Что проверяет задание 19
Задание 19 — задача с параметром, одна из двух самых дорогих во второй части: максимум 4 первичных балла. По проекту КИМ 2027 года это бывшее задание 18. Нужно найти все значения параметра $a$, при которых уравнение, неравенство или система имеет заданное число решений или решения с заданным свойством. Решение оценивается по шагам: частичные баллы дают даже тогда, когда ответ получен не полностью. Поэтому начинать эту задачу стоит всем, кто нацелен на высокий балл.
Что нужно уметь:
- строить графики элементарных функций и преобразовывать их: сдвиг, отражение, модуль;
- читать число решений по числу точек пересечения графиков;
- исследовать квадратный трёхчлен: дискриминант, теорема Виета, положение вершины;
- пользоваться свойствами функций: монотонностью, ограниченностью, чётностью;
- аккуратно разбирать граничные значения параметра.
Как выглядит задание
Типичные формулировки (наши аналоги):
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $|x^2 - 4| = a$ имеет ровно четыре различных корня.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $x^2 + 2x - a = 0$ имеет на отрезке $[-3;\,2]$ ровно один корень.
Алгоритм решения
- Понять, что спрашивают: число корней, наличие решений, корни на промежутке, единственность.
- Попробовать выразить параметр: $a = f(x)$. Если получилось, строй график $y = f(x)$ и двигай горизонтальную прямую $y = a$. Это графический метод, и он работает чаще остальных.
- Если выразить не получается, ищи другую удобную картинку: семейство прямых через фиксированную точку, окружности, сдвиги графика вдоль оси. Или работай аналитически: для квадратного трёхчлена используй дискриминант, теорему Виета и положение вершины.
- Отметить особые положения: касание, прохождение через концы отрезка, через вершину, через выколотые точки. Именно на них меняется число решений.
- Разобрать каждое граничное значение отдельно. Входит ли конец промежутка в ответ, решает подстановка.
- Собрать ответ из промежутков и отдельных точек.
Разбор примеров
Пример 1. Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $|x^2 - 4| = a$ имеет ровно четыре различных корня.
Шаг 1. График левой части. Строим параболу $y = x^2 - 4$ с вершиной $(0;\,-4)$ и нулями $x = \pm 2$. Часть графика ниже оси $Ox$ отражаем вверх. Получается «W»: нули в точках $x = \pm 2$ и «горб» с вершиной $(0;\,4)$ между ними.
Шаг 2. Двигаем прямую $y = a$:
- $a < 0$: пересечений нет, корней 0;
- $a = 0$: прямая касается графика в точках $x = \pm 2$, корней 2;
- $0 < a < 4$: прямая пересекает обе ветви и горб, корней 4;
- $a = 4$: прямая проходит через вершину горба и пересекает две внешние ветви, корней 3;
- $a > 4$: прямая выше горба, корней 2.
Шаг 3. Проверка граничного случая. При $a = 4$ получаем $x^2 - 4 = 4$ или $x^2 - 4 = -4$, то есть $x = \pm 2\sqrt{2}$ или $x = 0$. Корней три, поэтому $a = 4$ в ответ не входит.
Ответ: $a \in (0;\,4)$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $x^2 - 2ax + a + 6 = 0$ имеет два различных положительных корня.
Работаем аналитически. Два различных положительных корня есть тогда и только тогда, когда выполнены три условия.
Шаг 1. Два различных корня: $\dfrac{D}{4} = a^2 - (a + 6) > 0$, то есть $a^2 - a - 6 > 0$ и $(a - 3)(a + 2) > 0$. Отсюда $a < -2$ или $a > 3$.
Шаг 2. Оба корня положительны. По теореме Виета сумма корней $x_1 + x_2 = 2a > 0$ и произведение $x_1 x_2 = a + 6 > 0$. Отсюда $a > 0$ и $a > -6$.
Шаг 3. Пересечение условий: ($a < -2$ или $a > 3$), $a > 0$, $a > -6$. Всем трём условиям удовлетворяют только $a > 3$.
Проверка: при $a = 4$ уравнение $x^2 - 8x + 10 = 0$ имеет корни $4 \pm \sqrt{6}$, и оба положительны. При $a = 3$ корень один ($x = 3$), так что граница не входит.
Ответ: $a \in (3;\,+\infty)$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $x^2 + 2x - a = 0$ имеет на отрезке $[-3;\,2]$ ровно один корень.
Шаг 1. Выражаем параметр: $a = x^2 + 2x$. Число корней на отрезке равно числу точек пересечения прямой $y = a$ с графиком $y = x^2 + 2x$ при $x \in [-3;\,2]$.
Шаг 2. Ключевые точки графика на отрезке: вершина $(-1;\,-1)$, левый конец $f(-3) = 9 - 6 = 3$, правый конец $f(2) = 4 + 4 = 8$. Слева от вершины функция убывает от 3 до $-1$, справа возрастает от $-1$ до 8.
Шаг 3. Двигаем прямую $y = a$:
- $a < -1$: пересечений нет;
- $a = -1$: одна точка, вершина $x = -1$;
- $-1 < a \le 3$: две точки, по одной на каждой ветви (при $a = 3$ это $x = -3$ и $x = 1$, и оба лежат в отрезке);
- $3 < a \le 8$: левая ветвь на отрезке до такой высоты не доходит, остаётся одна точка на правой ветви;
- $a > 8$: пересечений нет.
Шаг 4. Граничные значения. При $a = 3$ корней два, значит, 3 не входит. При $a = 8$ корни $x = 2$ и $x = -4$, в отрезке только $x = 2$, значит, 8 входит.
Ответ: $a \in \{-1\} \cup (3;\,8]$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Граничные значения «на глаз». Каждый конец промежутка подставь отдельно: в примере 1 при $a = 4$ корней три, а не четыре.
- Забытая отдельная точка. Значение $a = -1$ в примере 3 не лежит ни в одном промежутке, но входит в ответ. Касания и вершины проверяй всегда.
- Потеря условия на знаки корней. Условие $D > 0$ говорит только о том, что корней два, но ничего не говорит о знаках. Нужны ещё условия на сумму и произведение корней (или на вершину и значения на концах).
- Неточный график. Графический метод работает, только если на рисунке верны ключевые точки: вершины, нули, значения на концах. Подпиши их числами.
- Ответ без обоснования. За один только верный ответ полного балла не будет. Каждое изменение числа корней нужно объяснить.
Что повторить
Честно о пробеле: отдельного урока по задачам с параметром на сайте пока нет. Не разобраны графический метод в координатах $(x;\,a)$, расположение корней квадратного трёхчлена и число решений системы. Отдельные приёмы есть в этих разделах:
- Параллельный перенос: сдвиги графиков — основа для «движущейся прямой».
- Модуль: два разных трюка — как построить $|f(x)|$, как в примере 1.
- Графическая интерпретация: сколько вообще корней? — подсчёт решений по точкам пересечения.
- Метод монотонности — доказательство единственности корня.
- Неравенство с параметром-основанием.
- Вершина параболы — как в примере 3.
Дискриминант и теорема Виета, нужные в примере 2, разобраны в уроках базового курса: Дискриминант и формула корней и Теорема Виета.
Где потренироваться
- Практика по преобразованиям графиков.
- Практика по комбинированным уравнениям.
- Практика по показательным неравенствам.
- Практика по квадратичной функции.
Соседние задания: задание 12, графики функций — там тренируется чтение графиков. Дальше задание 18, планиметрия и задание 20, числа и их свойства.