Задание 3 профильного ЕГЭ проверяет стереометрию на базовом уровне: многогранники, тела вращения, их объёмы и площади поверхности. Почти всё задание держится на десятке формул и на умении увидеть внутри объёмной фигуры плоский треугольник, к которому применима теорема Пифагора.
Структура заданий на этой странице взята из проекта демоверсии и спецификации ЕГЭ 2027, которые ФИПИ опубликовал для обсуждения. Окончательная версия может отличаться.
Что проверяет задание 3
Задание части 1 с кратким ответом, за верный ответ дают 1 первичный балл. Проверяются умения:
- вычислять объёмы призмы, пирамиды, прямоугольного параллелепипеда, цилиндра, конуса и шара;
- вычислять площади поверхности этих тел;
- находить отношения объёмов и площадей, в том числе при изменении размеров тела;
- находить длины, углы и расстояния в пространстве через плоские сечения.
Как выглядит задание
Типовые формулировки (наши аналоги):
- «Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны $3$ и $4$, а его диагональ равна $13$. Найдите объём параллелепипеда».
- «Цилиндр и конус имеют общее основание и равные высоты. Объём цилиндра равен $45$. Найдите объём конуса».
- «В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $6$, а высота равна $4$. Найдите объём пирамиды».
Алгоритм решения
- Определи тело и выпиши его формулы объёма и площади поверхности.
- Найди плоский треугольник, в котором сидят неизвестные: высота пирамиды, апофема и половина стороны основания; радиус, высота и образующая конуса; три ребра и диагональ параллелепипеда.
- Досчитай недостающие величины теоремой Пифагора или тригонометрией прямоугольного треугольника.
- Подставь в формулу. Если в ответе участвует $\pi$, а условие просит «найдите $\dfrac{V}{\pi}$», дели на $\pi$ в самом конце.
- В задачах на отношения не считай тела целиком: сократи общие множители или используй подобие. При увеличении всех линейных размеров в $k$ раз площади растут в $k^2$ раз, объёмы в $k^3$ раз.
Формулы, которые нужны чаще всего:
- прямоугольный параллелепипед: $V = abc$, диагональ $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$;
- призма и цилиндр: $V = S_{\text{осн}} \cdot h$; для цилиндра $V = \pi r^2 h$, боковая поверхность $2\pi r h$;
- пирамида и конус: $V = \dfrac13 S_{\text{осн}} \cdot h$; для конуса $V = \dfrac13 \pi r^2 h$, боковая поверхность $\pi r l$, где $l$ — образующая;
- шар: $V = \dfrac43 \pi R^3$, площадь сферы $4\pi R^2$.
Задачи на изменение размеров решаются вообще без формул объёма. Если радиус шара увеличили в $3$ раза, площадь его поверхности выросла в $3^2 = 9$ раз, а объём в $3^3 = 27$ раз. Если у цилиндра увеличили радиус в $2$ раза, а высоту уменьшили в $4$ раза, объём $\pi r^2 h$ умножится на $2^2 \cdot \dfrac14 = 1$, то есть не изменится.
Разбор примеров
Пример 1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны $3$ и $4$. Диагональ параллелепипеда равна $13$. Найдите его объём.
Шаг 1. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.
Шаг 2. Находим третье ребро:
$$c = \sqrt{13^2 - 3^2 - 4^2} = \sqrt{169 - 9 - 16} = \sqrt{144} = 12$$Шаг 3. Объём: $V = 3 \cdot 4 \cdot 12 = 144$.
Ответ: $144$
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. Цилиндр и конус имеют общее основание и равные высоты. Объём цилиндра равен $45$. Найдите объём конуса.
Шаг 1. Основание одно и то же, высоты равны, значит, $S_{\text{осн}}$ и $h$ у тел общие.
Шаг 2. Объём цилиндра $S_{\text{осн}} \cdot h$, объём конуса $\dfrac13 S_{\text{осн}} \cdot h$. Конус ровно в три раза меньше.
Шаг 3. $V_{\text{кон}} = \dfrac{45}{3} = 15$.
Ответ: $15$
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна $6$, а высота равна $4$. Найдите объём пирамиды и площадь её боковой поверхности.
Шаг 1. В основании правильной четырёхугольной пирамиды квадрат: $S_{\text{осн}} = 6^2 = 36$.
Шаг 2. Объём:
$$V = \frac13 \cdot 36 \cdot 4 = 48$$Шаг 3. Для боковой поверхности нужна апофема — высота боковой грани. Она гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами «высота пирамиды» $4$ и «половина стороны основания» $3$:
$$l = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$$Шаг 4. Боковая поверхность — четыре одинаковых треугольника:
$$S_{\text{бок}} = 4 \cdot \frac12 \cdot 6 \cdot 5 = 60$$Ответ: объём $48$, площадь боковой поверхности $60$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Забывают множитель $\dfrac13$ у пирамиды и конуса. Проверка: пирамида всегда меньше призмы с тем же основанием и высотой.
- Путают высоту пирамиды и апофему. Высота опущена в центр основания, апофема идёт по боковой грани.
- Считают, что при удвоении радиуса объём тоже удваивается. Объём шара при этом растёт в $2^3 = 8$ раз, площадь поверхности в $2^2 = 4$ раза.
- Путают радиус и диаметр в задачах про цилиндр и шар.
- Оставляют $\pi$ в ответе. Если условие просит $\dfrac{V}{\pi}$, число $\pi$ должно сократиться.
Что повторить
Честно: отдельных уроков по стереометрии на сайте пока нет. Не разобраны призма, пирамида, цилиндр, конус и шар, их объёмы и площади поверхности, отношения объёмов, сечения. Формулы для этого задания собраны выше. Ближайшее, что есть на сайте:
- Урок «Периметр, площадь и объём» (5 класс): Объём — объём прямоугольного параллелепипеда и единицы измерения.
- Урок «Вычисление площадей» (11 класс, интеграл): Объём тела вращения и Проверка на известных телах. Там выведены формулы объёма конуса и шара.
- Урок «Смешанное произведение векторов» (вузовский): Что такое смешанное произведение простыми словами — объём параллелепипеда через координаты векторов, дальше в уроке есть объём тетраэдра (треугольной пирамиды). Для ЕГЭ этот метод необязателен, это запасной путь для тех, кто уже знает векторы.
Для плоских треугольников внутри тел пригодится решение прямоугольных треугольников и статья блога Теорема Пифагора: формула, примеры и как найти катет или гипотенузу.
Где потренироваться
Практики именно в формате задания 3 на сайте пока нет. Ближе всего к нему:
- Практика: 30 заданий по периметру, площади и объёму
- Практика: 30 заданий по вычислению площадей и объёмов тел вращения
Соседние задания ЕГЭ: задание 2, векторы и задание 4, вероятность события. Все задания собраны на странице ЕГЭ профиль.