Что проверяет задание 11
Задание 11 — классическая текстовая задача. Сюжетов три: движение (в том числе по реке), совместная работа и смеси со сплавами. Математика здесь не сложнее 8–9 класса: в конце почти всегда получается линейное или квадратное уравнение. Проверяется умение перевести текст в уравнение — выбрать неизвестное, выразить через него остальные величины и найти, какие две величины в условии равны.
Задание стоит в первой части, ответ краткий, 1 первичный балл. Структура дана по проекту демоверсии ЕГЭ 2027 года (ФИПИ). В 2027 году в первой части появилось ещё и задание 13 с текстовыми и финансовыми задачами, поэтому навык составления уравнений по условию теперь нужен дважды.
Что нужно уметь:
- пользоваться связью «расстояние = скорость × время» и её аналогом для работы: «объём работы = производительность × время»;
- учитывать скорость течения: по течению скорости складываются, против течения вычитаются;
- складывать производительности при совместной работе;
- составлять уравнение баланса «чистого вещества» в задачах на смеси и сплавы;
- решать получившееся квадратное уравнение и отбрасывать корень, не подходящий по смыслу.
Как выглядит задание
Типичные формулировки (наши аналоги):
- Моторная лодка прошла против течения реки $77$ км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на $2$ часа меньше. Скорость течения $4$ км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.
- Первая труба пропускает на $3$ литра воды в минуту меньше, чем вторая. Резервуар объёмом $108$ литров первая труба заполняет на $3$ минуты дольше, чем вторая. Сколько литров в минуту пропускает первая труба?
Алгоритм решения
- Выбери неизвестное. Обычно за $x$ берут ту величину, которую спрашивают. Если это неудобно, бери скорость или производительность, а ответ досчитывай в конце.
- Составь таблицу. Для движения столбцы: скорость, время, расстояние. Для работы: производительность, время, объём работы. Для смесей: масса, доля вещества, масса вещества.
- Заполни таблицу через $x$. Из двух известных величин в строке третья выражается по формуле.
- Найди равенство. В условии всегда есть фраза, которая сравнивает две величины: «на 2 часа меньше», «вместе заполнили», «получился 35-процентный сплав». Эта фраза и есть уравнение.
- Реши уравнение. Дробное уравнение приводи к квадратному, умножив на общий знаменатель.
- Отбери корень и ответь на вопрос. Отрицательную скорость отбрасываем. Перечитай вопрос: спрашивали $x$ или величину, выраженную через $x$?
Разбор примеров
Пример 1. Моторная лодка прошла против течения реки $77$ км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на $2$ часа меньше. Скорость течения $4$ км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде (в км/ч).
Решение:
Шаг 1. Пусть $v$ км/ч — собственная скорость лодки. Тогда скорость против течения $v - 4$, по течению $v + 4$.
Шаг 2. Время на каждый путь: $\dfrac{77}{v - 4}$ против течения и $\dfrac{77}{v + 4}$ по течению. Против течения лодка шла дольше на $2$ часа:
$$\frac{77}{v - 4} - \frac{77}{v + 4} = 2.$$Шаг 3. Приводим к общему знаменателю:
$$\frac{77(v + 4) - 77(v - 4)}{v^2 - 16} = 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{616}{v^2 - 16} = 2 \quad \Rightarrow \quad v^2 - 16 = 308.$$Шаг 4. $v^2 = 324$, $v = \pm 18$. Скорость отрицательной быть не может, остаётся $v = 18$. Она больше скорости течения, значит лодка действительно может идти против течения. Проверка: $77 : 14 = 5{,}5$ ч, $77 : 22 = 3{,}5$ ч, разница $2$ ч.
Ответ: 18
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. Первая труба пропускает на $3$ литра воды в минуту меньше, чем вторая. Резервуар объёмом $108$ литров первая труба заполняет на $3$ минуты дольше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба?
Решение:
Шаг 1. Пусть первая труба пропускает $x$ л/мин, тогда вторая — $x + 3$ л/мин.
Шаг 2. Время заполнения: $\dfrac{108}{x}$ у первой и $\dfrac{108}{x + 3}$ у второй. Первая работает на $3$ минуты дольше:
$$\frac{108}{x} - \frac{108}{x + 3} = 3.$$Шаг 3. Умножаем на $x(x + 3)$:
$$108(x + 3) - 108x = 3x(x + 3) \quad \Rightarrow \quad 324 = 3x^2 + 9x \quad \Rightarrow \quad x^2 + 3x - 108 = 0.$$Шаг 4. $D = 9 + 432 = 441$, $x = \dfrac{-3 \pm 21}{2}$, то есть $x = 9$ или $x = -12$. Производительность положительна, остаётся $x = 9$.
Шаг 5. Проверка: $108 : 9 = 12$ минут, $108 : 12 = 9$ минут, разница $3$ минуты.
Ответ: 9
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Первый сплав содержит $15\%$ меди, второй — $45\%$ меди. Масса второго сплава на $4$ кг больше массы первого. Из этих двух сплавов получили третий, содержащий $35\%$ меди. Найдите массу третьего сплава (в кг).
Решение:
Шаг 1. Пусть масса первого сплава $m$ кг. Тогда масса второго $m + 4$ кг, масса третьего $2m + 4$ кг.
Шаг 2. Считаем медь в каждом сплаве. Вся медь из первых двух сплавов перешла в третий, отсюда уравнение баланса:
$$0{,}15m + 0{,}45(m + 4) = 0{,}35(2m + 4).$$Шаг 3. Раскрываем скобки:
$$0{,}6m + 1{,}8 = 0{,}7m + 1{,}4 \quad \Rightarrow \quad 0{,}1m = 0{,}4 \quad \Rightarrow \quad m = 4.$$Шаг 4. Спрашивают массу третьего сплава, а не первого: $2 \cdot 4 + 4 = 12$.
Шаг 5. Проверка: меди $0{,}6 + 3{,}6 = 4{,}2$ кг, и $4{,}2 : 12 = 0{,}35$, то есть $35\%$.
Ответ: 12
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Отвечают на другой вопрос. В примере 3 легко записать в ответ $m = 4$, хотя спрашивали массу третьего сплава. Перед записью ответа перечитай последнее предложение условия.
- Складывают проценты вместо масс вещества. Смесь $15\%$ и $45\%$ сплавов не даёт $60\%$ и в общем случае не даёт $30\%$. Складывать можно только массы меди, соли или кислоты.
- Путают, у кого время больше. «На обратный путь затратили меньше» значит, что из большего времени вычитается меньшее. Если поставить разность наоборот, уравнение не будет иметь положительного корня.
- Не переводят минуты в часы. Если скорость в км/ч, а в условии «на 20 минут позже», в уравнение идёт $\dfrac{1}{3}$ часа, а не $20$.
- Оставляют отрицательный корень. Скорость и производительность в таких задачах положительны.
Что повторить
- Движение: Главная формула движения и Движение по реке.
- Работа: Совместная работа (когда объём работы дан числом).
- Составление уравнения: Задачи на движение и работу через уравнение и Задачи на проценты и смеси через уравнение.
- Смеси: Задачи на концентрацию и смеси.
Эти уроки рассчитаны на 6–8 класс, и задачи там проще экзаменационных. Метод при этом тот же, а дробные уравнения, которые получаются в задании 11, решаются так же, как в разборах выше.
Где потренироваться
- Практика по задачам на движение
- Практика по производительности
- Практика по задачам с помощью уравнений
- Практика по задачам на проценты
Соседние задания: задание 10 — задачи с прикладным содержанием и задание 12 — графики функций. Задачи на проценты, кредиты и вклады вынесены в задание 13. Все задания собраны на странице ЕГЭ по математике.