Что проверяет задание 12
В задании 12 на клетчатом поле нарисован график функции, а сама формула записана с неизвестными коэффициентами: $f(x) = kx + b$, $f(x) = ax^2 + bx + c$, $f(x) = \dfrac{k}{x} + a$, $f(x) = a^{x} + b$, $f(x) = \log_a(x + b)$ и подобные. Нужно по графику восстановить коэффициенты и ответить на вопрос: найти значение функции в точке, абсциссу точки пересечения двух графиков или значение, при котором функция принимает заданное число.
Главный навык здесь — выбрать на графике точки с целыми координатами (в узлах клеток) и подставить их в формулу. Каждая точка даёт одно уравнение на коэффициенты. Сколько неизвестных коэффициентов, столько точек и нужно.
Задание стоит в первой части, ответ краткий, 1 первичный балл. Структура дана по проекту демоверсии ЕГЭ 2027 года (ФИПИ).
Что нужно уметь:
- находить $k$ и $b$ прямой по двум точкам;
- находить параболу по вершине и ещё одной точке или по трём точкам;
- знать, где у гиперболы асимптоты и как их сдвигает параметр;
- помнить опорные точки показательной и логарифмической функций: $a^0 = 1$ и $\log_a 1 = 0$;
- находить точки пересечения графиков, приравнивая формулы.
Как выглядит задание
Формулировки (наши аналоги; на экзамене графики даются рисунком, здесь точки перечислены словами):
- На рисунке изображены графики двух линейных функций. Первый проходит через точки $(-1;\ 4)$ и $(1;\ 0)$, второй — через точки $(0;\ -4)$ и $(2;\ 2)$. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
- На рисунке изображён график функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ с вершиной в точке $(2;\ -3)$, пересекающий ось $Oy$ в точке $(0;\ 1)$. Найдите $f(7)$.
На самом экзамене точки нужно найти самостоятельно: на рисунке они отмечены узлами сетки, через которые проходит график. Бери только те точки, координаты которых читаются точно. Точку «примерно посередине клетки» использовать нельзя.
Алгоритм решения
- Определи вид функции по формуле из условия и сосчитай, сколько в ней неизвестных коэффициентов.
- Найди на графике опорные точки с целыми координатами. Удобнее всего точки на осях, вершина параболы и точки пересечения с сеткой.
- Используй «бесплатные» точки. Показательная функция $a^x$ проходит через $(0;\ 1)$, логарифмическая $\log_a x$ — через $(1;\ 0)$. Если график сдвинут, сдвигается и эта точка, и по сдвигу сразу виден параметр.
- Подставь точки в формулу и реши систему. Для прямой: $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Для параболы с известной вершиной удобна запись $f(x) = a(x - x_0)^2 + y_0$.
- Ответь на вопрос задачи. Посчитай значение в нужной точке или приравняй две формулы и реши уравнение.
- Сверься с рисунком. Найденная точка пересечения должна лежать примерно там, где графики пересекаются на картинке.
Разбор примеров
Пример 1. График линейной функции $f(x)$ проходит через точки $(-1;\ 4)$ и $(1;\ 0)$, график линейной функции $g(x)$ — через точки $(0;\ -4)$ и $(2;\ 2)$. Найдите абсциссу точки пересечения этих графиков.
Решение:
Шаг 1. Угловой коэффициент первой прямой:
$$k_1 = \frac{0 - 4}{1 - (-1)} = -2.$$Подставляем точку $(1;\ 0)$ в $y = -2x + b$: $0 = -2 + b$, $b = 2$. Итак, $f(x) = -2x + 2$.
Шаг 2. Вторая прямая проходит через $(0;\ -4)$, значит $b = -4$. Угловой коэффициент:
$$k_2 = \frac{2 - (-4)}{2 - 0} = 3.$$Итак, $g(x) = 3x - 4$.
Шаг 3. Приравниваем:
$$-2x + 2 = 3x - 4 \quad \Rightarrow \quad 5x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 1{,}2.$$Абсцисса пересечения не целая, и это нормально: на рисунке пересечение обычно не попадает в узел сетки, поэтому ответ и нельзя прочитать «на глаз».
Ответ: 1,2
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. График функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ имеет вершину в точке $(2;\ -3)$ и пересекает ось $Oy$ в точке $(0;\ 1)$. Найдите $f(7)$.
Решение:
Шаг 1. Вершина известна, поэтому записываем параболу в виде с выделенным полным квадратом:
$$f(x) = a(x - 2)^2 - 3.$$Шаг 2. Подставляем точку $(0;\ 1)$:
$$1 = a \cdot 4 - 3 \quad \Rightarrow \quad a = 1.$$Значит, $f(x) = (x - 2)^2 - 3 = x^2 - 4x + 1$. Ветви направлены вверх, как и должно быть при вершине ниже точки пересечения с осью $Oy$.
Шаг 3. Считаем:
$$f(7) = (7 - 2)^2 - 3 = 25 - 3 = 22.$$Ответ: 22
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. График функции $f(x) = \log_a(x + b)$ проходит через точки $(-1;\ 0)$ и $(2;\ 2)$. Найдите $f(30)$.
Решение:
Шаг 1. Логарифм равен нулю только тогда, когда его аргумент равен $1$. Из точки $(-1;\ 0)$:
$$-1 + b = 1 \quad \Rightarrow \quad b = 2.$$Это тот самый сдвиг опорной точки $(1;\ 0)$ графика $y = \log_a x$ на $2$ единицы влево.
Шаг 2. Из точки $(2;\ 2)$:
$$\log_a(2 + 2) = 2 \quad \Rightarrow \quad a^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad a = 2,$$так как основание логарифма положительно. Итак, $f(x) = \log_2(x + 2)$.
Шаг 3. Считаем:
$$f(30) = \log_2 32 = 5.$$Ответ: 5
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Берут неточные точки. Точка, которая лежит «где-то рядом с узлом», даёт неверные коэффициенты. Используй только точки, через которые график проходит ровно по узлам сетки.
- Путают направление сдвига. В $f(x - 3)$ график сдвинут вправо, а в $f(x + 2)$ — влево. Внутри аргумента всё работает наоборот.
- Теряют знак углового коэффициента. Если прямая идёт вниз слева направо, $k < 0$. Проверяй знак по рисунку.
- Не пользуются опорными точками. Для показательной и логарифмической функций точки $(0;\ 1)$ и $(1;\ 0)$ (с учётом сдвига) сразу дают один из параметров.
- Отвечают координатой не той оси. «Абсцисса» — это $x$, «ордината» — $y$.
Что повторить
- Прямая: Уравнение прямой по двум точкам.
- Парабола: Коэффициенты a, b и c: что каждый из них значит и Вершина параболы.
- Гипербола и корень: Отрицательный целый показатель: гиперболы и обратные зависимости и Дробный (рациональный) показатель: корни и степенные законы.
- Показательная функция: График показательной функции.
- Логарифмическая функция: График как зеркало показательной функции.
- Сдвиги: Параллельный перенос: сдвиги по вертикали и горизонтали.
Где потренироваться
- Практика по линейной функции
- Практика по квадратичной функции
- Практика по степенной функции
- Практика по показательной функции
- Практика по логарифмической функции
- Практика по преобразованиям графиков
Соседние задания: задание 11 — текстовые задачи и задание 13 — финансовые и текстовые задачи. Графики функций понадобятся и во второй части, в задании 19 с параметром. Все задания собраны на странице ЕГЭ по математике.