Что проверяет задание 10
В задании 10 дана готовая формула из физики, техники или экономики, и о ней рассказана небольшая история. Выводить формулу не нужно, она уже написана в условии. Нужно понять, какая буква в ней неизвестна, подставить остальные числа и решить получившееся уравнение или неравенство. Часто это квадратное уравнение, реже показательное, логарифмическое или иррациональное.
Трудность задания не в математике, а в чтении. Условие длинное, в нём много величин и единиц измерения, и половина ошибок — это неправильная подстановка, а не неправильное решение.
Задание стоит в первой части, ответ краткий, 1 первичный балл. Структура дана по проекту демоверсии ЕГЭ 2027 года (ФИПИ).
Что нужно уметь:
- выделять из текста формулу, известные величины и неизвестную;
- подставлять числа, следя за единицами измерения;
- решать квадратные, показательные, логарифмические и простейшие иррациональные уравнения;
- переходить от вопроса «не менее», «не более», «сколько времени» к неравенству;
- отбирать корень, который имеет физический смысл, и оценивать правдоподобие ответа.
Как выглядит задание
Типичная формулировка (наш аналог):
Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t) = 1{,}2 + 9t - 5t^2$, где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах с момента броска. Сколько секунд мяч находился на высоте не менее $4{,}8$ метра?
Другой частый сюжет — рост и распад: масса радиоактивного вещества, число бактерий, вклад в банке. Формула там показательная, и неизвестное стоит в показателе степени.
Алгоритм решения
- Выпиши формулу отдельной строкой и подпиши под каждой буквой её значение из условия. Неизвестную обведи.
- Проверь единицы измерения. Если в формуле километры и часы, а в условии метры и минуты, переведи до подстановки.
- Определи тип вопроса. «Найдите значение» — это уравнение. «Не менее», «не более», «в течение какого времени», «при каком наименьшем» — это неравенство или уравнение на границе.
- Реши уравнение тем методом, которым решаются уравнения этого вида: дискриминант, приведение к одному основанию, определение логарифма, возведение в квадрат.
- Отбери корень по смыслу. Время, масса и длина не бывают отрицательными. Если корней два, перечитай вопрос: нужен момент или промежуток между моментами?
- Прикинь правдоподобие. Скорость автомобиля 5000 км/ч или мяч на высоте 300 м — сигнал, что где-то перепутана подстановка.
Разбор примеров
Пример 1. Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по закону $h(t) = 1{,}2 + 9t - 5t^2$ (высота в метрах, время в секундах). Сколько секунд мяч находился на высоте не менее $4{,}8$ метра?
Решение:
Шаг 1. Условие «не менее $4{,}8$ м» записываем неравенством:
$$1{,}2 + 9t - 5t^2 \geqslant 4{,}8 \quad \Leftrightarrow \quad 5t^2 - 9t + 3{,}6 \leqslant 0.$$Шаг 2. Находим корни квадратного трёхчлена:
$$D = 81 - 72 = 9, \qquad t_1 = \frac{9 - 3}{10} = 0{,}6, \qquad t_2 = \frac{9 + 3}{10} = 1{,}2.$$Шаг 3. Ветви параболы $5t^2 - 9t + 3{,}6$ направлены вверх, поэтому она неположительна между корнями: $0{,}6 \leqslant t \leqslant 1{,}2$. Мяч поднялся до $4{,}8$ м в момент $0{,}6$ с и опустился ниже в момент $1{,}2$ с. Проверка: $h(0{,}6) = 1{,}2 + 5{,}4 - 1{,}8 = 4{,}8$.
Шаг 4. Спрашивают длительность, а не момент: $1{,}2 - 0{,}6 = 0{,}6$.
Ответ: 0,6
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. Масса радиоактивного вещества уменьшается по закону $m(t) = m_0 \cdot 2^{-t/T}$, где $m_0 = 80$ мг — начальная масса, $T = 12$ мин — период полураспада, $t$ — время в минутах. Через сколько минут масса вещества станет равна $5$ мг?
Решение:
Шаг 1. Подставляем известные величины:
$$80 \cdot 2^{-t/12} = 5 \quad \Rightarrow \quad 2^{-t/12} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16}.$$Шаг 2. Приводим правую часть к основанию $2$: $\dfrac{1}{16} = 2^{-4}$. Основания одинаковые, приравниваем показатели:
$$-\frac{t}{12} = -4 \quad \Rightarrow \quad t = 48.$$Шаг 3. Проверка по смыслу: за $48$ минут проходит $4$ периода полураспада, масса уменьшается в $2^4 = 16$ раз, $80 : 16 = 5$. Сходится.
Ответ: 48
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Гоночный болид стартует с места и разгоняется с постоянным ускорением $a$ (в км/ч²). Скорость, которую он набирает на участке длиной $l$ км, равна $v = \sqrt{2la}$ км/ч. Какое ускорение нужно болиду, чтобы на участке $0{,}5$ км разогнаться до $150$ км/ч? Ответ дайте в км/ч².
Решение:
Шаг 1. Подставляем данные, единицы уже согласованы (км и км/ч):
$$\sqrt{2 \cdot 0{,}5 \cdot a} = 150.$$Шаг 2. Обе части неотрицательны, поэтому возводим в квадрат без потери равносильности:
$$2 \cdot 0{,}5 \cdot a = 150^2 \quad \Rightarrow \quad a = 22\,500.$$Шаг 3. Проверка подстановкой: $\sqrt{2 \cdot 0{,}5 \cdot 22\,500} = \sqrt{22\,500} = 150$. Большое число в ответе не должно смущать: ускорение измеряется в км/ч², а это очень мелкая единица.
Ответ: 22500
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Отвечают моментом времени вместо промежутка. В примере 1 корни $0{,}6$ и $1{,}2$ — это моменты. Спрашивали, сколько секунд мяч был выше отметки, то есть разность.
- Не переводят единицы. Минуты вместо часов или метры вместо километров дают ответ, отличающийся в 60 или 1000 раз.
- Оставляют отрицательный корень. Отрицательное время, масса или скорость не подходят по смыслу задачи, даже если алгебраически это корень.
- Путают, какая величина неизвестна. В длинных формулах с пятью буквами полезно явно написать: «известно: …, найти: …».
- Решают показательное уравнение перебором. Надёжнее привести обе части к одному основанию или взять логарифм, как в уроке про рост и распад.
Что повторить
Отдельного урока с подборкой прикладных формул в формате ЕГЭ (торможение, конденсатор, разгон и подобные сюжеты) на сайте пока нет. Навык собирается из уроков про уравнения и из урока о росте и распаде:
- Показательные модели: Модель роста и распада: одна формула, две записи и Находим время: логарифм, время удвоения и правило 72.
- Квадратные уравнения: Дискриминант и формула корней.
- Логарифмические уравнения: Метод 1: простейшее логарифмическое уравнение.
- Формулы движения: Ускорение: производная от производной. Этот раздел помогает понимать, что стоит за формулами движения в условиях задач.
Где потренироваться
- Практика по задачам на рост и распад
- Практика по квадратным уравнениям
- Практика по логарифмическим уравнениям
- Практика по физическому смыслу производной
Соседние задания: задание 9 — производная и первообразная и задание 11 — текстовые задачи. Сами уравнения, которые получаются в задании 10, разобраны на странице задания 7 — простейшие уравнения. Все задания собраны на странице ЕГЭ по математике.