Что проверяет задание 16
Задание 16 — неравенство с развёрнутым ответом во второй части, 2 первичных балла. По проекту КИМ 2027 года это бывшее задание 15. Обычно неравенство логарифмическое или показательное, часто с заменой переменной и дробью, которую решают методом интервалов. Ошибка здесь почти всегда одна и та же: потерянная область допустимых значений или неравносильный переход.
Что нужно уметь:
- находить ОДЗ и выписывать её первым действием;
- сравнивать степени и логарифмы с учётом монотонности: при основании больше 1 знак неравенства сохраняется, при основании от 0 до 1 меняется;
- делать замену $t = a^x$ (с условием $t > 0$) и $t = \log_a x$;
- решать рациональные неравенства методом интервалов;
- пересекать и объединять промежутки и записывать ответ.
Как выглядит задание
Типичные формулировки (наши аналоги):
Решите неравенство $\log_2(x - 1) + \log_2(x + 1) \le 3$.
Решите неравенство $\dfrac{3}{\log_2 x - 1} \ge 1$.
Алгоритм решения
- ОДЗ — первым действием. Выражения под логарифмами должны быть положительны, основания положительны и не равны 1, знаменатели не равны нулю. Реши эту систему отдельно.
- Привести к удобному виду: один логарифм с каждой стороны, одинаковые основания у степеней или замена переменной.
- Снять логарифм или показатель по монотонности. Если основание больше 1, знак сохраняется, если меньше 1 — меняется.
- Если получилась дробь, перенести всё в одну часть и привести к виду $\dfrac{P}{Q} \vee 0$. Сравнивать с нулём, а не с числом, и не умножать на знаменатель неизвестного знака.
- Метод интервалов: отметить нули числителя (закрашенные точки при нестрогом знаке) и нули знаменателя (всегда выколотые), расставить знаки, выбрать нужные промежутки.
- Вернуться от замены к $x$ и пересечь результат с ОДЗ.
- Записать ответ промежутками.
Шпаргалка по снятию логарифмов и показателей. Все переходы верны только вместе с ОДЗ:
| Неравенство | Основание $a > 1$ | Основание $0 < a < 1$ |
|---|---|---|
| $a^{f(x)} > a^{g(x)}$ | $f(x) > g(x)$ | $f(x) < g(x)$ |
| $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ | $f(x) > g(x) > 0$ | $0 < f(x) < g(x)$ |
| $\log_a f(x) > c$ | $f(x) > a^c$ | $0 < f(x) < a^c$ |
Обрати внимание: в строках с логарифмом условие положительности уже встроено в переход. Для $a > 1$ из $f(x) > g(x) > 0$ автоматически следует $f(x) > 0$, поэтому отдельно проверять нужно только меньшее выражение.
Разбор примеров
Пример 1. Решите неравенство $\log_2(x - 1) + \log_2(x + 1) \le 3$.
Шаг 1. ОДЗ. $x - 1 > 0$ и $x + 1 > 0$, откуда $x > 1$.
Шаг 2. На ОДЗ сумму логарифмов можно склеить: $\log_2\big((x-1)(x+1)\big) \le 3$, то есть $\log_2(x^2 - 1) \le \log_2 8$.
Шаг 3. Основание $2 > 1$, знак сохраняется: $x^2 - 1 \le 8$, то есть $x^2 \le 9$ и $-3 \le x \le 3$.
Шаг 4. Пересекаем с ОДЗ $x > 1$ и получаем $1 < x \le 3$.
Если бы мы пропустили ОДЗ, в ответ попал бы кусок $[-3;\,-1)$, где исходные логарифмы не определены.
Ответ: $(1;\,3]$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. Решите неравенство $4^x - 3\cdot 2^{x+1} + 8 \ge 0$.
Шаг 1. $4^x = (2^x)^2$ и $2^{x+1} = 2\cdot 2^x$. Замена $t = 2^x$, причём $t > 0$:
$$t^2 - 6t + 8 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad (t - 2)(t - 4) \ge 0.$$Шаг 2. Метод интервалов для $t$: $t \le 2$ или $t \ge 4$. С учётом $t > 0$ получаем $0 < t \le 2$ или $t \ge 4$.
Шаг 3. Возвращаемся к $x$. Основание $2 > 1$, знак сохраняется:
- $2^x \le 2 \Rightarrow x \le 1$ (условие $2^x > 0$ выполнено всегда);
- $2^x \ge 4 \Rightarrow x \ge 2$.
Ответ: $(-\infty;\,1] \cup [2;\,+\infty)$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Решите неравенство $\dfrac{3}{\log_2 x - 1} \ge 1$.
Шаг 1. ОДЗ. $x > 0$ и $\log_2 x \ne 1$, то есть $x \ne 2$.
Шаг 2. Замена $t = \log_2 x$. Умножать на $t - 1$ нельзя: его знак неизвестен. Переносим единицу влево:
$$\frac{3}{t - 1} - 1 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{3 - (t - 1)}{t - 1} \ge 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{4 - t}{t - 1} \ge 0.$$Шаг 3. Метод интервалов. Нуль числителя $t = 4$ (точка закрашена), нуль знаменателя $t = 1$ (точка выколота). При $t > 4$ дробь отрицательна, при $1 < t < 4$ положительна, при $t < 1$ отрицательна. Подходит $1 < t \le 4$.
Шаг 4. Обратно к $x$: $1 < \log_2 x \le 4$, откуда $2 < x \le 16$. Это множество лежит внутри ОДЗ.
Проверка граничной точки: при $x = 16$ получаем $\dfrac{3}{4 - 1} = 1 \ge 1$, верно.
Ответ: $(2;\,16]$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- ОДЗ «в конце» или вообще без неё. В неравенстве нельзя «решить и проверить подстановкой»: в промежутке бесконечно много точек. Поэтому ОДЗ записывают до преобразований, а в конце пересекают с ней ответ.
- Умножение на знаменатель неизвестного знака. Из $\dfrac{3}{t-1} \ge 1$ не следует $3 \ge t - 1$: при $t < 1$ знак неравенства меняется. Правильно перенести всё в одну часть и применить метод интервалов.
- Забытое $t > 0$ после замены $t = a^x$. Иногда без этого условия в ответ попадают значения $t$, для которых $x$ не существует.
- Знак при основании меньше 1. Неравенство $\log_{0{,}5} f(x) > \log_{0{,}5} g(x)$ равносильно $f(x) < g(x)$ на ОДЗ, а не $f(x) > g(x)$.
- Закрашенные и выколотые точки. Нули знаменателя всегда выколоты, даже в нестрогом неравенстве.
Что повторить
- ОДЗ: почему здесь нельзя «решить и проверить» — главный раздел для этого задания.
- Замена переменной, когда логарифм встречается несколько раз — как в примере 3.
- Метод интервалов и системы.
- Замена $t = a^x$ и почему $t > 0$ обязательно — как в примере 2.
- Метод интервалов после замены.
- Метод интервалов — база для рациональных неравенств.
- Метод интервалов для неравенств с модулем.
Где потренироваться
- Практика по логарифмическим неравенствам.
- Практика по показательным неравенствам.
- Практика по неравенствам: линейным, квадратным, с модулем.
- Практика по неравенствам с модулем.
Соседние задания: задание 14, уравнения с отбором корней, задание 15, стереометрия, задание 17, моделирование с производной.