Задание 4 профильного ЕГЭ — простая задача на вероятность. Обычно это одна формула: число благоприятных исходов делим на число всех исходов. Трудность не в вычислениях, а в том, чтобы правильно посчитать исходы и не перепутать событие с противоположным ему. Задание считается одним из самых «дешёвых» баллов экзамена, поэтому терять его обидно.
Структура заданий на этой странице взята из проекта демоверсии и спецификации ЕГЭ 2027, которые ФИПИ опубликовал для обсуждения. Окончательная версия может отличаться.
Что проверяет задание 4
Задание части 1 с кратким ответом, за верный ответ дают 1 первичный балл. Ответ — конечная десятичная дробь, иногда с округлением до сотых, если об этом сказано в условии. Проверяются умения:
- строить список равновозможных исходов опыта и считать благоприятные;
- применять классическую формулу $P(A) = \dfrac{m}{n}$;
- переходить к противоположному событию: $P(\bar A) = 1 - P(A)$;
- складывать вероятности несовместных событий.
Как выглядит задание
Типовые формулировки (наши аналоги):
- «В сборнике 40 билетов, в 6 из них встречается вопрос по теме "Логарифмы". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном билете вопроса по этой теме не окажется».
- «Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза».
- «Вероятность того, что ученик верно решит больше 15 задач теста, равна $0{,}81$. Вероятность того, что он верно решит больше 16 задач, равна $0{,}69$. Найдите вероятность того, что он решит ровно 16 задач».
Алгоритм решения
- Опиши опыт: что именно случайно выбирают или бросают.
- Посчитай все исходы $n$. Они должны быть равновозможными. Для монеты, брошенной $k$ раз, исходов $2^k$; для двух игральных костей $36$.
- Посчитай благоприятные исходы $m$. Если их мало, выпиши списком. Если много, подумай, не проще ли посчитать противоположное событие.
- Найди вероятность $P = \dfrac{m}{n}$ или $P = 1 - P(\bar A)$.
- Если события несовместны, их вероятности складываются. Этим же фактом решаются задачи вида «больше 15» и «больше 16»: событие «больше 15» распадается на два несовместных — «ровно 16» и «больше 16».
- Проверь ответ: вероятность лежит от $0$ до $1$.
Отдельно про две игральные кости: исходы — это упорядоченные пары «первая кость, вторая кость», их $6 \cdot 6 = 36$. Пары $(2; 6)$ и $(6; 2)$ — разные исходы. Например, сумма $8$ получается пятью способами: $(2; 6)$, $(3; 5)$, $(4; 4)$, $(5; 3)$, $(6; 2)$. Значит, её вероятность $\dfrac{5}{36}$. Это бесконечная дробь, поэтому в такой задаче условие обязательно попросит округлить: $\dfrac{5}{36} = 0{,}138\ldots \approx 0{,}14$. Удобно нарисовать таблицу $6 \times 6$ и в каждой клетке записать сумму: тогда благоприятные исходы видны сразу, и ни один не потеряется.
Разбор примеров
Пример 1. В сборнике 40 билетов, в 6 из них встречается вопрос о логарифмах. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном билете такого вопроса не будет.
Шаг 1. Опыт — выбор одного билета из 40. Все билеты равновозможны, $n = 40$.
Шаг 2. Благоприятные билеты — те, где вопроса о логарифмах нет: $m = 40 - 6 = 34$.
Шаг 3. $P = \dfrac{34}{40} = 0{,}85$.
Другой путь. Вероятность получить вопрос о логарифмах $\dfrac{6}{40} = 0{,}15$, противоположное событие имеет вероятность $1 - 0{,}15 = 0{,}85$.
Ответ: $0{,}85$
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Шаг 1. Каждый бросок даёт два исхода, всего $n = 2^3 = 8$ равновозможных исходов.
Шаг 2. Выписываем исходы, где ровно два орла (О — орёл, Р — решка): ООР, ОРО, РОО. Их $m = 3$.
Шаг 3. $P = \dfrac{3}{8} = 0{,}375$.
Ответ: $0{,}375$
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Вероятность того, что ученик верно решит больше 15 задач теста, равна $0{,}81$. Вероятность того, что он верно решит больше 16 задач, равна $0{,}69$. Найдите вероятность того, что он решит ровно 16 задач.
Шаг 1. Событие $A$ = «решено больше 15 задач». Оно наступает в двух несовместных случаях: $B$ = «решено ровно 16», $C$ = «решено больше 16».
Шаг 2. По теореме сложения для несовместных событий $P(A) = P(B) + P(C)$.
Шаг 3. $P(B) = 0{,}81 - 0{,}69 = 0{,}12$.
Ответ: $0{,}12$
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Неравновозможные исходы. Для двух монет исходы «два орла», «две решки», «один орёл и одна решка» не равновозможны: последний случается вдвое чаще. Правильный список: ОО, ОР, РО, РР.
- Считают не то событие. В примере 1 спрашивают, что вопроса не будет. Ответ $0{,}15$ — классическая ошибка невнимательности.
- Складывают вероятности совместных событий. Сложение работает только для событий, которые не могут произойти одновременно.
- Округляют, когда не просили. Если в условии нет слов «округлите», ответ должен получиться точной конечной дробью. Бесконечная дробь в таком случае — сигнал проверить решение.
- Пишут ответ в процентах. В бланк идёт $0{,}85$, а не $85$.
Что повторить
Теория вероятностей на сайте изложена в курсе для машинного обучения. Подача там вузовская, с примерами из ML, разбора задач именно в формате ЕГЭ нет. Для задания 4 хватит разделов ниже.
- Урок «Классическое определение вероятности»:
- Урок «Теоремы сложения и умножения»:
- Урок «Случайные события»: Операции над событиями: «или», «и», «но не»
Где потренироваться
- Практика: 30 заданий по классическому определению вероятности
- Практика: 30 заданий по теоремам сложения и умножения
- Практика: 30 заданий по случайным событиям
Соседние задания ЕГЭ: задание 3, стереометрия и задание 5, вероятность сложных событий. Все задания собраны на странице ЕГЭ профиль.