Что проверяет задание 14
Задание 14 открывает вторую часть экзамена. Это первая задача с развёрнутым ответом, она стоит 2 первичных балла. По проекту КИМ 2027 года это бывшее задание 13: нумерация сдвинулась, но суть та же. Задача состоит из двух пунктов. В пункте а) нужно решить уравнение, в пункте б) выбрать корни, которые лежат на заданном отрезке. Чаще всего уравнение тригонометрическое, но встречаются показательные и логарифмические, а также смешанные, например $4^{\sin x}$ или $\log_2(\cos x)$.
Что нужно уметь:
- сводить уравнение к простейшему: заменой переменной, разложением на множители, приведением к одной функции;
- решать простейшие уравнения $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\operatorname{tg} x = a$ и записывать серии корней;
- помнить про ограничения: $|\sin x| \le 1$, $a^x > 0$, аргумент логарифма положителен;
- отбирать корни на отрезке по числовой окружности, двойным неравенством или перебором $k$;
- оформлять решение так, чтобы каждый переход был обоснован.
Как выглядит задание
Типичная формулировка (наш аналог):
а) Решите уравнение $2\cos^2 x - 3\sin x - 3 = 0$.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi;\ \dfrac{5\pi}{2}\right]$.
Вариант с показательной функцией:
а) Решите уравнение $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\log_3 2;\ 2]$.
Алгоритм решения
- Выписать ограничения. Если в уравнении есть логарифм, знаменатель или корень, сразу запиши, при каких $x$ всё определено.
- Привести к одной функции одного аргумента. Для этого используют $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, формулы двойного угла, свойства степеней и логарифмов.
- Выбрать метод: замена $t = \sin x$ (или $t = a^x$, $t = \log_a x$), разложение на множители или деление на $\cos^2 x$ для однородного уравнения.
- После замены сразу отсечь лишнее. Для $t = \sin x$ нужно $|t| \le 1$, для $t = a^x$ нужно $t > 0$.
- Записать серии корней с $k \in \mathbb{Z}$. Это ответ на пункт а).
- Отобрать корни в пункте б). Отметь концы отрезка на числовой окружности и пройди по дуге от одного конца к другому. Второй способ — решить двойное неравенство относительно целого $k$.
- Записать ответ по пунктам. Отдельно для а) и отдельно для б).
Разбор примеров
Пример 1. а) Решите уравнение $2\cos^2 x - 3\sin x - 3 = 0$. б) Найдите его корни на отрезке $\left[\pi;\ \dfrac{5\pi}{2}\right]$.
а) Шаг 1. Приводим к одной функции: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
$$2 - 2\sin^2 x - 3\sin x - 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2\sin^2 x + 3\sin x + 1 = 0.$$Шаг 2. Замена $t = \sin x$, $|t| \le 1$: $2t^2 + 3t + 1 = 0$, $D = 9 - 8 = 1$, $t_1 = -\dfrac{1}{2}$, $t_2 = -1$. Оба значения подходят.
Шаг 3. Возвращаемся к $x$:
- $\sin x = -1$: $x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$;
- $\sin x = -\dfrac{1}{2}$: $x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$ или $x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
б) Отрезок $\left[\pi;\ \dfrac{5\pi}{2}\right]$ на окружности — это дуга от точки $\pi$ через нижнюю половину до $2\pi$ и дальше до верхней точки $\dfrac{5\pi}{2}$. Все три серии лежат в нижней половине окружности, где $\sin x < 0$, поэтому берём $k = 1$:
$$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{7\pi}{6}, \qquad -\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{3\pi}{2}, \qquad -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}.$$Все три числа лежат между $\pi$ и $2\pi$, значит, попадают в отрезок. Соседние значения ($k = 0$ и $k = 2$) выходят за его пределы.
Ответ: а) $-\dfrac{\pi}{2} + 2\pi k$, $-\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k$, $-\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; б) $\dfrac{7\pi}{6}$, $\dfrac{3\pi}{2}$, $\dfrac{11\pi}{6}$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. а) Решите уравнение $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$. б) Укажите корни, принадлежащие отрезку $[\log_3 2;\ 2]$.
а) Шаг 1. $9^x = (3^x)^2$. Замена $t = 3^x$, причём $t > 0$:
$$t^2 - 4t + 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad t_1 = 1, \quad t_2 = 3.$$Оба корня положительные, оба подходят.
Шаг 2. $3^x = 1 \Rightarrow x = 0$; $3^x = 3 \Rightarrow x = 1$.
б) Сравниваем с концами отрезка. Так как $1 < 2 < 3$ и функция $\log_3$ возрастает, $0 < \log_3 2 < 1$. Значит, $x = 0$ лежит левее отрезка, а $x = 1$ попадает в него: $\log_3 2 < 1 \le 2$.
Ответ: а) $0$; $1$; б) $1$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. а) Решите уравнение $\sin 2x = \sqrt{3}\cos x$. б) Найдите его корни на отрезке $\left[-2\pi;\ -\dfrac{\pi}{2}\right]$.
а) Шаг 1. Формула двойного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. Переносим всё в одну сторону и выносим общий множитель. Делить на $\cos x$ нельзя: так теряются корни.
$$2\sin x\cos x - \sqrt{3}\cos x = 0 \quad\Rightarrow\quad \cos x\,(2\sin x - \sqrt{3}) = 0.$$Шаг 2. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
- $\cos x = 0$: $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$;
- $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$: $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$ или $x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
б) Отбираем двойным неравенством.
Серия $\dfrac{\pi}{2} + \pi k$: $-2\pi \le \dfrac{\pi}{2} + \pi k \le -\dfrac{\pi}{2}$, откуда $-2{,}5 \le k \le -1$, то есть $k = -2$ или $k = -1$. Корни $-\dfrac{3\pi}{2}$ и $-\dfrac{\pi}{2}$.
Серия $\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$: $-2\pi \le \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \le -\dfrac{\pi}{2}$, откуда $-\dfrac{7}{6} \le k \le -\dfrac{5}{12}$, то есть $k = -1$. Корень $-\dfrac{5\pi}{3}$.
Серия $\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$: $-\dfrac{4}{3} \le k \le -\dfrac{7}{12}$, то есть $k = -1$. Корень $-\dfrac{4\pi}{3}$.
Ответ: а) $\dfrac{\pi}{2} + \pi k$, $\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k$, $\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; б) $-\dfrac{5\pi}{3}$, $-\dfrac{3\pi}{2}$, $-\dfrac{4\pi}{3}$, $-\dfrac{\pi}{2}$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Деление на выражение с переменной. Если сократить $\cos x\,(2\sin x - \sqrt{3}) = 0$ на $\cos x$, пропадёт целая серия корней. Выноси множитель за скобку, а не сокращай на него.
- Забытые ограничения после замены. Корень $t = 3$ для $t = \sin x$ или $t = -2$ для $t = 3^x$ нужно отбросить и явно написать почему.
- Потерянная вторая серия. Уравнение $\sin x = a$ при $|a| < 1$ имеет на окружности две точки. Запись $(-1)^k \arcsin a + \pi k$ верна, но в пункте б) с ней легко ошибиться. Удобнее разбить её на две серии с шагом $2\pi$.
- Граница отрезка. Концы включены в отрезок. Если корень совпал с концом, как $-\dfrac{\pi}{2}$ в примере 3, он входит в ответ.
- Ответ без пунктов. Проверяющий оценивает а) и б) отдельно, поэтому ответ на каждый пункт записывай явно.
Что повторить
- Метод замены переменной — как в примере 1.
- Метод разложения на множители — как в примере 3.
- Приведение к одной функции.
- Однородные уравнения второй степени — уравнения вида $a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = 0$.
- Единичная окружность как инструмент проверки.
- Замена переменной $t = a^x$ — как в примере 2.
- Почему логарифмическое уравнение опасно и замена $t = \log_a x$.
Честно о пробеле: отбор корней на отрезке (пункт б) в уроках сайта отдельно не разобран — ни через числовую окружность, ни через двойное неравенство. Образцов оформления по критериям ЕГЭ тоже нет. Примеры 1 и 3 на этой странице показывают оба способа отбора.
Где потренироваться
- Практика по методам решения тригонометрических уравнений.
- Практика по однородным уравнениям.
- Практика по простейшим тригонометрическим уравнениям.
- Практика по показательным уравнениям.
- Практика по логарифмическим уравнениям.
Соседние задания: задание 7, простейшие уравнения, задание 13, задание 15, стереометрия, задание 16, неравенства.