Задание 2 профильного ЕГЭ посвящено векторам. Это одно из самых «механических» заданий экзамена: формул немного, и все они короткие. Кто выучил пять формул и аккуратно считает знаки, получает этот балл почти гарантированно. Большинство ошибок здесь арифметические, а не идейные.
Структура заданий на этой странице взята из проекта демоверсии и спецификации ЕГЭ 2027, которые ФИПИ опубликовал для обсуждения. Окончательная версия может отличаться.
Что проверяет задание 2
Задание части 1 с кратким ответом, за верный ответ дают 1 первичный балл. Проверяются умения:
- находить координаты суммы и разности векторов и произведения вектора на число;
- вычислять длину вектора по координатам;
- вычислять скалярное произведение через координаты или через длины и угол;
- находить угол между векторами и проверять перпендикулярность.
Как выглядит задание
Типовые формулировки (наши аналоги):
- «Даны векторы $\vec a(2; 3)$ и $\vec b(-3; 2)$. Найдите длину вектора $3\vec a - 2\vec b$».
- «Длины векторов $\vec a$ и $\vec b$ равны $3$ и $4$, угол между ними $60°$. Найдите скалярное произведение $(\vec a + 2\vec b) \cdot (\vec a - \vec b)$».
- «Найдите угол между векторами $\vec a(2; 1)$ и $\vec b(1; 3)$. Ответ дайте в градусах».
Иногда векторы задают рисунком на клетчатой бумаге. Тогда первый шаг — снять координаты: сосчитать клетки от начала до конца стрелки по горизонтали и по вертикали, со знаком.
Алгоритм решения
- Переведи всё в координаты, если это возможно. Для вектора $\overrightarrow{AB}$ из конца вычитаем начало: $(x_B - x_A;\ y_B - y_A)$.
- Линейные операции делай покоординатно: $k\vec a + m\vec b = (k a_1 + m b_1;\ k a_2 + m b_2)$.
- Длина вектора: $|\vec a| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ (в пространстве добавляется $a_3^2$).
- Скалярное произведение считай тем способом, который подходит к данным:
- по координатам: $\vec a \cdot \vec b = a_1 b_1 + a_2 b_2$;
- по длинам и углу: $\vec a \cdot \vec b = |\vec a|\,|\vec b| \cos\varphi$.
- Угол между векторами: $\cos\varphi = \dfrac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}$. Если скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны.
- Выражения вида $(\vec a + 2\vec b)\cdot(\vec a - \vec b)$ раскрывай как обычные скобки, помня, что $\vec a \cdot \vec a = |\vec a|^2$.
Если векторы заданы в пространстве, все формулы те же, только у каждого вектора три координаты: длина $\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$, скалярное произведение $a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$. А длину суммы, когда известны только длины и угол, находят через квадрат: $|\vec a + \vec b|^2 = |\vec a|^2 + 2\,\vec a\cdot\vec b + |\vec b|^2$. Это та же теорема косинусов, записанная на языке векторов.
Разбор примеров
Пример 1. Даны векторы $\vec a(2; 3)$ и $\vec b(-3; 2)$. Найдите длину вектора $3\vec a - 2\vec b$.
Шаг 1. Умножаем векторы на числа покоординатно: $3\vec a = (6; 9)$, $2\vec b = (-6; 4)$.
Шаг 2. Вычитаем: $3\vec a - 2\vec b = (6 - (-6);\ 9 - 4) = (12; 5)$.
Шаг 3. Длина:
$$|3\vec a - 2\vec b| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$$Проверка другим способом. Заметим, что $\vec a \cdot \vec b = 2 \cdot (-3) + 3 \cdot 2 = 0$, векторы перпендикулярны. Тогда $|3\vec a - 2\vec b|^2 = 9|\vec a|^2 + 4|\vec b|^2 = 9 \cdot 13 + 4 \cdot 13 = 169$. Снова $13$.
Ответ: $13$
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. Найдите угол между векторами $\vec a(2; 1)$ и $\vec b(1; 3)$. Ответ дайте в градусах.
Шаг 1. Скалярное произведение по координатам: $\vec a \cdot \vec b = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 5$.
Шаг 2. Длины: $|\vec a| = \sqrt{4 + 1} = \sqrt5$, $|\vec b| = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.
Шаг 3. Косинус угла:
$$\cos\varphi = \frac{5}{\sqrt5 \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{5\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}$$Шаг 4. Угол, косинус которого равен $\dfrac{\sqrt2}{2}$, равен $45°$.
Ответ: $45$
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Длины векторов $\vec a$ и $\vec b$ равны $3$ и $4$, угол между ними равен $60°$. Найдите $(\vec a + 2\vec b) \cdot (\vec a - \vec b)$.
Шаг 1. Раскрываем скобки, как в алгебре:
$$(\vec a + 2\vec b)\cdot(\vec a - \vec b) = \vec a\cdot\vec a - \vec a\cdot\vec b + 2\,\vec b\cdot\vec a - 2\,\vec b\cdot\vec b = |\vec a|^2 + \vec a\cdot\vec b - 2|\vec b|^2$$Шаг 2. Скалярное произведение через угол: $\vec a\cdot\vec b = 3 \cdot 4 \cdot \cos 60° = 12 \cdot \dfrac12 = 6$.
Шаг 3. Подставляем:
$$9 + 6 - 2 \cdot 16 = -17$$Ответ: $-17$
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Вычитают координаты не в том порядке. Для $\overrightarrow{AB}$ всегда «конец минус начало». Перепутав, получишь противоположный вектор, и знак скалярного произведения поменяется.
- Теряют минус при умножении. В примере 1 легко написать $6 - 6$ вместо $6 - (-6)$.
- Забывают извлечь корень и пишут в ответ $169$ вместо длины $13$.
- Считают $\vec a\cdot\vec a$ равным $|\vec a|$, а не $|\vec a|^2$.
- Путают, в чём спрашивают угол. Ответ ждут в градусах, а не в радианах и не косинусом.
Что повторить
Уроки по векторам на сайте лежат в вузовском разделе, и примеры там часто из машинного обучения (эмбеддинги, похожесть текстов). Для ЕГЭ достаточно разделов ниже, остальное можно пропустить.
- Урок «Векторы: от математики до нейронных сетей»:
- Урок «Линейные операции над векторами»:
- Урок «Скалярное произведение»:
Где потренироваться
- Практика: 30 заданий к уроку «Векторы на плоскости и в пространстве»
- Практика: 30 заданий по линейным операциям
- Практика: 30 заданий по скалярному произведению
В практике этих уроков встречаются задачи с машинным обучением. Для подготовки к ЕГЭ выбирай задачи на координаты, длину и угол.
Соседние задания ЕГЭ: задание 1, планиметрия и задание 3, стереометрия. Все задания собраны на странице ЕГЭ профиль.