Первообразная 🔄

Двенадцать уроков подряд мы шли в одну сторону. Была функция — получали производную. Был закон движения — получали скорость. Была функция потерь — получали градиент. Стрелка всегда смотрела вправо: $f \to f'$.

А теперь представь, что тебе дали только правый конец. Датчик в телефоне меряет ускорение — а нужна траектория. Логи сервера показывают, сколько запросов приходит в секунду, — а руководителю нужен график накопленного трафика. Эконометрическая модель выдаёт темп роста выручки — а планировать надо саму выручку. В каждой из этих задач известна скорость изменения, а нужна сама величина. Стрелку надо развернуть.

Функция, которую мы при этом ищем, называется первообразной. Определение у неё обманчиво простое: $F$ — первообразная для $f$, если $F' = f$. То есть первообразная — это ответ на вопрос «что надо продифференцировать, чтобы получилось вот это». Вся сложность прячется не в определении, а в двух вещах: ответ никогда не единственный, и находить его несопоставимо труднее, чем дифференцировать.

Зато у обратной задачи есть подарок, которого нет ни у одной другой темы курса: любой свой ответ ты можешь проверить сам, и проверка стопроцентно надёжна. Нашёл первообразную — продифференцируй её. Получил исходную функцию — ответ верный, спорить не о чем. Ни в тригонометрии, ни в логарифмах, ни в задачах на экстремум такой роскоши нет. Держи этот факт в голове весь урок: он превращает «угадывание» в законный метод.

🎯 Ты узнаешь:

• Почему обратная операция в математике почти всегда сложнее прямой — и как это выглядит на паре «производная ↔ первообразная»
• Что такое первообразная, как её проверить за десять секунд и почему проверка — главный инструмент этой темы
• Почему первообразных бесконечно много, почему все они отличаются ровно на константу и почему в этой теореме слово «промежуток» стоит не для красоты
• Полную таблицу первообразных — вывернутую наизнанку таблицу производных из урока 138, вместе с загадочным модулем в $\ln|x|$
• Правила суммы, константы и линейной подстановки $f(kx+b)$ — и честный список того, чего у первообразных нет
• Как из бесконечного семейства выбрать одну-единственную функцию по начальному условию — и как этим восстанавливают закон движения по ускорению
• Где обратный ход реально работает в ML: плотность и функция распределения, нормировка, логистическая функция и знаменитый интеграл, который не берётся

История: откуда это взялось?

Задача «восстановить величину по скорости её изменения» старше самого понятия производной. В 1630-х годах Бонавентура Кавальери, ученик Галилея, считал площади фигур методом «неделимых»: он мысленно разрезал фигуру на бесконечно тонкие полоски и складывал их. Работало это на удивление хорошо — Кавальери получил результат, эквивалентный формуле для площади под кривыми $y = x^n$ вплоть до $n = 9$, — но обоснования не было никакого, и коллеги-иезуиты обвиняли его чуть ли не в ереси. Примерно тогда же Пьер Ферма и Жиль Роберваль решали похожие задачи своими способами, а Эванджелиста Торричелли нашёл фигуру бесконечной длины с конечным объёмом и сам не поверил результату.

Всё это были разрозненные трюки, пока в 1660-х Исаак Барроу — учитель Ньютона в Кембридже — не заметил, что задача о касательной и задача о площади связаны между собой обратной зависимостью. Барроу сформулировал это геометрически и, кажется, не вполне осознал масштаб находки. Осознали двое: Исаак Ньютон около 1666 года и Готфрид Вильгельм Лейбниц около 1675-го, независимо друг от друга. Ньютон назвал свою конструкцию «флюентой» — величиной, которая течёт, — а её скорость «флюксией»; его задача формулировалась именно как обратная: по флюксии найти флюенту. Лейбниц 29 октября 1675 года впервые записал вытянутую букву $S$ — знак суммы, который мы сегодня знаем как знак интеграла.

Дальше началась одна из самых некрасивых историй в математике: тридцатилетний спор о приоритете, взаимные обвинения в плагиате, комиссия Королевского общества, председателем которого был сам Ньютон, и её предсказуемый вердикт в пользу Ньютона. Проиграли обе стороны и особенно Англия: континентальная Европа писала на удобных обозначениях Лейбница и ушла вперёд на целый век. А термин «первообразная функция» (fonction primitive) ввёл уже Жозеф Луи Лагранж в 1797 году в «Теории аналитических функций» — он пытался построить весь анализ вообще без бесконечно малых, через разложения в ряды. Построить не вышло, а слово осталось.

Обратная задача: от скорости к пути

Интуиция: все обратные операции устроены одинаково

Давай разберёмся с общей картиной, прежде чем лезть в формулы. В математике почти каждая операция имеет обратную, и между ними всегда одна и та же асимметрия.

Возвести $7$ в квадрат — это пять секунд и никаких раздумий: $49$. Извлечь корень из $49$ — тоже легко, но уже появляются нюансы: квадратов два ($7$ и $-7$), а из $50$ корень не выражается «красиво». Возвести $e$ в степень — механическая операция. Взять логарифм — обратная, и она порождает целый раздел со своими свойствами и таблицами. Перемножить два больших простых числа — задача на минуту. Разложить произведение обратно на множители — задача, на сложности которой держится половина мировой криптографии.

Закономерность железная: прямая операция — алгоритм, обратная — поиск. Прямая всегда даёт ответ, обратная может не дать вовсе. Прямая однозначна, обратная — почти никогда.

Дифференцирование и его обращение подчиняются ровно этому правилу. Продифференцировать можно всё, что ты сумеешь записать: есть таблица (урок 138), есть правила суммы, произведения, частного (урок 136) и цепное правило (урок 137). Собираешь их как конструктор и через десять строк получаешь ответ. Гарантированно. Обратно — никаких гарантий: правил меньше, они слабее, а для многих совершенно безобидных на вид функций ответа в элементарных функциях просто не существует.

Мотивация: разворачиваем урок 135

В уроке 135 мы разбирали физический смысл производной и построили цепочку:

Читать её слева направо мы научились. Но в реальной физике и в реальной инженерии чаще известен именно правый конец. Акселерометр в смартфоне меряет ускорение — координаты он не знает. Двигатель ракеты создаёт известную тягу, то есть известное ускорение, — а инженеру нужна траектория. Датчик расхода воды меряет литры в секунду — а счётчик должен показать кубометры за месяц.

Теперь та же цепочка справа налево:

И сразу вылезает содержательная деталь. Зная только ускорение, координату восстановить невозможно. Ускорение свободного падения одинаково у камня, который ты уронил с балкона, и у камня, который бросили вверх с земли, — а траектории у них разные. Не хватает информации о начальном состоянии: где тело было и с какой скоростью двигалось в стартовый момент. Эта нехватка — не дефект метода, а точное отражение физики. И, как ты сейчас увидишь, математика описывает её ровно одной буквой: постоянной $C$.

Почему это важно

Разворот стрелки — это не просто «ещё один тип задач». Это вторая половина математического анализа, без которой первая наполовину бесполезна. Производная отвечает на вопрос «как быстро меняется», первообразная — на вопрос «сколько накопилось». Одна описывает мгновение, другая — итог. Физика, экономика, теория вероятностей и обработка сигналов постоянно ходят между этими двумя описаниями, и умение переводить в обе стороны — это и есть владение анализом.

Определение первообразной

Интуиция: детектив, у которого есть только след

Представь, что тебе показали отпечаток протектора и просят назвать машину. Ты не выводишь ответ по формуле — ты перебираешь известные протекторы, пока не найдёшь совпадающий. Именно так работает поиск первообразной: ты вспоминаешь, что даёт при дифференцировании нужное выражение, и предъявляешь кандидата. А потом — и это принципиально — сверяешь: дифференцируешь кандидата и смотришь, получился ли исходный след.

Определение: функция $F$ называется первообразной для функции $f$ на промежутке $I$, если $F$ дифференцируема в каждой точке этого промежутка и

$$F'(x) = f(x) \quad \text{для всех } x \in I.$$

Три вещи в этом определении стоит проговорить отдельно.

Первая: направление. Первообразная — та, которую дифференцируют; исходная функция — та, которая получается. Начинающие путают их местами примерно раз в три задачи. Мнемоника: первообразная «первее», она стоит раньше в цепочке $F \to f$.

Вторая: промежуток. Первообразная всегда определяется на промежутке — отрезке, интервале, полуоси, всей прямой. Не на «множестве вообще». Дальше ты увидишь, что стоит выкинуть из области одну точку — и главная теорема темы ломается.

Третья, и самая полезная: проверка — это всегда дифференцирование. Никакого другого способа убедиться в правильности ответа не требуется. Нашёл $F$ — посчитай $F'$. Совпало с $f$ — верно. Не совпало — неверно. Эта проверка занимает секунды и не зависит от того, как ты добыл ответ: вывел, вспомнил или угадал.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Является ли $F(x) = x^4$ первообразной для $f(x) = 4x^3$ на $\mathbb{R}$?

Дифференцируем: $F'(x) = (x^4)' = 4x^3$. Совпало с $f(x)$ во всех точках. Да, является.

Заметь, как устроен ответ: мы не «искали» — мы проверяли. Проверка всегда проще поиска, и это ещё одна грань той же асимметрии.

Пример 2 (средний). Является ли $F(x) = \dfrac{\sin 3x}{3}$ первообразной для $f(x) = \cos 3x$?

Здесь работает цепное правило из урока 137:

Тройка из внутренней производной сократилась с тройкой в знаменателе. Да, является. А вот $F(x) = \sin 3x$ первообразной не была бы: её производная равна $3\cos 3x$ — втрое больше нужного. Коэффициент $\frac13$ поставлен именно для того, чтобы погасить лишнюю тройку; чуть ниже это станет отдельным правилом.

Пример 3 (сложный). Является ли $F(x) = x\ln x - x$ первообразной для $f(x) = \ln x$?

Первое слагаемое — произведение, работает правило из урока 136:

Тогда

Да, является — но только на промежутке $(0; +\infty)$, потому что вне его нет ни $\ln x$, ни самой $F$. Это, кстати, отличная иллюстрация того, что первообразная бывает устроена заметно сложнее исходной функции: $f$ — одна элементарная функция, а $F$ — комбинация из трёх кусков. Догадаться до такого ответа с нуля почти нереально; проверить — тривиально.

Почему это важно

Пара «трудно найти, легко проверить» — это фундаментальная структура, далеко выходящая за пределы анализа. Ровно на ней стоит вся современная криптография: разложить число на множители трудно, перемножить — легко. Ровно она формализована в информатике как класс NP: решение проверяется быстро, ищется долго. Первообразная — самый ранний пример такой пары, который встречается в школьном курсе, и правильная привычка здесь — проверять всегда, даже когда ты уверен. Дифференцирование в этой теме работает бесплатным автоматическим тестом на твой собственный ответ.

Сколько первообразных у одной функции

Интуиция: сдвинутые копии одного графика

Возьмём $f(x) = 2x$ и поищем первообразные. Годится $F(x) = x^2$. А ещё $x^2 + 1$: производная константы равна нулю, так что $(x^2+1)' = 2x$ — тоже годится. И $x^2 - 7$, и $x^2 + \sqrt{2}$, и $x^2 + 10^{100}$.

Первообразных бесконечно много. Причём геометрически они устроены очень наглядно: графики $y = x^2 + C$ при разных $C$ — это одна и та же парабола, сдвинутая по вертикали. В любой точке $x_0$ у всех этих кривых одинаковый наклон касательной, потому что вертикальный сдвиг наклон не меняет. Семейство параллельных кривых, заполняющее плоскость без просветов и без пересечений: через каждую точку плоскости проходит ровно одна кривая семейства.

Естественный вопрос: а других первообразных, кроме сдвигов, нет? Не может ли найтись какая-нибудь экзотическая функция с той же производной $2x$, но не имеющая вида $x^2 + C$? Ответ — нет, и это главная теорема урока.

Теорема (основное свойство первообразных): если $F$ и $G$ — две первообразные одной и той же функции $f$ на промежутке $I$, то их разность постоянна:

$$F(x) - G(x) = C \quad \text{для всех } x \in I.$$

Следовательно, если $F$ — какая-нибудь одна первообразная для $f$, то все первообразные $f$ на $I$ задаются формулой $F(x) + C$, где $C$ пробегает все действительные числа.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию $H(x) = F(x) - G(x)$ на промежутке $I$. Обе функции дифференцируемы, значит дифференцируема и разность, и по правилу из урока 136

Осталось сослаться на факт из урока 140: если производная функции равна нулю на всём промежутке, то функция на этом промежутке постоянна. Значит, $H(x) = C$, то есть $F(x) - G(x) = C$. $\blacksquare$

Доказательство занимает три строки, и вся его содержательная часть спрятана в той теореме о нулевой производной. Она, в свою очередь, опирается на теорему Лагранжа о среднем: для любых двух точек $x_1 < x_2$ промежутка найдётся точка $c$ между ними, где $H(x_2) - H(x_1) = H'(c)(x_2 - x_1) = 0$, откуда $H(x_2) = H(x_1)$ — значения совпадают в любых двух точках, то есть функция постоянна.

Почему слово «промежуток» здесь критично

А вот теперь — самое интересное место темы, которое учебники часто проскакивают. Теорема Лагранжа требует, чтобы между точками $x_1$ и $x_2$ функция была определена и дифференцируема везде. Если в области зияет дыра, соединить точки по разные стороны от неё нечем, и вывод рушится.

Разберём каноничный пример. Пусть $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$. Её естественная область — множество $x \neq 0$, то есть две отдельные полуоси, а не один промежуток. Рассмотрим функцию

Продифференцируй её на каждом куске: и слева, и справа получится $\dfrac{1}{x^2}$. То есть $H$ — честная первообразная для $f$ на всём множестве $x \neq 0$. Но она не имеет вида $-\frac1x + C$ с одной константой: на левой полуоси константа равна $5$, на правой $-3$. Разность двух таких первообразных — уже не число, а функция, принимающая два разных значения.

Мораль: формула «все первообразные = $F + C$» верна на промежутке. Если область распадается на несколько кусков, своя константа полагается каждому куску. Это не педантизм: та же самая ловушка ждёт в задачах с $\ln|x|$, с $\operatorname{tg} x$, с любой функцией, у которой есть вертикальные асимптоты.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Найди все первообразные для $f(x) = 3x^2$ на $\mathbb{R}$.

Подбираем одну: $(x^3)' = 3x^2$, годится $F(x) = x^3$. Область — вся прямая, это промежуток, теорема применима. Ответ: $x^3 + C$, $C \in \mathbb{R}$.

Пример 2 (средний). Функции $F(x) = \sin^2 x$ и $G(x) = -\dfrac{\cos 2x}{2}$ — первообразные одной и той же функции. Найди их разность.

Проверим обе. $F'(x) = 2\sin x\cos x = \sin 2x$ (цепное правило плюс формула двойного угла из урока 98). $G'(x) = -\frac12 \cdot (-\sin 2x)\cdot 2 = \sin 2x$. Действительно, обе — первообразные для $\sin 2x$ на всей прямой.

По теореме разность обязана быть постоянной. Проверяем прямым счётом:

Ответ: $F - G = \frac12$. Теорема сработала — и заодно объяснила, почему два разных на вид ответа в задачнике могут быть оба верными. Такое случается постоянно: если твой ответ отличается от книжного на константу, оба правильные.

Пример 3 (сложный). Сколько первообразных у функции $f(x) = \dfrac{1}{x}$ на множестве $x \neq 0$, и как они выглядят?

Область распадается на два промежутка: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. На каждом действует своя константа:

где $C_1$ и $C_2$ независимы. Компактно это записывают как $\ln|x| + C$ — но такая запись честно описывает семейство только на одном промежутке; на объединении двух полуосей констант всё-таки две. Ответ: двухпараметрическое семейство, по константе на каждую полуось.

Почему это важно

Постоянная $C$ — это не формальность и не «то, что просят дописать учителя». Это ровно та информация, которая теряется при дифференцировании и которую нельзя восстановить из производной ни при каких условиях. Производная стирает уровень: сдвинь график вверх на миллион — производная не изменится. Поэтому одной производной для восстановления функции всегда мало, и всегда нужно ещё одно условие извне: начальная координата, начальный капитал, значение в конкретной точке. В машинном обучении та же логика: зная только градиент функции потерь, ты можешь двигаться в правильную сторону, но само значение лосса из градиента не восстановишь.

Таблица первообразных

Хорошая новость: отдельно учить эту таблицу не надо. Она получается разворотом таблицы производных из урока 138 — читаешь строку справа налево, и всё. Плохая новость: разворот не всегда прямой, и в трёх строках прячутся тонкости.

Все первообразные ниже указаны с точностью до постоянной $C$ и на промежутке, где обе функции определены.

Третий столбец — не украшение. Это и есть доказательство каждой строки: чтобы проверить любую из них, достаточно продифференцировать то, что стоит во втором столбце. Давай сделаем это вслух для нескольких.

Степенная строка. Проверяем $\left(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right)'$. Константа $\frac{1}{n+1}$ выносится, производная $x^{n+1}$ равна $(n+1)x^n$, итого $\frac{(n+1)x^n}{n+1} = x^n$ ✅ Правило запоминается словами: степень увеличиваем на единицу и делим на новую степень. Ровно наоборот к дифференцированию, где степень уменьшалась и выносилась множителем.

Почему $n = -1$ выпадает. Подставь $n = -1$ в формулу — в знаменателе получится $n+1 = 0$. Деление на ноль, формула бессмысленна. Это не «исключение, которое надо запомнить», а прямое следствие того, что при дифференцировании $x^0 = 1$ множитель $0$ обнуляет всё: никакая степень $x$ не даёт производную $\frac1x$. Ответ приходит из совсем другого семейства функций — логарифмов. Красивая иллюстрация того, что обратная операция может выкидывать тебя из класса функций, с которого ты начал.

Почему модуль в $\ln|x|$. Функция $\frac1x$ определена и при отрицательных $x$, а $\ln x$ — нет. Если написать просто $\ln x$, то на левой полуоси первообразной не окажется вовсе, хотя сама $f$ там прекрасно живёт. Модуль эту дыру закрывает. Проверим на отрицательной полуоси: при $x < 0$ имеем $|x| = -x$, и по цепному правилу

Множитель $-1$ из внутренней производной сокращается с минусом в знаменателе, и ответ получается тот же, что справа. Одна формула честно работает на обеих полуосях — при обязательной оговорке из предыдущего раздела, что константы на них независимы.

Строка с корнем. $(2\sqrt x)' = 2\cdot\frac{1}{2\sqrt x} = \frac{1}{\sqrt x}$ ✅ Её можно не запоминать отдельно: $\frac{1}{\sqrt x} = x^{-1/2}$, применяем степенное правило, получаем $\frac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt x$. Тот же приём годится для любого корня: $\sqrt x = x^{1/2} \to \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac23 x\sqrt x$.

Показательная строка. $\left(\dfrac{a^x}{\ln a}\right)' = \dfrac{a^x \ln a}{\ln a} = a^x$ ✅ У производной $\ln a$ появлялся множителем — у первообразной он уходит в знаменатель. Взаимно обратные операции, взаимно обратные коэффициенты. При $a = e$ имеем $\ln e = 1$, и строка вырождается в $e^x \to e^x$: единственная функция курса, которая является первообразной самой себе.

Синус и косинус — место, где теряют знак. Смотри внимательно: первообразная синуса — минус косинус, а первообразная косинуса — просто синус, без минуса. Асимметрия наследуется из производных, где минус стоял у косинуса. Проверка: $(-\cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$ ✅ и $(\sin x)' = \cos x$ ✅ Эту пару путают чаще всего во всей таблице, и лечится это одним движением — продифференцировать свой ответ.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Найди общий вид первообразной для $f(x) = x^7$.

Степень плюс один — восемь, делим на восемь: $F(x) = \dfrac{x^8}{8} + C$. Проверка: $\left(\frac{x^8}{8}\right)' = \frac{8x^7}{8} = x^7$ ✅

Пример 2 (средний). Найди первообразную для $f(x) = \dfrac{1}{x^3}$.

Переписываем через степень: $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$. Показатель $-3 \neq -1$, степенное правило работает: новая степень $-2$, делим на неё:

Проверка: $\left(-\frac12 x^{-2}\right)' = -\frac12 \cdot (-2) x^{-3} = x^{-3}$ ✅ Область — каждая из полуосей отдельно, так что формально констант две.

Пример 3 (сложный). Найди первообразную для $f(x) = \sqrt[3]{x^2} \cdot \sqrt{x}$.

Сначала приводим к одной степени: $\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$, $\sqrt x = x^{1/2}$, произведение $= x^{2/3 + 1/2} = x^{7/6}$.

Теперь степенное правило: новая степень $\frac76 + 1 = \frac{13}{6}$, делим на неё:

Проверка: $\left(\frac{6}{13}x^{13/6}\right)' = \frac{6}{13}\cdot\frac{13}{6}x^{7/6} = x^{7/6}$ ✅ Мораль: перед поиском первообразной выражение стоит упростить до одной степени. Половина «трудных» примеров этой темы становится табличными после честной работы со степенями.

Почему это важно

Эта таблица — рабочий инструмент на всю оставшуюся математику. Она понадобится в уроке 146 для неопределённого интеграла, в уроках 147–149 для площадей, в уроке 150 для физики, а в университетском курсе — для дифференциальных уравнений, рядов и теории вероятностей. Выучить её отдельно от таблицы производных было бы вдвое дороже; выучить как её отражение — почти бесплатно. И держи в голове: каждую строку ты можешь восстановить сам за пять секунд, продифференцировав правый столбец. Забытая формула — не катастрофа, а десять секунд работы.

Правила: сумма, константа и линейная подстановка

Правил у первообразных заметно меньше, чем у производных, и это стоит проговорить сразу. Их ровно три.

Теорема (правила нахождения первообразных): пусть $F$ — первообразная для $f$, а $G$ — первообразная для $g$ на промежутке $I$. Тогда:

1. $F + G$ — первообразная для $f + g$ (первообразная суммы = сумма первообразных);
2. $kF$ — первообразная для $kf$ при любом числе $k$ (постоянный множитель выносится);
3. если $k \neq 0$, то $\dfrac{1}{k}F(kx+b)$ — первообразная для $f(kx+b)$ (линейная подстановка).

Доказательства всех трёх — прямое дифференцирование.

Первое: $(F+G)' = F' + G' = f + g$ ✅ (правило суммы из урока 136).

Второе: $(kF)' = kF' = kf$ ✅ (вынесение множителя, оттуда же).

Третье — цепное правило из урока 137. Дифференцируем композицию: внешняя функция $F$, внутренняя $kx+b$, производная внутренней равна $k$:

Множитель $\frac1k$ поставлен ровно для того, чтобы погасить $k$, вылезающий из цепного правила. Разность правил два и три стоит прочувствовать: $k$ перед функцией просто переносится, $k$ внутри аргумента при обращении становится делителем.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Найди первообразную для $f(x) = 6x^2 - 4\sin x + 5$.

Разбиваем на слагаемые, из каждого выносим коэффициент:

Проверка: $(2x^3)' = 6x^2$, $(4\cos x)' = -4\sin x$, $(5x)' = 5$ ✅ Обрати внимание на знак у косинуса: минус на минус дал плюс, и это то самое место, где половина решающих теряет знак.

Пример 2 (средний). Найди первообразную для $f(x) = e^{3x-1}$.

Внутри линейная функция $3x - 1$, работает третье правило. Первообразная для $e^u$ — это $e^u$, коэффициент при $x$ равен $3$, значит делим на три:

Проверка: $\left(\frac13 e^{3x-1}\right)' = \frac13 e^{3x-1}\cdot 3 = e^{3x-1}$ ✅

Пример 3 (сложный). Найди первообразную для $f(x) = \dfrac{4}{\sqrt{2x+5}} + \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)$.

Первое слагаемое: выносим четвёрку, табличная первообразная для $\frac{1}{\sqrt u}$ — это $2\sqrt u$, коэффициент при $x$ внутри равен $2$, значит ещё делим на два:

Второе слагаемое: первообразная косинуса — синус, коэффициент при $x$ равен $\frac12$, делить надо на $\frac12$, то есть умножать на $2$:

Итого $F(x) = 4\sqrt{2x+5} + 2\sin\frac{x}{2} + C$. Проверка первого слагаемого: $\left(4(2x+5)^{1/2}\right)' = 4\cdot\frac12 (2x+5)^{-1/2}\cdot 2 = \frac{4}{\sqrt{2x+5}}$ ✅ Второго: $\left(2\sin\frac x2\right)' = 2\cos\frac x2 \cdot \frac12 = \cos\frac x2$ ✅

Почему это важно

Правило линейной подстановки закрывает подавляющее большинство школьных и вузовских задач начального уровня, и именно оно чаще всего применяется неправильно — с забытым делением на $k$. Держи в голове ключевое ограничение: правило работает только когда внутри линейная функция $kx+b$. Для $\sin(x^2)$, $e^{x^2}$, $\sqrt{x^3+1}$ никакого «поделить на производную внутренней» не существует, потому что производная внутренней там не константа и вынести её за скобки невозможно. Более общий приём — замена переменной — появится в уроке 146.

Чего у первообразных нет: главная асимметрия анализа

Пора сказать неприятную правду, которую учебники обычно откладывают.

У первообразных нет правила произведения. Первообразная от $f\cdot g$ не равна $F \cdot G$. Проверить это можно за одну строку. Возьми $f(x) = g(x) = x$. Тогда $F = G = \frac{x^2}{2}$, произведение $F\cdot G = \frac{x^4}{4}$, его производная равна $x^3$, а вовсе не $f g = x^2$. Не сходится, и никаким подбором коэффициента не исправляется.

У первообразных нет правила частного. По той же причине и с тем же способом опровержения.

У первообразных нет правила композиции. Первообразная от $f(g(x))$ не выражается через $F$ и $g$ никакой универсальной формулой. Линейная подстановка — единственный частный случай, который спасается, и спасается только потому, что производная линейной функции постоянна.

Сравни списки. Дифференцирование: сумма ✅, разность ✅, произведение ✅, частное ✅, композиция ✅, обратная функция ✅. Первообразная: сумма ✅, константа ✅, всё остальное ❌. Это и есть асимметрия, о которой шла речь в начале урока, в самом голом виде.

И последствие у неё куда серьёзнее, чем «задачи будут сложнее». Существуют элементарные функции, у которых первообразная не выражается через элементарные функции вообще. Канонический пример:

Функция гладкая, определена везде, задаётся одной короткой формулой. Первообразная у неё существует — это доказывается общей теоремой (любая непрерывная функция имеет первообразную), и её график можно нарисовать. Но записать эту первообразную через $x$, корни, дроби, степени, логарифмы, тригонометрию и их композиции невозможно. Не «пока не придумали», а доказано невозможно: результат принадлежит Жозефу Лиувиллю (1830-е годы), а окончательный алгоритм, определяющий по функции, берётся ли её первообразная в элементарных, построил Роберт Риш в 1968 году.

В том же клубе — $\dfrac{\sin x}{x}$, $\dfrac{1}{\ln x}$, $\sqrt{1 + x^4}$, $\dfrac{e^{x}}{x}$. Все выглядят безобидно, ни у одной нет элементарной первообразной.

Это ровно та причина, по которой для $e^{-x^2}$ математики завели специальную функцию — функцию ошибок $\operatorname{erf}$, — и по которой в любой библиотеке (scipy.special.erf, math.erf, torch.erf) она реализована численно, а не формулой. Чуть ниже станет понятно, почему для ML это не абстрактное неудобство, а ежедневная реальность.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Верно ли, что первообразная для $x\cos x$ равна $\frac{x^2}{2}\sin x$?

Проверяем дифференцированием (правило произведения):

Нет, неверно. Наивное «перемножим первообразные» не работает. Правильный ответ $x\sin x + \cos x$ получается методом интегрирования по частям (урок 146); проверь: $(x\sin x + \cos x)' = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x$ ✅

Пример 2 (средний). Найди первообразную для $f(x) = \dfrac{x+3}{x}$.

Соблазн применить несуществующее «правило частного» велик. Вместо этого — почленное деление:

Теперь это сумма табличных функций: $F(x) = x + 3\ln|x| + C$. Проверка: $1 + \frac3x$ ✅ Общий приём: если дробь мешает — преобразуй её в сумму.

Пример 3 (сложный). Найди первообразную для $f(x) = \sin^2 x$.

Прямого правила для квадрата функции нет. Зато есть формула понижения степени из урока 99:

А это уже сумма табличных: первообразная для $\frac12$ — это $\frac x2$; для $-\frac{\cos 2x}{2}$ по линейной подстановке — это $-\frac12 \cdot \frac12 \sin 2x = -\frac{\sin 2x}{4}$. Итого:

Проверка: $\frac12 - \frac{2\cos 2x}{4} = \frac{1 - \cos 2x}{2} = \sin^2 x$ ✅ Стратегия та же, что и в предыдущем примере: преобразовать выражение в сумму табличных. В отсутствие правил произведения и частного алгебраические преобразования становятся основным оружием.

Почему это важно

Понимание того, что первообразная берётся не всегда, экономит часы бессмысленных попыток. Столкнувшись с $e^{-x^2}$ или $\frac{\sin x}{x}$, грамотный человек не ищет формулу — он сразу переходит к численным методам. И это, между прочим, стандартный инженерный рефлекс: значительная часть вычислительной математики существует ровно потому, что аналитический ответ либо не существует, либо непрактичен.

Задача с начальным условием: выбрать одну кривую из семейства

Первообразных бесконечно много — но в прикладной задаче нужна ровно одна. Дополнительная информация, которая её выбирает, называется начальным условием: обычно это значение искомой функции в одной точке.

Геометрически это выглядит так: у нас есть семейство параллельных кривых, заполняющих плоскость, и нам говорят «возьми ту, что проходит через точку $(x_0; y_0)$». Через каждую точку проходит ровно одна кривая семейства, значит ответ существует и единственен.

Алгоритм из трёх шагов:

1. Найти общий вид первообразной: $F(x) + C$.
2. Подставить координаты точки: $F(x_0) + C = y_0$.
3. Выразить $C$ и записать ответ.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Найди первообразную для $f(x) = 4x^3$, график которой проходит через точку $(1; 5)$.

Шаг 1: общий вид $F(x) = x^4 + C$.

Шаг 2: $F(1) = 1 + C = 5$.

Шаг 3: $C = 4$, значит $F(x) = x^4 + 4$.

Проверка двойная: $F'(x) = 4x^3$ ✅ и $F(1) = 1 + 4 = 5$ ✅ Всегда проверяй оба условия — производную и точку.

Пример 2 (средний). Найди первообразную для $f(x) = \dfrac{1}{x}$, проходящую через точку $(-e; 1)$.

Точка лежит на отрицательной полуоси, значит работаем на промежутке $(-\infty; 0)$ и ответ будет описывать функцию только там.

Общий вид: $F(x) = \ln|x| + C$. Подставляем: $\ln|-e| + C = \ln e + C = 1 + C = 1$, откуда $C = 0$.

Ответ: $F(x) = \ln|x|$ на промежутке $(-\infty; 0)$, то есть $F(x) = \ln(-x)$.

Тонкость: на положительной полуоси эта задача ничего не определяет. Если бы в условии просили функцию на всём множестве $x\neq0$, ответ содержал бы свободную константу для правой полуоси — начальное условие фиксирует константу только на своём промежутке.

Пример 3 (сложный, физический). Тело движется прямолинейно с ускорением $a(t) = 12t - 6$ м/с². В момент $t = 0$ его скорость равна $4$ м/с, а координата $2$ м. Найди закон движения $s(t)$ и координату при $t = 2$ с.

Разворачиваем цепочку урока 135 справа налево, в два прохода — по одному начальному условию на каждый.

Проход 1: от ускорения к скорости. $v$ — первообразная для $a$:

Начальное условие $v(0) = 4$: подставляем $t=0$, получаем $C_1 = 4$. Значит $v(t) = 6t^2 - 6t + 4$.

Проход 2: от скорости к координате. $s$ — первообразная для $v$:

Начальное условие $s(0) = 2$: $C_2 = 2$. Итого

Проверяем всю цепочку: $s'(t) = 6t^2 - 6t + 4 = v(t)$ ✅, $v'(t) = 12t - 6 = a(t)$ ✅, $s(0) = 2$ ✅, $v(0) = 4$ ✅

Координата при $t = 2$: $s(2) = 16 - 12 + 8 + 2 = 14$ м.

Ответ: $s(t) = 2t^3 - 3t^2 + 4t + 2$, $s(2) = 14$ м.

Обрати внимание на бухгалтерию условий: два интегрирования — две константы — два начальных условия. Это общее правило, и в университетском курсе дифференциальных уравнений оно превратится в фразу «уравнение $n$-го порядка требует $n$ начальных условий».

Почему это важно

Задача с начальным условием — это простейшее дифференциальное уравнение, записанное словами: «известна производная, известно значение в точке, найди функцию». Ровно в такой форме формулируется добрая половина прикладных задач: рост популяции по известной скорости роста, накопленный заряд по току, остаток топлива по расходу, накопленная выручка по дневному темпу продаж. И везде повторяется одна и та же логика: производная задаёт форму, начальное условие задаёт уровень.

Первообразная в машинном обучении и статистике

Обратный переход в ML встречается реже, чем градиенты, — но там, где встречается, он определяет всю конструкцию.

Плотность и функция распределения: две стороны одного объекта

Это главный сюжет. В теории вероятностей непрерывную случайную величину описывают двумя функциями.

Плотность вероятности $p(x)$ — та самая «горка», которую рисуют на графиках распределений. Сама по себе она не вероятность: значение $p(3) = 0{,}2$ не означает «вероятность получить $3$ равна $0{,}2$» (вероятность попасть точно в точку у непрерывной величины равна нулю). Плотность — это вероятность на единицу длины, скорость накопления вероятности.

Функция распределения (CDF, cumulative distribution function) $F(x) = P(X \leqslant x)$ — вероятность того, что величина не превысит $x$. Она копит вероятность слева направо: растёт от $0$ до $1$, никогда не убывает.

Связь между ними — ровно предмет этого урока:

Плотность — производная, распределение — первообразная. Всё, что мы обсуждали, работает здесь буквально. Плотность неотрицательна — значит $F$ не убывает (урок 140). Пик плотности — точка максимального роста $F$. А константа $C$ фиксируется начальным условием $F(-\infty) = 0$: вероятность оказаться левее «минус бесконечности» равна нулю.

Пример: экспоненциальное распределение. Плотность $p(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ при $x \geqslant 0$ (модель времени до отказа сервера, до следующего запроса, до распада ядра). Ищем первообразную по правилу линейной подстановки:

Начальное условие $F(0) = 0$ даёт $-1 + C = 0$, то есть $C = 1$:

Проверка: $F'(x) = \lambda e^{-\lambda x} = p(x)$ ✅, $F(0) = 0$ ✅, и при $x\to+\infty$ значение стремится к $1$ ✅ Знаменитая формула получена в три строки первообразной.

Нормировка плотности

Плотность обязана удовлетворять условию полной вероятности: накопленная вероятность по всей области равна единице. Через первообразную это записывается как условие на её значения на концах — и позволяет находить неизвестные коэффициенты.

Пусть плотность имеет вид $p(x) = cx$ на отрезке $[0; 4]$ и ноль вне его. Найдём $c$. Первообразная: $F(x) = \frac{cx^2}{2} + C$. Условия: $F(0) = 0$ даёт $C = 0$; $F(4) = 1$ даёт $\frac{16c}{2} = 8c = 1$, откуда $c = \frac18$. Итого $p(x) = \frac x8$, $F(x) = \frac{x^2}{16}$ на $[0;4]$. Проверка: $F' = \frac{2x}{16} = \frac x8$ ✅, $F(4) = 1$ ✅

Почему нормальное распределение считают численно

Плотность нормального распределения — та самая колокольная кривая:

По сути это $e^{-x^2}$ с точностью до сдвига и растяжения — та самая функция, у которой, как мы разобрали выше, нет элементарной первообразной. Поэтому функцию распределения нормального закона нельзя записать формулой через логарифмы и корни. Её обозначают отдельной буквой $\Phi$ и выражают через функцию ошибок:

А сама $\operatorname{erf}$ вычисляется численно — рядами и рациональными приближениями. Именно поэтому в любой библиотеке есть scipy.stats.norm.cdf, torch.distributions.Normal(...).cdf, math.erf, и все они внутри считают, а не подставляют в формулу. Когда в статье по ML встречается активация GELU — $x\cdot\Phi(x)$, стандартная активация в GPT и BERT, — за буквой $\Phi$ стоит именно эта история: обратный переход существует, но записать его элементарно невозможно. Кстати, популярное приближение GELU через $\operatorname{th}$ придумали ровно ради скорости — чтобы не звать erf на каждом нейроне.

Логистическая функция — первообразная своей собственной комбинации

Красивый факт, который стоит увидеть. Сигмоида $\sigma(x) = \dfrac{1}{1+e^{-x}}$ имеет производную

— формулу, которую знает наизусть каждый, кто писал backpropagation руками. Прочитаем её справа налево: сигмоида является первообразной для функции $\sigma(x)(1-\sigma(x))$. То есть

И это не просто курьёз: $\sigma(x)(1-\sigma(x))$ — плотность логистического распределения, а $\sigma(x)$ — его функция распределения. Та же пара «плотность ↔ CDF», только на другом распределении. Логистическая регрессия, где $\sigma$ переводит логит в вероятность, — это ровно вычисление функции распределения логистического закона. И, в отличие от нормального, здесь всё выражается элементарно — историческая причина, по которой логистическую регрессию считать проще, чем пробит-модель с $\Phi$.

Восстановление величины по скорости изменения: временные ряды

В работе с данными постоянно возникает пара «поток ↔ накопление»: запросов в секунду ↔ всего запросов, новых пользователей в день ↔ размер аудитории, продаж за день ↔ выручка с начала месяца. Дифференцирование переводит накопление в поток, первообразная — обратно.

В дискретном мире, где данные приходят по точкам, а не непрерывной функцией, эти операции выглядят так:

• производная ↔ разность соседних значений (np.diff, метод .diff() в pandas);
• первообразная ↔ накопительная сумма (np.cumsum, метод .cumsum()).

И «постоянная $C$» проявляется абсолютно так же: np.diff уменьшает длину массива на один элемент, и восстановить исходный ряд из разностей без знания первого элемента невозможно. Первый элемент и есть начальное условие. Аналитики, работающие с рядами, ходят между этими представлениями регулярно: сезонность и тренд удобнее ловить на разностях, а бизнес-показатели — на накопленных величинах.

Анонс: не всякий градиент восстановим

В многомерном случае обратная задача приобретает неожиданный поворот. Пусть дано векторное поле — по вектору в каждой точке пространства. Вопрос: существует ли функция, градиентом которой оно является? В одномерном случае ответ всегда «да» (для непрерывной функции первообразная существует всегда), а вот в многомерном — не всегда. Поля, для которых такая функция есть, называются потенциальными, и у них есть проверяемый критерий на равенство смешанных производных. Практический смысл прямой: если алгоритм считает «градиенты», которые не являются градиентом никакой функции, то оптимизировать ему нечего — именно эта проблема отличает обучение GAN и многоагентных систем от обычной минимизации лосса. Подробности — в университетском блоке про частные производные и криволинейные интегралы.

Почему это важно

Первообразная в ML — это в первую очередь мост между «локальным» и «накопленным». Градиент, плотность, скорость, поток — всё это локальные характеристики. Лосс, вероятность, координата, объём — накопленные. Модели обычно устроены так, что учатся на локальном, а отвечать должны в накопленном, и переход между слоями описания делается ровно той операцией, которую ты сегодня изучаешь.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1-10)

Задание 1: Является ли $F(x) = x^3 - 2x + 7$ первообразной для $f(x) = 3x^2 - 2$ на $\mathbb{R}$?

Задание 2: Является ли $F(x) = \cos x$ первообразной для $f(x) = \sin x$? Если нет — исправь.

Задание 3: Является ли $F(x) = x\ln x - x$ первообразной для $f(x) = \ln x$? Укажи промежуток.

Задание 4: Является ли $F(x) = \dfrac{(2x+1)^3}{3}$ первообразной для $f(x) = (2x+1)^2$? Если нет — исправь.

Задание 5: Найди общий вид первообразной для $f(x) = x^5$.

Задание 6: Найди общий вид первообразной для $f(x) = \dfrac{1}{x}$ и объясни, откуда берётся модуль.

Задание 7: Найди общий вид первообразной для $f(x) = \sqrt{x}$.

Задание 8: Найди общий вид первообразной для $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$.

Задание 9: Найди первообразные для $f(x) = \dfrac{1}{1+x^2}$ и для $g(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Задание 10: Найди первообразную для $f(x) = 2^x + \dfrac{1}{\sin^2 x}$.

Средние (задания 11-20)

Задание 11: Найди первообразную для $f(x) = (3x-1)^4$.

Задание 12: Найди первообразную для $f(x) = e^{-2x}$.

Задание 13: Найди первообразную для $f(x) = \cos\left(5x + \dfrac{\pi}{3}\right)$.

Задание 14: Найди первообразную для $f(x) = \dfrac{1}{2x+7}$.

Задание 15: Найди первообразную для $f(x) = \sqrt{4x-3}$.

Задание 16: Найди первообразную для $f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x - 5$.

Задание 17: Найди первообразную для $f(x) = \dfrac{3}{\sqrt{x}} + \dfrac{2}{\cos^2 x}$.

Задание 18: Найди первообразную для $f(x) = 3x^2 + 2$, график которой проходит через точку $(1; 5)$.

Задание 19: Найди первообразную для $f(x) = \sin x + \cos x$, проходящую через точку $(0; 1)$.

Задание 20: Скорость прямолинейного движения тела $v(t) = 4t - 3$ м/с. В момент $t = 0$ тело находилось в точке $s = 10$ м. Найди закон движения $s(t)$ и координату в момент $t = 3$ с.

Продвинутые (задания 21-30)

Задание 21: Ускорение материальной точки $a(t) = 6t - 4$ м/с². В момент $t = 1$ с скорость равна $5$ м/с, а координата равна $3$ м. Найди закон движения $x(t)$.

Задание 22: Найди первообразную для $f(x) = xe^{x^2}$ методом «угадай и проверь».

Задание 23: Найди первообразную для $f(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}$.

Задание 24: Найди первообразную для $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ на множестве $x \neq 0$, удовлетворяющую условиям $F(-1) = 0$ и $F(2) = 1$.

Задание 25: Найди первообразную для $f(x) = \sin^2 x$.

Задание 26: Случайная величина распределена равномерно на отрезке $[2; 6]$: её плотность $p(x) = \frac14$ при $x \in [2;6]$. Найди функцию распределения $F(x) = P(X \leqslant x)$ на этом отрезке и вычисли $P(X \leqslant 5)$.

Задание 27: Время до отказа сервера описывается экспоненциальным распределением с плотностью $p(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ при $x \geqslant 0$. Найди функцию распределения и вычисли вероятность отказа в первые $2$ часа при $\lambda = 0{,}5$ час⁻¹.

Задание 28: Плотность распределения имеет вид $p(x) = cx^2$ на отрезке $[0;3]$ и равна нулю вне его. Найди константу $c$, функцию распределения и $P(X \leqslant 1{,}5)$.

Задание 29: Докажи, что логистическая функция $\sigma(x) = \dfrac{1}{1+e^{-x}}$ является первообразной для $f(x) = \sigma(x)\big(1-\sigma(x)\big)$.

Задание 30: Темп прироста аудитории сервиса моделируется функцией $r(t) = 300 - 12t$ новых пользователей в сутки, где $t$ — номер дня. В момент $t = 0$ было $1000$ пользователей. Найди $N(t)$, размер аудитории на 10-й день и момент, когда прирост прекратится, вместе с достигнутым размером аудитории.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: потеряли постоянную $C$

Неправильно: «первообразная для $2x$ — это $x^2$».

Правильно: первообразная для $2x$ — это любая функция вида $x^2 + C$; ответ на вопрос «найди первообразную» без $C$ неполон.

💡 Почему важно: $C$ — не формальность, а точное указание на то, какая информация теряется при дифференцировании. В прикладной задаче потерянная $C$ означает потерянное начальное условие: ты найдёшь форму траектории, но не будешь знать, откуда тело стартовало. Единственный случай, когда $C$ действительно не пишут, — когда её уже нашли из начального условия и записывают конкретную функцию.

❌ Ошибка 2: перепутали направление — продифференцировали вместо поиска первообразной

Неправильно: «первообразная для $x^3$ — это $3x^2$».

Правильно: $3x^2$ — это производная, а первообразная равна $\frac{x^4}{4} + C$.

💡 Почему важно: ошибка звучит анекдотично, но встречается регулярно, особенно когда задание сформулировано длинной фразой. Лечится за пять секунд: продифференцируй свой ответ. $(3x^2)' = 6x \neq x^3$ — сразу видно, что что-то не так. Мнемоника: у первообразной степень растёт, у производной падает.

❌ Ошибка 3: применили степенное правило при $n = -1$

Неправильно: $\dfrac1x = x^{-1} \to \dfrac{x^{0}}{0}$.

Правильно: первообразная для $\frac1x$ — это $\ln|x| + C$; степенное правило при $n = -1$ неприменимо, в знаменателе получается ноль.

💡 Почему важно: это структурная особенность, а не каприз. Никакая степенная функция не даёт производную $\frac1x$, поэтому ответ обязан лежать в другом классе функций. Тот же сюжет объясняет, почему логарифм вообще появляется в анализе. И не забывай модуль: без него первообразная теряет всю левую полуось.

❌ Ошибка 4: забыли поделить на коэффициент при линейной подстановке

Неправильно: первообразная для $\cos 5x$ — это $\sin 5x$.

Правильно: $\dfrac{\sin 5x}{5} + C$, потому что $(\sin 5x)' = 5\cos 5x$ — в пять раз больше нужного.

💡 Почему важно: это ошибка номер один в теме. Она особенно коварна тем, что ответ выглядит правдоподобно, и её никогда не поймать «на глаз» — только проверкой. И держи в голове зеркальный факт: при дифференцировании множитель $k$ появляется, при поиске первообразной он исчезает в знаменатель. Направления противоположные, поэтому и действия обратные.

❌ Ошибка 5: применили несуществующее правило произведения или частного

Неправильно: «первообразная для $x\cos x$ — это $\frac{x^2}{2}\sin x$», «первообразная для $\frac{\sin x}{x}$ — это $\frac{-\cos x}{x^2/2}$».

Правильно: таких правил не существует. Первообразная для $x\cos x$ равна $x\sin x + \cos x$ (проверь дифференцированием), а у $\frac{\sin x}{x}$ элементарной первообразной нет вообще.

💡 Почему важно: список правил у первообразных короткий и закрытый: сумма, константа, линейная подстановка. Всё остальное — либо алгебраические преобразования до табличного вида, либо приёмы из следующих уроков, либо честное «не берётся». Придуманное правило даёт ответ, который не проходит проверку дифференцированием, — и это ещё одна причина проверять всегда.

❌ Ошибка 6: применили теорему о константе на области с дырой

Неправильно: «все первообразные для $\frac{1}{x^2}$ имеют вид $-\frac1x + C$ на всём множестве $x \neq 0$».

Правильно: множество $x \neq 0$ состоит из двух промежутков, и на каждом своя константа: $-\frac1x + C_1$ при $x<0$ и $-\frac1x + C_2$ при $x>0$, причём $C_1$ и $C_2$ независимы.

💡 Почему важно: теорема опирается на факт «нулевая производная на промежутке влечёт постоянство», а он доказывается теоремой Лагранжа, которая требует связной области. Через дыру функция «не знает», что происходит по другую сторону. Практическое следствие: начальное условие фиксирует константу только на том промежутке, где лежит заданная точка. Та же осторожность нужна с $\ln|x|$, $\operatorname{tg} x$, $\operatorname{ctg} x$ и любыми дробями с нулями в знаменателе.

❌ Ошибка 7: решили, что ответ неверен, потому что он не совпал с ответом в задачнике

Неправильно: «у меня $\sin^2 x$, а в книге $-\frac{\cos 2x}{2}$ — значит, я ошибся».

Правильно: обе функции — первообразные для $\sin 2x$, и различаются они ровно на константу $\frac12$. Оба ответа верны.

💡 Почему важно: первообразная определена с точностью до константы, поэтому «разные» на вид ответы сплошь и рядом оказываются одним и тем же семейством. Критерий один: продифференцируй свой ответ. Совпало с $f$ — ты прав, независимо от того, что напечатано в задачнике. То же самое умеет ставить в тупик при работе с системами компьютерной алгебры: SymPy и WolframAlpha регулярно выдают внешне непохожие, но эквивалентные результаты.

Главное запомнить

✅ Первообразная: $F$ — первообразная для $f$ на промежутке, если $F'(x) = f(x)$ во всех точках этого промежутка. Стрелка $F \to f$ идёт через дифференцирование; поиск первообразной разворачивает её обратно.

✅ Проверка — всегда дифференцирование. Продифференцируй свой ответ и сравни с исходной функцией. Это стопроцентно надёжный тест, работающий независимо от того, вывел ты ответ или угадал. Пользуйся им в каждой задаче.

✅ Первообразных бесконечно много. Если $F$ — одна из них, то все остальные имеют вид $F(x) + C$. Геометрически — семейство одинаковых кривых, сдвинутых по вертикали; в каждой точке у них общий наклон.

✅ Теорема о константе: если $F' = G' = f$ на промежутке, то $F - G = \text{const}$. Доказательство: $(F-G)' = 0$, а функция с нулевой производной на промежутке постоянна.

✅ Слово «промежуток» обязательно. На области с дырой (например, $x \neq 0$) константа своя на каждом куске. У $\frac{1}{x^2}$ на двух полуосях — две независимые константы.

✅ Степенное правило: $x^n \to \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$ при $n \neq -1$ — степень вверх, делим на новую степень. Ровно обратно к дифференцированию, где степень падала и вылезала множителем.

✅ Особый случай $n = -1$: $\dfrac1x \to \ln|x| + C$. Модуль нужен, чтобы формула жила на обеих полуосях; проверка при $x<0$: $(\ln(-x))' = \frac{1}{-x}\cdot(-1) = \frac1x$.

✅ Тригонометрия — место потери знака: $\sin x \to -\cos x$, а $\cos x \to \sin x$. Минус стоит у первообразной синуса, а не косинуса.

✅ Правила есть только три: сумма (первообразные складываются), константа (выносится), линейная подстановка ($f(kx+b) \to \frac1k F(kx+b)$). Правил произведения, частного и композиции у первообразных нет.

✅ Линейная подстановка требует деления на $k$. При дифференцировании $k$ появлялся множителем — теперь он уходит в знаменатель. И работает это только для линейного аргумента: для $\sin(x^2)$ или $e^{x^2}$ такого приёма нет.

✅ Первообразная берётся не всегда. У $e^{-x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$, $\frac{1}{\ln x}$ первообразные существуют, но не выражаются через элементарные функции — это доказано Лиувиллем. Отсюда erf, norm.cdf и численные методы.

✅ Начальное условие выбирает одну кривую. Схема из трёх шагов: общий вид с $C$ → подставить точку → найти $C$. Каждое интегрирование добавляет константу, каждая константа требует своего условия.

✅ В статистике и ML: функция распределения — первообразная плотности, $F' = p$. Условие $F(-\infty)=0$ фиксирует константу, условие полной вероятности $=1$ нормирует плотность. Дискретный аналог первообразной — cumsum, аналог производной — diff.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Урок 133, определение производной — весь урок построен на обращении этой операции; без ясного понимания, что такое $f'$, вопрос «какая функция даёт такую производную» лишён смысла.
• Урок 135, физический смысл производной — цепочка «координата → скорость → ускорение». В этом уроке мы прошли её задом наперёд, и почти все прикладные задачи темы растут отсюда.
• Урок 136, правила дифференцирования — правила суммы и вынесения константы напрямую превратились в правила для первообразных; правило произведения, наоборот, показало, чего у первообразных нет.
• Урок 137, цепное правило — фундамент правила линейной подстановки: множитель $k$, который цепное правило порождает, компенсируется делением на $k$.
• Урок 138, таблица производных — таблица первообразных получена её разворотом строка за строкой, включая тонкости с $\ln|x|$ и с $\frac{a^x}{\ln a}$.
• Урок 140, возрастание и убывание — оттуда взят ключевой факт «нулевая производная на промежутке влечёт постоянство функции», без которого не доказывается главная теорема урока.
• Урок 99, формулы понижения степени — рабочий инструмент для тригонометрических выражений, которые не берутся напрямую.

Что изучить дальше:

• Урок 146, неопределённый интеграл — то же самое понятие, но в компактной записи $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, плюс мощные методы: замена переменной (обобщение линейной подстановки на любой аргумент) и интегрирование по частям (то самое отсутствующее «правило произведения», в правильной форме).
• Урок 147, определённый интеграл — переход от семейства первообразных к конкретному числу, к накопленной величине.
• Урок 148, формула Ньютона–Лейбница — мост между первообразной и площадью, главная теорема анализа: то, чем занимался этот урок, и то, чем занимался Кавальери со своими полосками, оказывается одним и тем же.
• Урок 149, вычисление площадей — первое серьёзное геометрическое приложение.
• Урок 150, применение интегралов в физике — работа, путь, масса, центр тяжести: продолжение сюжета из урока 135.
• Университетский блок — дифференциальные уравнения (там задача с начальным условием станет отдельной большой темой), несобственные интегралы, частные производные и вопрос о том, всякое ли векторное поле является градиентом.

Где это нужно в жизни:

💻 В программировании: численное интегрирование (scipy.integrate), накопительные суммы в обработке данных, восстановление позиции по показаниям акселерометра в мобильных приложениях и VR, физические движки игр, где по силе считают ускорение, по нему скорость, по ней координату — каждый кадр.

🤖 В ML/AI: связка «плотность ↔ функция распределения», нормировка плотностей, сэмплирование методом обратной функции распределения, активация GELU через $\Phi$, логистическая регрессия как функция распределения логистического закона, диффузионные модели, где траектория восстанавливается по известной скорости изменения, непрерывные нормализующие потоки и Neural ODE.

📊 В Data Science: переход между потоковыми и накопленными метриками (DAU ↔ суммарные регистрации, дневная выручка ↔ выручка нарастающим итогом), восстановление ряда по разностям, расчёт квантилей через обратную функцию распределения, ROC-кривые и AUC.

🔬 В науке и инженерии: путь по скорости, заряд по току, масса по расходу, теплота по мощности, доза облучения по интенсивности; вся классическая механика — это восстановление траектории по известным силам.

💰 В финансах и экономике: накопленная доходность по мгновенной ставке, суммарные издержки по предельным издержкам, дисконтированные потоки, оценка накопленного объёма продаж по темпу продаж.

Интересные факты

💡 Знак интеграла родился 29 октября 1675 года. В этот день Лейбниц в черновике впервые написал вытянутую букву $S$ — от латинского summa. До этого он полгода пользовался словом «omn.» (сокращение от omnia, «все»), и рукопись сохранила момент, когда он это слово зачеркнул. Вытянутая $S$ до сих пор стоит в каждом учебнике анализа мира — один из самых долгоживущих дизайнерских выборов в истории науки. В следующем уроке ты увидишь, как всё, что мы сегодня писали словами, свернётся в одну строку с этим значком.

💡 Существует алгоритм, который отвечает «не берётся». Вопрос «выражается ли первообразная данной функции через элементарные» звучит философски, но на самом деле решается механически. Теорию построил Жозеф Лиувилль в 1830-х, а работающий алгоритм — Роберт Риш в 1968 году. Алгоритм Риша занимает около ста страниц, полностью его не реализовала ни одна система, но частичные версии стоят в Mathematica и SymPy: когда программа отвечает, что интеграл не выражается в элементарных функциях, за этим стоит доказательство, а не капитуляция.

💡 Функция ошибок кормит половину прикладной статистики. У $e^{-x^2}$ нет элементарной первообразной, поэтому математики просто дали ей имя: $\operatorname{erf}$. Через неё выражается функция распределения нормального закона, а через неё — доверительные интервалы, p-значения, тесты гипотез и активация GELU в трансформерах. Целая ветвь прикладной науки выросла из функции, которую нельзя записать формулой.

💡 Первообразная бывает радикально сложнее исходной функции. У безобидной $\ln x$ первообразная — $x\ln x - x$, комбинация из трёх кусков. У $\operatorname{tg} x$ — это $-\ln|\cos x|$, то есть логарифм от косинуса. А у $\frac{1}{x^4+1}$ ответ занимает несколько строк с арктангенсами и логарифмами. При дифференцировании ничего подобного не бывает: производная элементарной функции всегда элементарна и обычно проще исходной. Ещё одна грань той же асимметрии.

💡 Ньютон и Лейбниц спорили тридцать лет — и проиграли оба. Комиссия Королевского общества в 1712 году признала приоритет за Ньютоном, что неудивительно: председателем общества был сам Ньютон, и текст отчёта, как выяснили историки, писал тоже он. Лейбниц умер в 1716 году в опале, на его похоронах присутствовал один человек — его секретарь. Сегодня историки считают, что открытия были независимыми, но пользуемся мы обозначениями Лейбница: и $\frac{dy}{dx}$, и знак интеграла — его.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Проверяй дифференцированием всегда — это бесплатный юнит-тест

Первообразная — единственная тема курса, где правильность ответа проверяется на сто процентов и за десять секунд. Не «сверься с ответом в конце книги», а именно продифференцируй.

Пример: нашёл $F(x) = \frac{(3x+2)^6}{18}$ для $f(x) = (3x+2)^5$. Проверяем: $\frac{6(3x+2)^5\cdot 3}{18} = (3x+2)^5$ ✅ Всё, задача закрыта, спорить не о чем.

2. Угадывай смело — метод «догадка плюс поправочный коэффициент» законен

Напиши функцию, которая примерно похожа на нужную, продифференцируй, посмотри, во сколько раз промахнулся, и подели на это число. Работает всякий раз, когда лишний множитель оказался константой.

Пример: ищем первообразную для $xe^{x^2}$. Пробуем $e^{x^2}$, получаем производную $2xe^{x^2}$ — вдвое больше. Делим на два: ответ $\frac12 e^{x^2} + C$ ✅

3. Приводи выражение к сумме табличных, прежде чем что-то искать

Правил произведения и частного нет, поэтому алгебра — основной инструмент. Дроби разбивай почленно, корни переводи в степени, произведения степеней складывай, тригонометрию понижай формулами из уроков 98–99.

Пример: $\dfrac{x^3 + 2x - 5}{x^2} = x + \dfrac2x - \dfrac{5}{x^2}$, и ответ выписывается сразу: $\dfrac{x^2}{2} + 2\ln|x| + \dfrac5x + C$.

4. Помни зеркальность коэффициентов

Всё, что при дифференцировании появлялось множителем, при поиске первообразной уходит в знаменатель. Множитель $k$ из цепного правила, $\ln a$ из показательной функции, степень $n$ — везде одна и та же логика.

Пример: $(e^{7x})' = 7e^{7x}$, значит первообразная для $e^{7x}$ — это $\frac{e^{7x}}{7}$. $(3^x)' = 3^x\ln 3$, значит первообразная для $3^x$ — это $\frac{3^x}{\ln 3}$.

5. Увидел $\dfrac{g'(x)}{g(x)}$ — сразу пиши логарифм

Дробь, у которой числитель равен производной знаменателя (или пропорционален ей), даёт $\ln|g(x)|$. Этот шаблон встречается постоянно.

Пример: $\dfrac{2x}{x^2+1} \to \ln(x^2+1) + C$; $\dfrac{\cos x}{\sin x} \to \ln|\sin x| + C$; $\dfrac{x}{x^2+4} = \frac12\cdot\frac{2x}{x^2+4} \to \frac12\ln(x^2+4) + C$. Каждый раз — проверка дифференцированием, и каждый раз она проходит.

6. Проверяй начальное условие отдельно от производной

В задачах с точкой ошибиться можно дважды: неверно найти общий вид и неверно посчитать $C$. Поэтому проверок тоже две.

Пример: ответ $F(x) = x^3 + 2x + 2$ для $f = 3x^2+2$ и точки $(1;5)$. Первая проверка: $F' = 3x^2+2$ ✅ Вторая: $F(1) = 1+2+2 = 5$ ✅ Обе прошли — ответ гарантированно верен.

7. Считай константы: сколько интегрирований — столько условий

Если в задаче про движение дано ускорение, а найти надо координату, будет два прохода и две константы. Условий в грамотно поставленной задаче будет ровно столько же.

Пример: дано $a(t)$, $v(0)$ и $s(0)$ — двух условий хватает ровно на две константы. Если дано только $a(t)$ и $s(0)$, задача недоопределена: скорость восстановить не из чего.

8. Численная проверка на калькуляторе или в две строки кода

Если сомневаешься в ответе, а дифференцировать лень, посчитай центральную разность (приём из урока 133): $F'(x_0) \approx \dfrac{F(x_0+h)-F(x_0-h)}{2h}$ при $h \approx 10^{-6}$ и сравни с $f(x_0)$.

Пример: для $F(x) = \frac{(3x-1)^5}{15}$ в точке $x=1$ центральная разность даёт $\approx 16{,}0000$, а $f(1) = (3-1)^4 = 16$ ✅ Если бы деление на $3$ было забыто, вышло бы $48$ — расхождение ровно втрое, промах виден мгновенно.

💡 Совет: заведи привычку заканчивать каждую задачу этой темы строчкой «проверка: $F' = \ldots$». Она стоит пятнадцать секунд и снимает девять ошибок из десяти — потерянный коэффициент, перепутанный знак у косинуса, забытое деление на $k$. Это ровно та дисциплина, которая в инженерной работе называется «написать тест к своему коду»: сначала кажется лишней тратой времени, потом оказывается, что она и есть работа.

Ты только что развернул стрелку анализа. Двенадцать уроков мы шли от функции к её скорости изменения — сегодня научились идти обратно: по скорости восстанавливать путь, по темпу роста — саму величину, по плотности — вероятность. Понятие оказалось простым, а операция — принципиально более трудной, чем прямая: правил меньше, единственности нет, а иногда ответа в элементарных функциях не существует вовсе. Зато у тебя есть проверка, которая никогда не врёт.

А в следующем уроке — 146, неопределённый интеграл — всё, что мы сегодня писали словами и таблицами, свернётся в один символ. Множество первообразных получит имя и компактную запись $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, тот самый вытянутый знак Лейбница из 1675 года. И вместе с записью придут настоящие методы: замена переменной, которая снимет ограничение «только линейный аргумент», и интегрирование по частям — правильная форма того самого правила произведения, которого у первообразных нет. Переходи, самое рабочее только начинается.