Задание 5 профильного ЕГЭ продолжает тему вероятности, но уже для сложных событий. Здесь одной дробью $\dfrac{m}{n}$ не обойтись: событие приходится собирать из нескольких простых через «и» и «или», а вероятности умножать и складывать. Главный навык — разобрать словесное условие на части и понять, какие из них независимы, а какие несовместны.
Структура заданий на этой странице взята из проекта демоверсии и спецификации ЕГЭ 2027, которые ФИПИ опубликовал для обсуждения. Окончательная версия может отличаться.
Что проверяет задание 5
Задание части 1 с кратким ответом, за верный ответ дают 1 первичный балл. Проверяются умения:
- применять теоремы сложения и умножения вероятностей;
- отличать независимые события от несовместных;
- считать вероятность события «хотя бы один» через противоположное;
- пользоваться формулой полной вероятности и деревом вероятностей;
- считать число вариантов комбинаторными формулами, в том числе в серии одинаковых испытаний.
Как выглядит задание
Типовые формулировки (наши аналоги):
- «В зале два платёжных терминала. Каждый из них независимо от другого неисправен с вероятностью $0{,}05$. Найдите вероятность того, что хотя бы один терминал исправен».
- «Первая фабрика выпускает 60% стёкол для фар, вторая 40%. Брак у первой составляет 3%, у второй 5%. Найдите вероятность того, что случайно купленное стекло окажется бракованным».
- «Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0{,}7$ и делает 4 выстрела. Найдите вероятность того, что он попадёт не менее трёх раз».
Алгоритм решения
-
Разбей событие на простые: что должно случиться на каждом шаге, на каждом приборе, на каждом выстреле.
-
Определи связки. «И» (оба, все, подряд) — умножение, если события независимы. «Или» (либо, хотя бы в одном случае) — сложение, если события несовместны.
-
Если в условии «хотя бы один», почти всегда проще посчитать противоположное событие «ни одного» и вычесть из единицы: $P = 1 - (1-p_1)(1-p_2)\cdots$.
-
Если исход зависит от того, какая «ветка» случилась (какая фабрика, какой стрелок, какая погода), рисуй дерево. Вероятность пути по дереву — произведение вероятностей на рёбрах, итоговая вероятность — сумма по всем нужным путям. Это и есть формула полной вероятности:
$$P(A) = P(H_1)\,P(A \mid H_1) + P(H_2)\,P(A \mid H_2) + \dots$$ -
Если одно и то же испытание повторяется $n$ раз, работает схема Бернулли: вероятность ровно $k$ успехов равна $C_n^k\, p^k (1-p)^{n-k}$.
-
Проверь: ответ между $0$ и $1$, и сумма вероятностей всех вариантов равна $1$.
Разбор примеров
Пример 1. В зале два платёжных терминала. Каждый из них независимо от другого неисправен с вероятностью $0{,}05$. Найдите вероятность того, что хотя бы один терминал исправен.
Шаг 1. Противоположное событие: оба терминала неисправны.
Шаг 2. Терминалы ломаются независимо, поэтому вероятности перемножаются: $0{,}05 \cdot 0{,}05 = 0{,}0025$.
Шаг 3. $P = 1 - 0{,}0025 = 0{,}9975$.
Ответ: $0{,}9975$
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. Первая фабрика выпускает 60% стёкол для фар, вторая 40%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стёкол, вторая 5%. Найдите вероятность того, что случайно купленное стекло окажется бракованным.
Шаг 1. Гипотезы: $H_1$ = «стекло с первой фабрики», $P(H_1) = 0{,}6$; $H_2$ = «стекло со второй фабрики», $P(H_2) = 0{,}4$. Гипотезы несовместны и вместе дают $1$.
Шаг 2. Дерево: по ветке $H_1$ брак с вероятностью $0{,}03$, по ветке $H_2$ с вероятностью $0{,}05$.
Шаг 3. Формула полной вероятности:
$$P = 0{,}6 \cdot 0{,}03 + 0{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}018 + 0{,}02 = 0{,}038$$Ответ: $0{,}038$
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0{,}7$ при каждом выстреле, выстрелы независимы. Он делает 4 выстрела. Найдите вероятность того, что он попадёт не менее трёх раз.
Шаг 1. «Не менее трёх» — это «ровно три» или «ровно четыре». Эти события несовместны, их вероятности складываются.
Шаг 2. Ровно три попадания из четырёх: промах может быть на любом из 4 мест, $C_4^3 = 4$:
$$P_3 = 4 \cdot 0{,}7^3 \cdot 0{,}3 = 4 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}3 = 0{,}4116$$Шаг 3. Четыре попадания: $P_4 = 0{,}7^4 = 0{,}2401$.
Шаг 4. $P = 0{,}4116 + 0{,}2401 = 0{,}6517$.
Ответ: $0{,}6517$
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Путают независимость и несовместность. Независимые события умножают, несовместные складывают. Два исправных терминала могут быть одновременно, значит, их события совместны, и складывать вероятности нельзя.
- Забывают множитель $C_n^k$. «Ровно три попадания» — это не только «три попадания, потом промах», но и промах на первом, втором или третьем выстреле.
- Считают «хотя бы один» перебором и теряют случаи. Через противоположное событие — одна строчка.
- Строят неполное дерево. Сумма вероятностей гипотез обязана быть равна $1$. Если получилось $0{,}9$, какая-то ветка потеряна.
- Путают $P(A \mid H)$ и $P(H \mid A)$. «Брак среди стёкол первой фабрики» и «доля стёкол первой фабрики среди бракованных» — разные числа.
Что повторить
Теория на сайте изложена в курсе теории вероятностей для машинного обучения. Подача там вузовская, с примерами из ML, но нужные для ЕГЭ разделы читаются самостоятельно.
- Урок «Теоремы сложения и умножения»:
- Урок «Формула полной вероятности»:
- Урок «Условная вероятность»: Теорема умножения и цепное правило
- Урок «Схема Бернулли»: Формула Бернулли: вывод и смысл
- Урок «Классическое определение вероятности»: Комбинаторика: как вообще посчитать $m$ и $n$
Где потренироваться
- Практика: 30 заданий по теоремам сложения и умножения
- Практика: 30 заданий по формуле полной вероятности
- Практика: 30 заданий по условной вероятности
- Практика: 30 заданий по схеме Бернулли
Соседние задания ЕГЭ: задание 4, вероятность события и задание 6, случайная величина. Все задания собраны на странице ЕГЭ профиль.