Что проверяет задание 20
Задание 20 — последнее в варианте и вместе с заданием 19 самое дорогое: максимум 4 первичных балла. По проекту КИМ 2027 года это бывшее задание 19. Задача про натуральные числа: делимость, остатки, суммы и средние, НОД и НОК. Обычно в ней несколько пунктов. Первые пункты («может ли…») решаются примером или коротким контрпримером, последний («наибольшее количество», «наименьшее значение») требует оценки и примера, на котором она достигается. Решение оценивается по пунктам, поэтому даже один верно решённый пункт приносит баллы.
Что нужно уметь:
- работать с чётностью и остатками от деления;
- пользоваться признаками делимости и разложением на простые множители;
- находить НОД и НОК и помнить, что $\text{НОД}(a, b) \cdot \text{НОК}(a, b) = a \cdot b$;
- строить пример, который удовлетворяет всем условиям, и проверять его;
- доказывать оценку: «больше нельзя, потому что…».
Как выглядит задание
Типичные формулировки (наши аналоги):
Даны 10 различных натуральных чисел, сумма которых равна 70. а) Может ли среди них быть число 20? б) Может ли среди них быть число 26? в) Какое наибольшее количество чётных чисел может быть среди них?
Может ли число $n^2 + n + 1$ при натуральном $n$ делиться на 5?
Алгоритм решения
- Понять, что спрашивают в каждом пункте. «Может ли» — нужен либо конкретный пример, либо доказательство, что нельзя. «Наибольшее/наименьшее» — нужны оценка и пример.
- Для ответа «да» привести пример и явно проверить все условия: различность, сумму, делимость.
- Для ответа «нет» найти противоречие. Чаще всего помогают чётность, остатки и оценка суммы снизу: наименьшая сумма $k$ различных натуральных чисел равна $1 + 2 + \ldots + k = \dfrac{k(k+1)}{2}$.
- Для оценки обозначить искомую величину буквой, записать неравенство, которое следует из условия, и получить из него границу.
- Показать, что граница достигается: привести пример. Без примера оценка не даёт полного балла, и наоборот.
Разбор примеров
Пример 1. Даны 10 различных натуральных чисел, сумма которых равна 70. а) Может ли среди них быть число 20? б) Может ли среди них быть число 26? в) Какое наибольшее количество чётных чисел может быть среди них?
а) Да. Пример: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 20$. Числа различны, их сумма $36 + 14 + 20 = 70$.
б) Нет. Кроме 26 есть ещё 9 различных натуральных чисел, их сумма не меньше $1 + 2 + \ldots + 9 = 45$. Тогда вся сумма не меньше $26 + 45 = 71 > 70$. Противоречие.
в) Оценка. Пусть среди чисел $k$ чётных и $10 - k$ нечётных.
- Сумма 70 чётная, поэтому нечётных чисел чётное количество. Значит, $k$ тоже чётно, и $k = 7$ или $k = 9$ невозможны.
- $k$ различных чётных чисел дают сумму не меньше $2 + 4 + \ldots + 2k = k(k+1)$. При $k = 8$ это уже $72 > 70$, а при $k = 10$ ещё больше.
Значит, $k \le 6$.
Пример для $k = 6$: чётные $2, 4, 6, 8, 10, 24$ (сумма 54), нечётные $1, 3, 5, 7$ (сумма 16). Всего 10 различных чисел, сумма $54 + 16 = 70$.
Ответ: а) да; б) нет; в) 6.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. Может ли число $n^2 + n + 1$ при натуральном $n$ делиться на 5?
Шаг 1. Перебираем остатки. Остаток $n^2 + n + 1$ при делении на 5 зависит только от остатка $n$ при делении на 5. Возможных остатков пять:
- $n \equiv 0$: $0 + 0 + 1 = 1$;
- $n \equiv 1$: $1 + 1 + 1 = 3$;
- $n \equiv 2$: $4 + 2 + 1 = 7$, остаток 2;
- $n \equiv 3$: $9 + 3 + 1 = 13$, остаток 3;
- $n \equiv 4$: $16 + 4 + 1 = 21$, остаток 1.
Шаг 2. Вывод. Остатка 0 нет ни в одном случае, значит, на 5 число не делится ни при каком $n$.
Ответ: нет, не может.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Сумма двух натуральных чисел равна 84, а их наибольший общий делитель равен 12. Найдите все такие пары чисел и наибольшее возможное значение их НОК.
Шаг 1. Выносим НОД. Раз $\text{НОД} = 12$, числа имеют вид $12x$ и $12y$, где $x$ и $y$ взаимно просты. Тогда $12(x + y) = 84$, то есть $x + y = 7$.
Шаг 2. Перебираем пары с $x < y$: $(1, 6)$, $(2, 5)$, $(3, 4)$. Все они взаимно просты. Получаем пары чисел $(12, 72)$, $(24, 60)$, $(36, 48)$.
Шаг 3. НОК. Для взаимно простых $x$ и $y$ имеем $\text{НОК}(12x, 12y) = 12xy$: это $72$, $120$ и $144$. Проверка через формулу: $36 \cdot 48 = 1728$ и $1728 : 12 = 144$.
Ответ: пары $(12, 72)$, $(24, 60)$, $(36, 48)$; наибольший НОК равен 144.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Оценка без примера или пример без оценки. В пункте «наибольшее количество» нужны обе части: доказать, что больше нельзя, и показать, что столько можно.
- Пример не проверен. Пересчитай сумму и убедись, что числа действительно различны. Одна арифметическая ошибка в примере обнуляет пункт.
- Потеря чётности. В примере 1 при $k = 7$ сумма получается нечётной, и это отдельный довод. Без него оценка неполная.
- «Не нашёл пример, значит, нельзя». Ответ «нет» нужно доказать, перебор нескольких вариантов доказательством не считается.
- Не взаимно простые множители. Если в примере 3 взять $x = 2$, $y = 4$, у чисел $24$ и $48$ НОД уже 24, а не 12.
Что повторить
Честно о пробеле: задач уровня ЕГЭ №20 с пунктами а–в на сайте пока нет, сравнения по модулю тоже не разобраны. Уроки ниже рассчитаны на 5–6 класс и дают базу, на которой эти задачи строятся:
- Признаки делимости.
- Разложение на простые множители.
- Как НОД и НОК связаны друг с другом — формула из примера 3.
- Деление с остатком — основа перебора остатков, как в примере 2.
Короткие шпаргалки в блоге: признаки делимости и НОД и НОК.
Где потренироваться
Соседние задания: задание 19, задача с параметром и задание 18, планиметрия. Все задания экзамена — на странице ЕГЭ.