика: 30 заданий по теореме косинусов
Соседние задания ЕГЭ: задание 2, векторы и задание 3, стереометрия. Все задания собраны на странице ЕГЭ профиль.