Что проверяет задание 8
Задание 8 — чистая техника. Нужно найти значение выражения, в котором собраны степени, корни, логарифмы или тригонометрические функции. Уравнений и графиков здесь нет, только преобразования. Выражение почти всегда подобрано так, чтобы после двух-трёх правильных шагов получилось целое число или короткая десятичная дробь. Если в ответе у тебя выходит что-то вроде $\sqrt{7}$ или $\log_3 5$, значит, одно из свойств не применено.
Задание стоит в первой части экзамена. Ответ краткий, за верный ответ ставится 1 первичный балл. Структура дана по проекту демоверсии и спецификации ЕГЭ 2027 года, которые ФИПИ опубликовал для обсуждения, поэтому окончательный вариант может немного отличаться.
Что нужно уметь:
- применять правила действий со степенями, в том числе с отрицательными и дробными показателями;
- пользоваться свойствами арифметического квадратного корня;
- раскладывать и собирать логарифмы: логарифм произведения, частного, степени, основное логарифмическое тождество;
- приводить тригонометрические функции произвольного угла к острому углу (формулы приведения);
- сворачивать $2\sin\alpha\cos\alpha$ и $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ по формулам двойного угла;
- сокращать дробно-рациональные выражения: раскладывать числитель и знаменатель на множители.
Как выглядит задание
Формулировка всегда короткая: «Найдите значение выражения». Дальше идёт само выражение. Вот два типичных аналога.
- Найдите значение выражения $\dfrac{6^{2{,}5} \cdot 6^{-1{,}5}}{6^{-1}}$.
- Найдите значение выражения $\dfrac{10\cos 146^\circ}{\cos 34^\circ}$.
Иногда дают дополнительное условие: «Найдите $5\cos 2\alpha$, если $\sin\alpha = 0{,}6$». Тогда сначала нужно выбрать формулу, в которой участвует только известная величина. Здесь это $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$, и ответ получается сразу: $5 \cdot (1 - 2 \cdot 0{,}36) = 1{,}4$.
Встречаются и дробно-рациональные выражения с переменной, например: «Найдите значение выражения $\dfrac{x^2 - 9}{x + 3} - x$ при $x = 17{,}3$». Подставлять $17{,}3$ сразу — долгий и рискованный путь. Сначала раскладываем числитель по формуле разности квадратов и сокращаем: $\dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} - x = x - 3 - x = -3$. Значение не зависит от $x$, и это типичный признак того, что задачу нужно решать через упрощение, а не через арифметику.
Алгоритм решения
- Определи тип выражения. Степени, корни, логарифмы или тригонометрия? От этого зависит, какую таблицу свойств держать перед глазами.
- Приведи всё к общему «языку». Для степеней нужно общее основание или общий показатель. Для корней все множители сводятся под один корень. Для логарифмов нужно одно основание. В тригонометрии углы приводятся к острому.
- Примени свойства по одному. Не пытайся сделать три преобразования в уме за раз. Каждое свойство — отдельная строчка.
- Найди «спрятанную» связь между углами или числами. $146^\circ = 180^\circ - 34^\circ$, $77^\circ + 13^\circ = 90^\circ$, $18 = 2 \cdot 9$. Составители почти всегда закладывают такую пару.
- Досчитай и проверь ответ на правдоподобие. Ответ в первой части — целое число или конечная десятичная дробь. Корень или логарифм в ответе означает, что упрощение не закончено.
Разбор примеров
Пример 1. Найдите значение выражения $\dfrac{2^{3{,}5} \cdot 5^{3{,}5}}{10^{1{,}5}}$.
Решение:
Шаг 1. В числителе стоят степени с одинаковым показателем. По правилу $a^n \cdot b^n = (ab)^n$ перемножаем основания:
$$2^{3{,}5} \cdot 5^{3{,}5} = (2 \cdot 5)^{3{,}5} = 10^{3{,}5}.$$Шаг 2. Теперь основания одинаковые, при делении показатели вычитаются:
$$\frac{10^{3{,}5}}{10^{1{,}5}} = 10^{3{,}5 - 1{,}5} = 10^{2} = 100.$$Дробный показатель пугает только на первый взгляд: правила степеней работают для него точно так же, как для целого.
Ответ: 100
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. Найдите значение выражения $\log_3 18 - \log_3 2 + 7^{2\log_7 3}$.
Решение:
Шаг 1. Разность логарифмов с одинаковым основанием — это логарифм частного:
$$\log_3 18 - \log_3 2 = \log_3 \frac{18}{2} = \log_3 9 = 2.$$Шаг 2. Во втором слагаемом множитель $2$ перед логарифмом вносим в показатель под логарифмом (свойство степени, прочитанное справа налево):
$$2\log_7 3 = \log_7 3^2 = \log_7 9.$$Шаг 3. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$$7^{\log_7 9} = 9.$$Шаг 4. Складываем: $2 + 9 = 11$.
Ответ: 11
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Найдите значение выражения $\dfrac{12\sin 154^\circ}{\sin 77^\circ \cdot \sin 13^\circ}$.
Решение:
Шаг 1. Замечаем, что $154^\circ = 2 \cdot 77^\circ$. Раскладываем числитель по формуле синуса двойного угла:
$$\sin 154^\circ = 2\sin 77^\circ \cos 77^\circ.$$Шаг 2. Второй угол в знаменателе дополняет $77^\circ$ до прямого: $13^\circ = 90^\circ - 77^\circ$. По формуле приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos x$:
$$\sin 13^\circ = \cos 77^\circ.$$Шаг 3. Подставляем и сокращаем:
$$\frac{12 \cdot 2\sin 77^\circ \cos 77^\circ}{\sin 77^\circ \cdot \cos 77^\circ} = 24.$$Ответ: 24
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Складывают показатели при умножении степеней с разными основаниями. $2^{3} \cdot 5^{3}$ — это $10^{3}$, а не $10^{6}$ и не $7^{3}$. Показатели складываются только при одинаковых основаниях.
- Путают логарифм суммы с суммой логарифмов. Свойство $\log_a M + \log_a N = \log_a(MN)$ работает для произведения. Для $\log_a(M + N)$ формулы нет.
- Забывают знак в формулах приведения. $\cos 146^\circ = -\cos 34^\circ$, потому что угол лежит во второй четверти, где косинус отрицателен. Потерянный минус — самая частая причина неверного ответа в тригонометрических выражениях.
- Сокращают до применения формулы. В примере 3 сократить $\sin 154^\circ$ и $\sin 77^\circ$ «потому что 154 делится на 77» нельзя: сначала формула двойного угла, потом сокращение.
- Не проверяют вид ответа. Если получилось $\sqrt{3}$ или $\log_2 5$, выражение не доведено до конца. Ответ первой части записывается целым числом или конечной десятичной дробью.
Что повторить
Все свойства из этого задания разобраны в уроках сайта. Вот конкретные разделы:
- Степени: Все правила степеней работают и здесь (степень с целым показателем).
- Корни: Свойства корней.
- Логарифмы: Все свойства на одной странице и Комбинирование свойств: разбираем сложные выражения.
- Формулы приведения: Собираем алгоритм — полная таблица и приведение любого угла.
- Двойной угол: Синус и косинус двойного угла: угол, сложенный сам с собой и Упрощение выражений и решение уравнений с двойным углом.
Если степени нужно освежить с самого начала, есть короткая статья блога Что такое степень числа: правила, примеры и частые ошибки.
Где потренироваться
В каждом уроке есть 30 заданий с решениями. Для задания 8 полезнее всего вот эти подборки:
- Практика по свойствам логарифмов
- Практика по формулам приведения
- Практика по формулам двойного угла
- Практика по степеням с целым показателем
- Практика по квадратным корням
Соседние задания экзамена: задание 7 — простейшие уравнения, где те же свойства нужны для решения уравнений, и задание 9 — производная и первообразная. Все задания профильного ЕГЭ собраны на странице ЕГЭ по математике.