Что проверяет задание 17
Задание 17 — новое в проекте КИМ ЕГЭ 2027 года. Оно стоит во второй части, ответ развёрнутый, максимум 2 первичных балла. В условии описана реальная ситуация из физики, экономики или геометрии. Нужно построить математическую модель, то есть функцию, исследовать её средствами алгебры и начал анализа и перевести результат обратно на язык задачи. Чаще всего вопрос звучит как «при каком значении величина будет наибольшей (наименьшей) и чему она равна».
Что нужно уметь:
- вводить переменную и выражать через неё целевую величину;
- находить реальные ограничения на переменную (область допустимых значений модели);
- находить производную, критические точки и знаки производной;
- обосновывать, что найденная точка даёт именно наибольшее или наименьшее значение, а не просто экстремум;
- отвечать на вопрос задачи в её единицах измерения.
Задание новое, и опыта его проверки пока нет. Точные критерии оценивания ищите в демоверсии ФИПИ. Общий принцип второй части не меняется: баллы дают за обоснованное решение, а не за одно число в ответе.
Как выглядит задание
Типичные формулировки (наши аналоги):
Источник тока с ЭДС $\mathcal{E} = 12$ В и внутренним сопротивлением $r = 2$ Ом подключён к нагрузке сопротивлением $R$. Мощность на нагрузке равна $P(R) = \dfrac{\mathcal{E}^2 R}{(R + r)^2}$. При каком $R$ мощность будет наибольшей? Найдите эту мощность.
Спрос на товар при цене $p$ рублей равен $q = 100 - 2p$ штук, себестоимость единицы товара — 10 рублей. При какой цене прибыль будет наибольшей?
Алгоритм решения
Схема та же, что в уроке про прикладные задачи на оптимум:
- Ввести переменную — ту величину, которой можно управлять. Записать, что она означает, и указать единицы измерения.
- Выразить целевую величину через переменную. Если в условии есть связь («объём фиксирован», «сетки 120 м»), выразить через неё лишние неизвестные.
- Записать область допустимых значений: длины положительны, цена не выше той, при которой спрос равен нулю, и так далее.
- Найти производную и критические точки внутри этой области.
- Обосновать, что это наибольшее или наименьшее значение. На отрезке сравни значения в критических точках и на концах. На интервале проверь смену знака производной: если критическая точка единственная и в ней знак меняется с «+» на «−», это точка наибольшего значения.
- Ответить на вопрос задачи и проверить ответ на здравый смысл.
Разбор примеров
Пример 1. Источник тока с ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением 2 Ом подключён к нагрузке с сопротивлением $R$ Ом. Мощность на нагрузке $P(R) = \dfrac{144R}{(R + 2)^2}$ Вт. При каком $R$ мощность наибольшая и чему она равна?
Шаг 1. Область. Сопротивление нагрузки положительно: $R > 0$.
Шаг 2. Производная по правилу для частного:
$$P'(R) = 144\cdot\frac{(R + 2)^2 - R\cdot 2(R + 2)}{(R + 2)^4} = 144\cdot\frac{(R + 2) - 2R}{(R + 2)^3} = \frac{144\,(2 - R)}{(R + 2)^3}.$$Шаг 3. Знаки. При $R > 0$ знаменатель положителен, поэтому знак $P'$ совпадает со знаком $2 - R$. На $(0;\,2)$ производная положительна и мощность растёт, на $(2;\,+\infty)$ отрицательна и мощность убывает. Значит, $R = 2$ — единственная точка максимума на промежутке, и в ней достигается наибольшее значение.
Шаг 4. $P(2) = \dfrac{144\cdot 2}{16} = 18$ Вт.
Смысл: мощность на нагрузке наибольшая, когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника.
Ответ: $R = 2$ Ом, наибольшая мощность 18 Вт.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. Спрос на товар при цене $p$ рублей равен $q = 100 - 2p$ штук, себестоимость единицы — 10 рублей. При какой цене прибыль наибольшая? Найдите эту прибыль.
Шаг 1. Модель. Прибыль с одной штуки равна $p - 10$, продано $100 - 2p$ штук:
$$\Pi(p) = (p - 10)(100 - 2p).$$Шаг 2. Область. Продавать в убыток нет смысла, и спрос должен быть неотрицательным: $10 \le p \le 50$.
Шаг 3. Производная: $\Pi'(p) = (100 - 2p) - 2(p - 10) = 120 - 4p$. Она равна нулю при $p = 30$, а эта точка лежит внутри отрезка.
Шаг 4. Сравнение на отрезке: $\Pi(10) = 0$, $\Pi(50) = 0$, $\Pi(30) = 20\cdot 40 = 800$. Наибольшее значение — 800 рублей.
Проверка на здравый смысл: при цене 30 рублей продаётся 40 штук по 20 рублей прибыли с каждой.
Ответ: цена 30 рублей, наибольшая прибыль 800 рублей.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Нужно изготовить открытый сверху бак в форме цилиндра объёмом $27\pi$ дм³. При каком радиусе основания на бак уйдёт меньше всего материала?
Шаг 1. Переменная и связь. Пусть $r$ — радиус основания, $h$ — высота (в дм). Из условия на объём $\pi r^2 h = 27\pi$ получаем $h = \dfrac{27}{r^2}$.
Шаг 2. Целевая функция. Площадь поверхности открытого бака — это дно плюс боковая поверхность:
$$S(r) = \pi r^2 + 2\pi r h = \pi r^2 + \frac{54\pi}{r}, \qquad r > 0.$$Шаг 3. Производная: $S'(r) = 2\pi r - \dfrac{54\pi}{r^2} = \dfrac{2\pi\,(r^3 - 27)}{r^2}$. Она равна нулю при $r = 3$.
Шаг 4. Обоснование. При $0 < r < 3$ получаем $S' < 0$, и площадь убывает. При $r > 3$ получаем $S' > 0$, и площадь растёт. Значит, $r = 3$ — точка наименьшего значения на всём промежутке $(0;\,+\infty)$.
Шаг 5. $h = \dfrac{27}{9} = 3$ дм, $S(3) = 9\pi + 18\pi = 27\pi$ дм². Высота открытого бака оказалась равна радиусу.
Ответ: $r = 3$ дм.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Нет области допустимых значений. Без неё нельзя обосновать, что найденная точка даёт наибольшее значение. Кроме того, в ответ может попасть физически бессмысленное число.
- «Производная равна нулю — значит, максимум». Равенство $f'(x_0) = 0$ ничего не говорит о характере точки. Нужна смена знака или сравнение значений на отрезке.
- Локальный экстремум вместо наибольшего значения. На отрезке значение на конце может оказаться больше значения в точке локального максимума. Сравни все кандидаты.
- Ответ не на тот вопрос. Спросили сопротивление — дай сопротивление, спросили мощность — дай мощность. Если спрашивают и то и другое, ответь на оба вопроса.
- Потеряны единицы измерения и смысл. Отрицательная цена или радиус 0 — повод перепроверить модель.
Что повторить
Честно о пробеле: задание новое, и разборов в формате демоверсии ФИПИ (мощность на нагрузке, амплитуда колебаний) и критериев оценивания на сайте пока нет. Сама схема прикладных задач на оптимум в уроке 142 разобрана полностью:
- Прикладные задачи на оптимум: полная схема — главный раздел для этого задания.
- Промежуток не отрезок: когда гарантий нет — как в примерах 1 и 3.
- Таблица знаков — рабочий инструмент.
- Локальный экстремум и наибольшее значение: не путать.
- Производная как скорость изменения чего угодно — как читать физические и экономические модели.
Где потренироваться
- Практика по наибольшему и наименьшему значению функции.
- Практика по исследованию функций с помощью производной.
- Практика по точкам экстремума.
- Практика по физическому смыслу производной.
Соседние задания: задание 9, производная и первообразная — там те же навыки с кратким ответом. Дальше задание 16, неравенства и задание 18, планиметрия.