Вычисление площадей 📐

Четыре урока подряд мы строили инструмент. В уроке 145 научились разворачивать дифференцирование, в 146 упаковали множество первообразных в знак $\int$ и добавили замену переменной и интегрирование по частям, в 147 определили $\int_a^b f(x)\,dx$ как предел интегральных сумм, в 148 получили формулу Ньютона–Лейбница и научились считать эти пределы за две строки. Инструмент собран, откалиброван и проверен. Сегодня мы наконец беремся за то, ради чего его тысячу лет затачивали: за площади.

И тут случается неприятный сюрприз. Техника у тебя уже есть — первообразные ты берёшь, пределы подставляешь, знак не теряешь. А задачи всё равно решаются неправильно, и почти всегда по одной и той же причине: интеграл и площадь — не одно и то же. Интеграл $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx$ равен нулю. Площадь фигуры, ограниченной синусоидой и осью на том же отрезке, равна четырём. Оба числа верные, и оба честно посчитаны. Просто они отвечают на разные вопросы.

Интеграл — это площадь со знаком: то, что выше оси, идёт с плюсом, то, что ниже, — с минусом. Геометрическая площадь фигуры знака не имеет: она положительна всегда, потому что площадь — это мера куска плоскости, а не бухгалтерский баланс. Между этими двумя величинами стоит вся работа сегодняшнего урока: найти нули, разбить отрезок, определить, какая линия сверху, выбрать переменную интегрирования, расставить пределы. Само вычисление первообразной в этих задачах — самая простая и самая быстрая часть.

Поэтому урок устроен не как «ещё пятнадцать формул». Формула тут по сути одна, и ты её уже знаешь. Урок — про постановку задачи: как перевести картинку на плоскости в правильный интеграл. Мы разберём фигуры под осью, фигуры между двумя кривыми, фигуры, которые удобнее описывать «лёжа на боку» — через $x = \varphi(y)$, фигуры, ограниченные тремя и четырьмя линиями сразу, включая касательную. А в конце шагнём из плоскости в пространство: та же интегральная сумма, нарезанная не на полоски, а на диски, даёт объём тела вращения — и заодно доказывает школьные формулы объёма конуса и шара, которые до сих пор приходилось принимать на веру.

И ещё одна причина, по которой эта тема важнее, чем кажется. Площадь под кривой — это не «геометрическая экзотика для задачника». В машинном обучении под именем AUC живёт буквально площадь под ROC-кривой, под именем коэффициента Джини — площадь между кривой Лоренца и диагональю, а расхождение двух кривых обучения меряют площадью между ними. Всё это ровно те же вычисления, которыми мы сейчас займёмся, просто вместо параболы там ломаная из измеренных точек.

🎯 Ты узнаешь:

• Почему интеграл и площадь — разные вещи, и как из первого получить вторую в любом расположении фигуры
• Как считать площадь, когда график уходит под ось или пересекает её несколько раз — главную ловушку темы
• Формулу площади между двумя кривыми и почему она работает даже тогда, когда обе кривые лежат ниже оси
• Как искать пределы интегрирования, определять «верхнюю» функцию пробной точкой и разбивать фигуру на участки
• Когда фигуру выгоднее интегрировать по $y$: два интеграла превращаются в один
• Как считать площади фигур, ограниченных тремя-четырьмя линиями, включая касательную к кривой
• Объём тела вращения $V = \pi\int_a^b f^2(x)\,dx$ — и как эта формула сама выдаёт объём конуса и шара
• Где площадь под кривой работает в ML: AUC-ROC, AUC-PR, коэффициент Джини, метрики дрейфа данных

История: откуда это взялось?

Задача о площади старше почти всей остальной математики. Египетские и вавилонские писцы считали площади полей ещё во втором тысячелетии до нашей эры, и слово «геометрия» буквально означает «землемерие». Но с прямолинейными фигурами всё просто: треугольник, прямоугольник, трапеция считаются за одно действие. Настоящая проблема начиналась там, где граница искривлялась.

Первый прорыв сделал Архимед в третьем веке до нашей эры. В работе «Квадратура параболы» он доказал результат ошеломляющей точности: площадь сегмента, отсечённого от параболы прямой, составляет ровно $\frac43$ площади вписанного в этот сегмент треугольника. Никакого интеграла у Архимеда не было — он использовал «метод исчерпывания»: вписывал в сегмент треугольник, затем два меньших треугольника в оставшиеся щели, затем четыре ещё меньших, и суммировал геометрическую прогрессию со знаменателем $\frac14$. В другой работе, «О шаре и цилиндре», он доказал, что объём шара равен $\frac23$ объёма описанного около него цилиндра, и настолько гордился этим результатом, что просил высечь шар в цилиндре на своём надгробии. Полтора века спустя Цицерон, будучи квестором в Сицилии, нашёл заросшую могилу Архимеда именно по этому рисунку.

Дальше — почти два тысячелетия тишины. Метод исчерпывания работал, но каждый раз требовал нового гениального трюка: для параболы один, для спирали другой, для сегмента шара третий. Общего алгоритма не существовало. Сдвиг начался только в XVII веке. Иоганн Кеплер в 1615 году опубликовал «Новую стереометрию винных бочек» — трактат, выросший из бытового возмущения: австрийские виноторговцы измеряли объём бочки одной палкой, воткнутой в отверстие наискось, и Кеплер захотел понять, насколько это честно. В процессе он пересчитал объёмы девяноста двух тел вращения, мысленно разрезая их на бесконечно тонкие слои.

Идею подхватил Бонавентура Кавальери, ученик Галилея: в 1635 году он сформулировал «принцип Кавальери» — если у двух фигур все горизонтальные сечения на одной высоте равны, равны и площади. Пьер Ферма к 1636 году умел считать площадь под $y = x^n$ для любого рационального $n \ne -1$, разбивая отрезок не на равные части, а на части в геометрической прогрессии. Джон Валлис в «Арифметике бесконечных» (1656) довёл эту технику до общей формулы и попутно вывел своё знаменитое произведение для $\pi$. Всё было готово к обобщению — и Ньютон с Лейбницем его сделали: связали площадь с первообразной, превратив тысячелетнюю коллекцию трюков в один рецепт из двух строк.

А формула объёма тела вращения имеет и «геометрического» соперника: около 1640 года Поль Гульдин переоткрыл и опубликовал теорему, известную ещё Паппу Александрийскому (IV век н. э.): объём тела вращения равен площади вращаемой фигуры, умноженной на длину окружности, которую описывает её центр тяжести. Красивая теорема, но она требует знать положение центра тяжести — а его как раз ищут интегралом. Интеграл оказался универсальнее.

Криволинейная трапеция: базовый случай

Интуиция: полоски, которые мы уже нарезали

Всю конструкцию мы построили в уроке 147, поэтому здесь достаточно вспомнить итог. Пусть функция $f$ непрерывна и неотрицательна на отрезке $[a; b]$. Фигура, ограниченная сверху графиком $y = f(x)$, снизу осью $Ox$, слева и справа вертикальными прямыми $x = a$ и $x = b$, называется криволинейной трапецией.

Мы резали её на $n$ вертикальных полосок ширины $\Delta x$, заменяли каждую полоску прямоугольником высоты $f(x_i)$, складывали площади и устремляли $n$ к бесконечности. Предел этих сумм и есть определённый интеграл. Формула Ньютона–Лейбница из урока 148 превращает его в разность значений первообразной:

Три условия в этой записи держат всю конструкцию, и каждое из них дальше будет по очереди нарушено — именно из этих нарушений и вырастает весь урок.

Первое: $f$ неотрицательна. Если график уходит под ось, интеграл станет отрицательным, и знак придётся чинить руками.

Второе: $a < b$. Если пределы поменять местами, интеграл сменит знак (свойство из урока 147), а площадь — нет.

Третье: нижняя граница — ось $Ox$. Если снизу фигуру ограничивает не ось, а другая кривая, формулу придётся дополнить.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Найди площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$, осью $Ox$ и прямой $x = 3$.

Слева фигура упирается в начало координат: парабола касается оси в точке $x = 0$, значит $a = 0$, $b = 3$. На всём отрезке $x^2 \geqslant 0$, базовый случай работает напрямую:

Ответ: $S = 9$.

Быстрая прикидка: фигура вписана в прямоугольник $3 \times 9 = 27$ и занимает явно меньше половины — ответ $9$, то есть треть прямоугольника, выглядит правдоподобно. К этому приёму мы ещё вернёмся отдельно, он спасает от абсурдных ответов.

Пример 2 (средний). Найди площадь фигуры, ограниченной кривой $y = \sqrt{x}$, осью $Ox$ и прямой $x = 4$.

Ответ: $S = \dfrac{16}{3}$.

Проверка прикидкой: описанный прямоугольник имеет размеры $4 \times 2 = 8$, фигура заполняет его на две трети — $\frac{16}{3} = 5{,}33$, то есть $66{,}7\%$ от $8$. Для «выпуклой вверх» кривой это ровно та доля, которую подсказывает глаз.

Пример 3 (сложный). Найди площадь фигуры, ограниченной одной аркой синусоиды $y = \sin x$ и осью $Ox$.

Арка — это кусок между двумя соседними нулями: от $0$ до $\pi$. На нём синус неотрицателен.

Ответ: $S = 2$.

Результат стоит запомнить — он встречается в задачах постоянно. И обрати внимание, насколько он красив: площадь под аркой синусоиды равна ровно $2$, при том что сама арка имеет высоту $1$ и длину основания $\pi \approx 3{,}14$. Описанный прямоугольник даёт $\pi \approx 3{,}14$, значит арка заполняет его на $\frac{2}{\pi} \approx 63{,}7\%$. Эта доля — известная константа в электротехнике: среднее значение полуволны синусоидального тока.

Почему это важно

Базовый случай — это скелет всех остальных. Любая задача на площадь сводится к нему: фигуру разбивают на куски, каждый кусок приводят к виду «между двумя вертикалями, снизу что-то, сверху что-то» и складывают. Ничего принципиально нового дальше не появится — появятся только способы аккуратно обращаться со знаком и с выбором границ. Поэтому если базовый случай ты решаешь автоматически, половина темы уже закрыта.

Когда график уходит под ось

Интуиция: интеграл ведёт бухгалтерию, площадь — нет

Вернёмся к определению из урока 147. В интегральной сумме $\sum f(x_i)\Delta x$ множитель $\Delta x$ всегда положителен, а вот $f(x_i)$ — какой получится. Если график ниже оси, все слагаемые отрицательны, и предел тоже отрицателен. Интеграл честно посчитал площадь со знаком: минус означает «этот кусок лежит под осью».

Геометрическая площадь так себя вести не может. Кусок плоскости площадью «минус три квадратные единицы» не существует. Значит, перевод из интеграла в площадь требует явного действия — и вся хитрость в том, чтобы сделать его в правильном месте.

Правило (площадь при $f \leqslant 0$): если $f(x) \leqslant 0$ на всём отрезке $[a; b]$, то фигура между графиком и осью имеет площадь

$$S = -\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b |f(x)|\,dx = \int_a^b \bigl(0 - f(x)\bigr)dx.$$

Последняя форма записи — самая полезная. Читай её так: сверху ось, снизу график, и мы вычитаем нижнюю границу из верхней. Через минуту эта же логика превратится в общую формулу площади между двумя кривыми, а «ось» окажется просто частным случаем второй кривой $y = 0$.

Пример на месте. Возьмём $f(x) = x^2 - 4$ на отрезке $[-2; 2]$. Между корнями $-2$ и $2$ парабола лежит ниже оси. Считаем интеграл:

Верхняя подстановка даёт $\frac83 - 8 = -\frac{16}{3}$, нижняя даёт $-\frac83 + 8 = \frac{16}{3}$, а их разность равна

Интеграл отрицателен — так и должно быть. Площадь равна $S = \frac{32}{3} \approx 10{,}67$. Численная проверка: $\int_{-2}^{2}|x^2-4|\,dx = 10{,}6667$ ✅

Когда знак меняется прямо внутри отрезка

Это и есть ловушка номер один всей темы. Если на отрезке $[a; b]$ функция где-то положительна, а где-то отрицательна, интеграл складывает площади с разными знаками, и куски частично или полностью гасят друг друга. Результат может оказаться каким угодно, вплоть до нуля.

Канонический пример — синус на полном периоде:

Ноль. При этом фигура на месте: две арки, верхняя над отрезком $[0; \pi]$ и нижняя над $[\pi; 2\pi]$, каждая площадью $2$. Настоящая площадь равна $4$. Интеграл честно сказал «в сумме с учётом знаков — ноль», и это правда о балансе, а не о геометрии.

Алгоритм для знакопеременной функции:

1. Найти все нули $f$ внутри отрезка $[a; b]$ — решить уравнение $f(x) = 0$.
2. Разбить отрезок этими нулями на участки постоянного знака.
3. На каждом участке определить знак (проще всего — подстановкой пробной точки).
4. Посчитать интеграл по каждому участку и взять модуль результата.
5. Сложить модули.

Компактно всё это записывается одной формулой:

и техника вычисления интеграла от функции с модулем — ровно та, что разобрана в уроке 148: раскрыть модуль по участкам знакопостоянства.

Разберём синус по алгоритму. Нули на $[0; 2\pi]$: точки $0$, $\pi$, $2\pi$. Внутренний нуль один — $\pi$. Два участка:

Складываем модули: $S = |2| + |-2| = 4$ ✅

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Найди площадь фигуры между графиком $y = x^3$ и осью $Ox$ на отрезке $[-1; 1]$.

Функция нечётная, интеграл по симметричному отрезку равен нулю:

Ответ «ноль» здесь — грубая ошибка. Нуль функции внутри отрезка — точка $x = 0$. Разбиваем:

Ответ: $S = 0{,}5$. Численная проверка: $\int_{-1}^{1}|x^3|\,dx = 0{,}5$ ✅

Пример 2 (средний). Найди площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 - 3x$ и осью $Ox$ на отрезке $[0; 4]$.

Нули: $x(x-3) = 0$, то есть $x = 0$ и $x = 3$. Внутренний нуль — $x = 3$, участка два: $[0; 3]$ и $[3; 4]$.

Знаки проверим пробными точками: при $x = 1$ имеем $1 - 3 = -2 < 0$; при $x = 3{,}5$ имеем $12{,}25 - 10{,}5 = 1{,}75 > 0$.

Первообразная: $F(x) = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{3x^2}{2}$.

Ответ: $S = \dfrac{19}{3}$. Численная проверка: $\int_0^4 |x^2-3x|\,dx = 6{,}3333$ ✅

Для сравнения: интеграл без модуля равен $-\frac92 + \frac{11}{6} = -\frac83 \approx -2{,}67$. Разница с площадью почти втрое — вот цена пропущенного разбиения.

Пример 3 (сложный). Найди площадь фигуры, ограниченной графиком $y = \sin x$ и осью $Ox$ на отрезке $\left[0; \dfrac{3\pi}{2}\right]$.

Нули внутри отрезка: $x = \pi$. Участки $[0; \pi]$ и $\left[\pi; \frac{3\pi}{2}\right]$.

Ответ: $S = 3$. Численная проверка: $\int_0^{3\pi/2}|\sin x|\,dx = 3$ ✅, а обычный интеграл равен $1$ — ещё одно наглядное расхождение.

Полезное наблюдение на будущее: площадь под модулем синуса растёт линейно, по $2$ на каждую арку. За $n$ арок накопится $2n$. Этот факт часто позволяет посчитать площадь на длинном отрезке в уме: целые арки — умножением, остаток — отдельным интегралом.

Почему это важно

Расхождение между интегралом и площадью — не учебная придирка, а содержательная разница двух вопросов. В физике интеграл от скорости со знаком даёт перемещение (насколько сместился), а интеграл от модуля скорости — путь (сколько проехал). Машина, съездившая в магазин и вернувшаяся, имеет перемещение ноль и путь два километра. Оба числа нужны, оба правильные, и путать их дорого. В обработке сигналов интеграл переменного тока за период равен нулю, а вот интеграл модуля — нет, и именно он определяет, сколько энергии рассеялось. Каждый раз, когда в задаче встречается слово «площадь», «путь», «расход», «суммарный объём», нужен модуль. Каждый раз, когда «баланс», «смещение», «чистое изменение», — нужен интеграл со знаком.

Площадь между двумя кривыми

Интуиция: вычитаем нижнюю фигуру из верхней

Пусть на отрезке $[a; b]$ две непрерывные функции удовлетворяют неравенству $f(x) \geqslant g(x)$, и нас интересует площадь фигуры, зажатой между их графиками.

Если обе функции неотрицательны, всё видно сразу. Фигура под верхним графиком — криволинейная трапеция площади $\int_a^b f\,dx$. Фигура под нижним — трапеция площади $\int_a^b g\,dx$. Вторая целиком лежит внутри первой, и интересующая нас область — их разность:

Переход к одному интегралу законен по свойству линейности из урока 147.

Формула площади между кривыми: если $f(x) \geqslant g(x)$ на $[a; b]$, то

$$S = \int_a^b \bigl(f_{\text{верх}}(x) - f_{\text{нижн}}(x)\bigr)\,dx.$$

Почему формула работает даже под осью

Вывод выше опирался на картинку, где обе кривые над осью. Но формула верна всегда — и вот почему, без единого нового интеграла.

Пусть обе функции где-то отрицательны. Сдвинем всю картинку вверх на достаточно большое число $C$: рассмотрим $\tilde f = f + C$ и $\tilde g = g + C$. Геометрически это вертикальный перенос фигуры, а перенос площадь не меняет — фигура та же, просто нарисована выше. При достаточно большом $C$ обе новые функции неотрицательны на $[a;b]$, и для них формула уже доказана:

Константа сократилась внутри скобки, ещё до интегрирования. Значит, ответ не зависит от того, где относительно оси лежит фигура: важна только разность функций, то есть высота фигуры в каждой точке. Ось $Ox$ в этой формуле вообще не участвует — она была лишь строительными лесами в первом выводе.

Проверим на числах. Площадь между $y = 2x$ и $y = x^2$ на $[0; 2]$ равна $\int_0^2 (2x - x^2)dx = 4 - \frac83 = \frac43$. Опустим обе кривые на $5$ вниз: $y = 2x - 5$ и $y = x^2 - 5$, теперь почти вся фигура под осью. Интеграл: $\int_0^2\bigl((2x-5)-(x^2-5)\bigr)dx = \int_0^2 (2x - x^2)dx = \frac43$ — то же самое ✅ Численно оба варианта дают $1{,}3333$.

Отсюда важный практический вывод: никогда не разбивай фигуру между двумя кривыми на «часть над осью» и «часть под осью». Ось для этой задачи не существует. Разбивать надо только там, где кривые меняются местами.

Как искать пределы интегрирования

Если в условии не заданы вертикальные прямые, границами служат точки пересечения кривых. Их ищут из уравнения

Дальше — обязательный шаг, который пропускают чаще всего: определить, кто сверху. Способ надёжный и быстрый: взять любую точку строго внутри интервала и подставить в обе функции. Та, что дала большее значение, и есть верхняя. Не «та, что круче растёт», не «та, у которой старший коэффициент больше» — именно проба точкой.

Например, для $y = x^2$ и $y = 2x$ уравнение $x^2 = 2x$ даёт $x = 0$ и $x = 2$. Пробная точка $x = 1$: парабола даёт $1$, прямая даёт $2$. Прямая выше, значит вычитаем из неё.

Когда кривые пересекаются несколько раз

Если пересечений больше двух, «верхняя» функция может меняться от участка к участку. Тогда работает та же схема, что и со знакопеременной функцией: разбить, определить порядок на каждом куске, посчитать и сложить.

Разберём $y = x^3$ и $y = x$. Уравнение $x^3 = x$ равносильно $x(x^2-1) = 0$, корни $-1$, $0$, $1$ — три пересечения, два участка.

Участок $(-1; 0)$, пробная точка $x = -0{,}5$: $x^3 = -0{,}125$, $x = -0{,}5$. Куб больше, сверху кубическая парабола.

Участок $(0; 1)$, пробная точка $x = 0{,}5$: $x^3 = 0{,}125$, $x = 0{,}5$. Теперь сверху прямая.

Численная проверка: $\int_{-1}^{1}|x^3 - x|\,dx = 0{,}5$ ✅ А если бы мы поленились разбивать и посчитали $\int_{-1}^{1}(x - x^3)dx$, получили бы $0$ — куски погасили бы друг друга ровно так же, как арки синуса.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Найди площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$ и прямой $y = 2x$.

Пределы: $x^2 = 2x \Rightarrow x = 0$, $x = 2$. Пробная точка $x = 1$: прямая ($2$) выше параболы ($1$).

Ответ: $S = \dfrac43 \approx 1{,}33$. Численная проверка методом Монте-Карло по прямоугольнику $[0;2]\times[0;4]$: доля точек, попавших между кривыми, даёт $S \approx 1{,}331$ ✅

Пример 2 (средний). Найди площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = \sqrt{x}$ и $y = x^2$.

Пересечения: $\sqrt x = x^2$. Возводим в квадрат (обе части неотрицательны при $x \geqslant 0$): $x = x^4$, то есть $x(x^3 - 1) = 0$, корни $x = 0$ и $x = 1$.

Пробная точка $x = 0{,}25$: $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$, а $0{,}25^2 = 0{,}0625$. Корень выше.

Ответ: $S = \dfrac13$.

Изящная деталь: кривые $y = \sqrt x$ и $y = x^2$ симметричны относительно прямой $y = x$, а единичный квадрат они делят на три части равной площади — $\frac13$ каждая. Проверь сам: под параболой $\int_0^1 x^2 dx = \frac13$, между кривыми $\frac13$, над корнем остаётся $1 - \frac13 - \frac13 = \frac13$.

Пример 3 (сложный). Найди площадь фигуры, ограниченной графиками $y = \sin x$ и $y = \cos x$ на отрезке $\left[\dfrac{\pi}{4}; \dfrac{5\pi}{4}\right]$.

Концы отрезка — это как раз точки пересечения: $\sin x = \cos x$ при $\operatorname{tg} x = 1$, то есть $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$.

Пробная точка $x = \frac{\pi}{2}$: $\sin = 1$, $\cos = 0$. Синус выше на всём интервале.

Верхняя подстановка: $-\cos\frac{5\pi}{4} - \sin\frac{5\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt2}{2} = \sqrt2$.

Нижняя: $-\cos\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt2}{2} - \frac{\sqrt2}{2} = -\sqrt2$.

Ответ: $S = 2\sqrt2$. Численная проверка: $2{,}8284$ ✅

Обрати внимание: часть фигуры лежит ниже оси $Ox$ (там, где оба графика отрицательны), и никакого разбиения это не потребовало. Ровно то, о чём говорил сдвиг на константу.

Почему это важно

Формула «верхняя минус нижняя» — самая универсальная в теме. Базовый случай криволинейной трапеции получается из неё при $g \equiv 0$; случай фигуры под осью — при $f \equiv 0$. То есть три правила, которые в учебниках печатают отдельными рамками, на самом деле одно. Держать в голове одну формулу вместо трёх — это и меньше нагрузки, и меньше шансов выбрать не ту. А в приложениях эта формула встречается едва ли не чаще базовой: разница между двумя кривыми — это разница между планом и фактом, между доходом и издержками, между train и validation loss, между двумя распределениями. Площадь между кривыми и есть накопленная разница.

Интегрирование по $y$: фигура, лежащая на боку

Интуиция: повернуть голову вместо того, чтобы делить фигуру

До сих пор мы резали фигуру вертикальными полосками. Но это выбор, а не закон природы. Полоски можно нарезать и горизонтально — тогда роль «высоты» играет горизонтальный размер фигуры, роль независимой переменной — $y$, и всё рассуждение из урока 147 повторяется дословно с переставленными буквами.

Площадь через интегрирование по $y$: если фигура ограничена слева и справа кривыми $x = \varphi_{\text{лев}}(y)$ и $x = \varphi_{\text{прав}}(y)$, а снизу и сверху горизонталями $y = c$ и $y = d$, то

$$S = \int_c^d \bigl(\varphi_{\text{прав}}(y) - \varphi_{\text{лев}}(y)\bigr)\,dy.$$

Это та же формула «из большего вычесть меньшее», только «верх и низ» заменились на «право и лево». Никакой новой теории — просто другая нарезка той же фигуры.

Зачем оно нужно? Затем, что выбор нарезки может отличаться в разы по объёму работы. Правило простое: режь так, чтобы у каждой полоски было по одной формуле на каждый конец. Если при движении вдоль $x$ верхняя (или нижняя) граница фигуры вдруг меняет формулу — придётся разбивать на несколько интегралов. Если при движении вдоль $y$ такого не происходит — интегрируй по $y$.

Классический пример: парабола, лежащая на боку

Найдём площадь фигуры, ограниченной параболой $y^2 = x$ и прямой $y = x - 2$.

Сначала разберёмся с картинкой. Уравнение $y^2 = x$ задаёт параболу, раскрытую вправо, с вершиной в начале координат и осью симметрии $Ox$. Как функция от $x$ она распадается на две ветви: $y = \sqrt x$ (верхняя) и $y = -\sqrt x$ (нижняя). Прямая $y = x - 2$, она же $x = y + 2$, пересекает параболу там, где $y^2 = y + 2$, то есть $y^2 - y - 2 = 0$, корни $y = 2$ и $y = -1$. Соответствующие точки: $(4; 2)$ и $(1; -1)$.

Способ первый — по $x$. Двигаясь слева направо, замечаем неприятность. На отрезке $x \in [0; 1]$ фигура зажата между двумя ветвями параболы: сверху $y = \sqrt x$, снизу $y = -\sqrt x$. А на отрезке $x \in [1; 4]$ нижней границей становится уже прямая $y = x - 2$. Формула нижней границы меняется в точке $x = 1$, значит нужны два интеграла.

Верхняя подстановка: $\frac23\cdot 8 - 8 + 8 = \frac{16}{3}$. Нижняя: $\frac23 - \frac12 + 2 = \frac{4 - 3 + 12}{6} = \frac{13}{6}$.

Способ второй — по $y$. Теперь режем горизонтально. Каждая горизонтальная полоска начинается на параболе ($x = y^2$, это левая граница) и заканчивается на прямой ($x = y + 2$, правая граница). Никаких смен формул: одна пара границ на всю фигуру, от $y = -1$ до $y = 2$.

Верхняя подстановка: $2 + 4 - \frac83 = \frac{18 - 8}{3} = \frac{10}{3}$. Нижняя: $\frac12 - 2 + \frac13 = \frac{3 - 12 + 2}{6} = -\frac76$.

Ответ: $S = \dfrac92 = 4{,}5$ — и оба способа сошлись ✅ Численная проверка обоими путями: $\frac43 + \frac{19}{6} = 4{,}5$ и $\int_{-1}^{2}(y+2-y^2)dy = 4{,}5$; Монте-Карло по прямоугольнику $[0;4]\times[-1;2]$ даёт $4{,}5006$ ✅

Разница в трудозатратах видна невооружённым глазом: два интеграла с дробными степенями против одного интеграла от многочлена. При этом ответ, разумеется, один и тот же — площадь не зависит от того, как её резали.

Как быстро понять, по какой переменной интегрировать

Держи короткий тест.

• Проведи мысленно вертикальную прямую и потяни её слева направо через фигуру. Считай, сколько раз меняется формула верхней или нижней границы. Это число интегралов при интегрировании по $x$.
• Проведи горизонтальную прямую и потяни её снизу вверх. Столько же раз посчитай смену формул левой и правой границы. Это число интегралов при интегрировании по $y$.
• Выбирай меньшее. При равенстве выбирай ту переменную, где первообразные проще.

Отдельная подсказка: если в условии фигурирует уравнение вида $y^2 = \ldots$ или $x = \varphi(y)$, это почти всегда намёк, что удобнее по $y$. Парабола с горизонтальной осью, «лежащий» корень, кривая, заданная через $x$ — все они как функции от $x$ двузначны, а как функции от $y$ однозначны.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Найди площадь фигуры, ограниченной параболой $x = y^2$ и прямой $x = 4$.

По $y$: границы $y^2 = 4$, то есть $y = \pm 2$. Левая граница фигуры — парабола, правая — вертикаль $x = 4$.

Ответ: $S = \dfrac{32}{3} \approx 10{,}67$.

По $x$ это же считалось бы как $\int_0^4 2\sqrt x\,dx = \frac43 x^{3/2}\big|_0^4 = \frac{32}{3}$ — здесь оба способа одинаково коротки, потому что фигура симметрична и границы не переключаются.

Пример 2 (средний). Найди площадь фигуры, ограниченной кривой $x = y^2$ и прямой $x = 3 - 2y$.

Пересечения: $y^2 = 3 - 2y$, то есть $y^2 + 2y - 3 = 0$, корни $y = 1$ и $y = -3$.

Пробная точка $y = 0$: парабола даёт $x = 0$, прямая даёт $x = 3$. Прямая правее.

Верхняя подстановка: $3 - 1 - \frac13 = \frac53$. Нижняя: $-9 - 9 + 9 = -9$.

Ответ: $S = \dfrac{32}{3}$. Численная проверка: $10{,}6667$ ✅

Пример 3 (сложный). Найди площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \ln x$, $y = 0$, $y = 1$ и $x = 0$.

Попробуем по $x$. Фигура зажата между осью $Oy$ слева и кривой $y = \ln x$... и тут выясняется, что для $x \in [0; 1]$ верхняя граница — прямая $y = 1$, нижняя — ось $y = 0$, а для $x \in [1; e]$ нижней границей становится логарифм. Два интеграла, причём во втором нужна первообразная логарифма $x\ln x - x$.

Теперь по $y$. Каждая горизонтальная полоска идёт от оси $Oy$ (то есть $x = 0$) до кривой. Выразим $x$ из $y = \ln x$: получаем $x = e^{y}$. Одна пара границ, $y$ меняется от $0$ до $1$:

Ответ: $S = e - 1$.

Сравни объём работы: один табличный интеграл против двух, один из которых требует интегрирования по частям. Правильно выбранная переменная — это не косметика, а иногда разница между «полстроки» и «полстраницы».

Почему это важно

Умение посмотреть на фигуру «с другой стороны» — общематематический навык, который дальше встречается постоянно: в кратных интегралах его называют сменой порядка интегрирования, и там он превращает неберущийся интеграл в берущийся. Но и на школьном уровне выгода прямая: меньше интегралов — меньше шансов ошибиться в границах. А заодно этот раздел ломает вредную привычку считать, что $x$ обязана быть аргументом, а $y$ — значением. Фигура на плоскости не знает, какая из осей «главная»; это мы выбираем удобное описание.

Фигуры, ограниченные тремя и более линиями

Интуиция: сначала рисунок, потом интеграл

Когда в условии перечислены три-четыре линии, главная работа делается до всякого интегрирования. Нужно понять, какая именно из областей, на которые эти линии режут плоскость, имеется в виду, и где у неё границы.

Порядок действий одинаков всегда.

1. Найти все точки попарного пересечения перечисленных линий.
2. Набросать эскиз — грубо, от руки, важна только конфигурация.
3. Выделить нужную область и определить её границы сверху и снизу (или слева и справа).
4. Проверить, не меняется ли формула границы внутри — если меняется, разбить.
5. Посчитать и сложить.

Пункты 1–4 — это девяносто процентов задачи. Пятый — механика, которой ты владеешь с урока 148.

Кривая, касательная и ось

Самый содержательный класс таких задач — с касательной, потому что здесь встречаются два блока курса: производная из уроков 133–137 даёт уравнение касательной, интеграл даёт площадь.

Напомню уравнение касательной к графику $y = f(x)$ в точке $x_0$:

Задача. Найди площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$, касательной к ней в точке с абсциссой $x_0 = 2$ и осью $Ox$.

Шаг 1. Касательная. $f(2) = 4$, $f'(x) = 2x$, $f'(2) = 4$. Значит

Шаг 2. Конфигурация. Касательная пересекает ось $Ox$ в точке $x = 1$ (из $4x - 4 = 0$). Парабола касается оси в начале координат. Искомая фигура лежит между параболой сверху и «полом», который на отрезке $[0; 1]$ есть ось $Ox$, а на отрезке $[1; 2]$ — касательная.

Шаг 3. Способ А, честное разбиение.

Первый: $\frac13$. Второй: подынтегральная функция равна $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$, первообразная $\frac{(x-2)^3}{3}$, подстановка даёт $0 - \left(-\frac13\right) = \frac13$. Итого $S = \frac13 + \frac13 = \frac23$.

Шаг 4. Способ Б, вычитание треугольника. Площадь под параболой на $[0;2]$ равна $\int_0^2 x^2 dx = \frac83$. Из неё надо выбросить треугольник, отрезанный касательной: вершины $(1; 0)$, $(2; 0)$, $(2; 4)$, катеты $1$ и $4$, площадь $\frac{1\cdot 4}{2} = 2$.

Ответ: $S = \dfrac23 \approx 0{,}667$. Оба способа совпали ✅ Численная проверка методом Монте-Карло по прямоугольнику $[0;2]\times[0;4]$: $0{,}6662$ ✅

Способ Б стоит взять на вооружение: если часть границы прямолинейна, соответствующий кусок часто считается как площадь треугольника или трапеции без всякого интеграла. Меньше работы и меньше поводов ошибиться.

Ещё одно наблюдение, которое пригодится дальше. Разность «парабола минус касательная» оказалась полным квадратом $(x-2)^2$. Это не совпадение: касательная приближает функцию так, что разность имеет двойной корень в точке касания. Для любой параболы $y = ax^2+bx+c$ и касательной в точке $x_0$ разность равна ровно $a(x - x_0)^2$. Отсюда мгновенная формула: площадь между параболой и её касательной на отрезке от $x_0$ до $x_1$ равна $\frac{|a|\,|x_1-x_0|^3}{3}$. Проверим на нашей задаче: $a = 1$, отрезок от $2$ до $1$ длины $1$, получаем $\frac13$ — ровно второй интеграл ✅

Парабола и хорда: формула Архимеда

Задача. Найди площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 4 - x^2$ и прямой, проходящей через точки $(-1; 3)$ и $(2; 0)$.

Шаг 1. Уравнение прямой. Угловой коэффициент $k = \dfrac{0 - 3}{2 - (-1)} = -1$, тогда $y = 3 - 1\cdot(x + 1) = 2 - x$. Проверка: при $x = 2$ получаем $0$ ✅, при $x = -1$ получаем $3$ ✅

Шаг 2. Пределы. Обе данные точки лежат и на параболе: $4 - 1 = 3$ ✅ и $4 - 4 = 0$ ✅ Значит пределы $-1$ и $2$.

Шаг 3. Кто сверху. Пробная точка $x = 0$: парабола $4$, прямая $2$. Парабола выше.

Верхняя подстановка: $4 + 2 - \frac83 = \frac{10}{3}$. Нижняя: $-2 + \frac12 + \frac13 = \frac{-12 + 3 + 2}{6} = -\frac76$.

Ответ: $S = 4{,}5$. Численная проверка: quad даёт $4{,}5$, Монте-Карло — $4{,}4978$ ✅

А теперь фокус. Разность «парабола минус хорда» — это квадратный трёхчлен с корнями $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$ и старшим коэффициентом $-1$. Для любого такого трёхчлена интеграл между корнями считается по формуле, которую полезно знать наизусть:

У нас $|a| = 1$, $x_2 - x_1 = 3$, значит $S = \frac{27}{6} = 4{,}5$ — тот же ответ за одну строку ✅ Эту формулу иногда называют «формулой параболического сегмента»; она и есть современная запись результата Архимеда о $\frac43$ вписанного треугольника. Проверь связь сам: вписанный треугольник с основанием-хордой и вершиной в точке параболы, где касательная параллельна хорде, имеет площадь $\frac{|a|(x_2-x_1)^3}{8}$, а $\frac43\cdot\frac{|a|(x_2-x_1)^3}{8} = \frac{|a|(x_2-x_1)^3}{6}$ ✅

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Найди площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 3$.

Все четыре линии заданы явно, разбиений нет:

Ответ: $S = \dfrac{26}{3}$.

Пример 2 (средний). Найди площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$ и её касательной в точке $x_0 = 1$, а также осью $Oy$.

Касательная: $f(1) = 1$, $f'(1) = 2$, уравнение $y = 1 + 2(x-1) = 2x - 1$.

На отрезке $[0; 1]$ парабола лежит выше касательной (пробная точка $x = 0$: парабола даёт $0$, касательная $-1$). Разность — полный квадрат:

Ответ: $S = \dfrac13$. Сверка с быстрой формулой: $\frac{|a||x_1-x_0|^3}{3} = \frac{1\cdot 1}{3} = \frac13$ ✅

Пример 3 (сложный). Найди площадь фигуры, ограниченной гиперболой $y = \dfrac1x$ и прямой $y = \dfrac52 - x$.

Пересечения. $\dfrac1x = \dfrac52 - x$. Умножаем на $x$ (корни положительны, деление на ноль исключено): $1 = \frac52 x - x^2$, то есть $x^2 - \frac52 x + 1 = 0$, или $2x^2 - 5x + 2 = 0$. Дискриминант $25 - 16 = 9$, корни $x = \frac{5 \pm 3}{4}$, то есть $x = 2$ и $x = \frac12$.

Кто сверху. Пробная точка $x = 1$: гипербола даёт $1$, прямая — $1{,}5$. Прямая выше.

Верхняя подстановка: $5 - 2 - \ln 2 = 3 - \ln 2$.

Нижняя: $\frac54 - \frac18 - \ln\frac12 = \frac98 + \ln 2$.

Ответ: $S = \dfrac{15}{8} - 2\ln 2 \approx 0{,}49$. Численная проверка: quad даёт $0{,}48871$, Монте-Карло — $0{,}48858$ ✅

Обрати внимание на структуру ответа: он содержит логарифм, потому что гипербола — единственная функция из таблицы, чья первообразная выпадает из класса степенных. И на величину: фигура тонкая, площадь меньше половины — прикидка по описанному прямоугольнику $1{,}5 \times 1$ даёт верхнюю оценку $1{,}5$, и ответ $0{,}49$ в неё уверенно укладывается.

Почему это важно

Задачи «на три линии» — это тренировка перевода с языка картинки на язык формул, а он в прикладной работе нужен постоянно. Инженер, который считает площадь сечения детали, аналитик, который считает объём между кривой спроса и ценой, физик, который считает работу как площадь под кривой давления, — все делают ровно то же самое: разбираются, какая функция сверху, где границы и где формула переключается. Само интегрирование при этом занимает последние тридцать секунд.

Объём тела вращения

Интуиция: та же нарезка, только на диски

Возьмём криволинейную трапецию под графиком $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$ и раскрутим её вокруг оси $Ox$. Получится тело вращения — что-то вроде вазы, точёной на токарном станке: любое его сечение плоскостью, перпендикулярной оси, есть круг.

Повторим рассуждение из урока 147 дословно, поменяв только форму кусочков. Разобьём отрезок на $n$ частей точками $a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$ с шагом $\Delta x$. Каждая вертикальная полоска при вращении даёт тонкий «блин». Если полоска узкая, высота $f$ на ней почти не меняется, и блин почти неотличим от цилиндрического диска радиуса $f(x_i)$ и толщины $\Delta x$. Объём такого диска — площадь круга на толщину:

Суммируем по всем дискам:

Справа стоит интегральная сумма для функции $\pi f^2(x)$ — та же конструкция, что и для площади, просто под знаком суммы теперь квадрат, умноженный на $\pi$. Переходя к пределу при $\Delta x \to 0$, получаем формулу.

Объём тела вращения вокруг оси $Ox$:

$$V = \pi\int_a^b f^2(x)\,dx.$$

Три вещи стоит проговорить сразу.

Квадрат — не описка. Радиус диска равен $f(x)$, а площадь круга — $\pi R^2$. Поэтому под интегралом именно $f^2$, а не $f$. Это самая частая ошибка темы.

Знак не важен. Функция $f^2$ неотрицательна всегда, поэтому объём получается положительным автоматически, даже если график целиком под осью. Никаких разбиений на участки знакопостоянства здесь не нужно: тело, полученное вращением куска под осью, ничем не отличается от тела, полученного вращением его зеркального отражения.

Складывать площади нельзя, складывать объёмы можно. Если фигура состоит из нескольких кусков вдоль оси, их объёмы просто суммируются — аддитивность из урока 147 работает и здесь.

Проверка на известных телах

Формула, выведенная рассуждением, обязана воспроизводить то, что мы знаем из стереометрии. Это лучший способ ей поверить — и заодно первое в курсе честное доказательство школьных формул объёма, которые до сих пор приходилось принимать без вывода.

Конус. Прямой круговой конус с радиусом основания $R$ и высотой $h$ получается вращением прямоугольного треугольника, то есть графика прямой $y = \dfrac{R}{h}x$ на отрезке $[0; h]$.

Совпало с формулой из стереометрии ✅ Заодно стало видно, откуда берётся загадочная треть: она приходит из первообразной $x^2$, то есть в конечном счёте из того, что радиус сечения растёт линейно, а площадь — квадратично.

Шар. Шар радиуса $R$ — тело вращения полукруга, то есть графика $y = \sqrt{R^2 - x^2}$ на отрезке $[-R; R]$.

Тоже совпало ✅ Численная проверка при $R = 3$: интеграл даёт $113{,}0973$, а $\frac43\pi\cdot 27 = 113{,}0973$ ✅ Обрати внимание, насколько просто: квадрат корня убрал корень, и интеграл стал многочленом. Именно поэтому объёмы тел вращения часто считаются легче, чем площади тех же фигур — квадрат в формуле работает нам на пользу.

Заодно проверим Архимеда. Описанный вокруг шара цилиндр имеет радиус $R$ и высоту $2R$, значит его объём равен $\pi R^2 \cdot 2R = 2\pi R^3$. Отношение объёмов: $\dfrac{4\pi R^3/3}{2\pi R^3} = \dfrac23$ — ровно тот результат, которым Архимед просил украсить своё надгробие ✅

Вращение вокруг оси $Oy$

Если фигура вращается вокруг вертикальной оси, поменяются местами роли переменных — ровно как в разделе про интегрирование по $y$. Теперь нарезаем горизонтальными дисками: диск на высоте $y$ имеет радиус $\varphi(y)$, где $x = \varphi(y)$ — уравнение кривой, разрешённое относительно $x$.

Объём тела вращения вокруг оси $Oy$:

$$V = \pi\int_c^d \varphi^2(y)\,dy.$$

Пример. Фигура, ограниченная параболой $y = x^2$, прямой $y = 4$ и осью $Oy$, вращается вокруг оси $Oy$. Выражаем $x$: при $x \geqslant 0$ имеем $x = \sqrt y$. Пределы по $y$: от $0$ до $4$.

Численная проверка: $25{,}1327$ ✅ Полученное тело называется параболоидом вращения; из него, кстати, делают зеркала телескопов и антенны спутниковых тарелок.

Метод колец: тело с полостью

А если фигура не примыкает к оси вращения? Тогда у тела появляется осевая полость, и сечение — не круг, а кольцо: между внешним радиусом $f_{\text{верх}}(x)$ и внутренним $f_{\text{нижн}}(x)$.

Площадь кольца равна разности площадей кругов, поэтому

Метод колец: если фигура зажата между графиками $f_{\text{верх}} \geqslant f_{\text{нижн}} \geqslant 0$ на $[a;b]$ и вращается вокруг $Ox$, то

$$V = \pi\int_a^b\Bigl(f_{\text{верх}}^2(x) - f_{\text{нижн}}^2(x)\Bigr)dx.$$

🚫 Внимание на скобки. Под интегралом стоит разность квадратов, а не квадрат разности:

Это самая дорогая ошибка раздела. Логика простая: складываются и вычитаются площади сечений, а площадь сечения — это $\pi R^2$. Радиусы вычитать нельзя, круги — можно.

Пример. Фигура между $y = x$ и $y = x^2$ на отрезке $[0; 1]$ вращается вокруг $Ox$. На этом отрезке $x \geqslant x^2$, значит внешний радиус — прямая, внутренний — парабола.

Численная проверка: $0{,}41888$ ✅ Для сравнения, ошибочный «квадрат разности» дал бы $\pi\int_0^1 (x - x^2)^2 dx = \pi\left(\frac13 - \frac24 + \frac15\right) = \frac{\pi}{30} \approx 0{,}105$ — вчетверо меньше правильного. Расхождение заметное, и если помнить порядок величины, ошибка ловится прикидкой.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Найди объём тела, полученного вращением вокруг оси $Ox$ фигуры под графиком $y = \sqrt x$ на отрезке $[0; 4]$.

Ответ: $V = 8\pi$. Прикидка: тело вписано в цилиндр радиуса $2$ и длины $4$, объём которого $\pi\cdot4\cdot4 = 16\pi$. Наш ответ — ровно половина, и это правдоподобно: тело заметно сужается к началу.

Пример 2 (средний). Найди объём усечённого конуса, полученного вращением вокруг $Ox$ трапеции под прямой $y = 1 + \dfrac{x}{2}$ на отрезке $[0; 4]$.

Радиусы оснований: $f(0) = 1$ и $f(4) = 3$, высота $4$.

Первообразная по правилу линейной подстановки из урока 145: для $\left(1+\frac x2\right)^2$ она равна $\dfrac{\left(1+\frac x2\right)^3}{3}\cdot 2 = \dfrac{2}{3}\left(1+\frac x2\right)^3$.

Ответ: $V = \dfrac{52\pi}{3}$. Проверка по стереометрической формуле объёма усечённого конуса $V = \frac{\pi h}{3}\left(R_1^2 + R_1R_2 + R_2^2\right) = \frac{\pi\cdot 4}{3}(1 + 3 + 9) = \frac{52\pi}{3}$ ✅ Численно: $54{,}4543$ ✅

Пример 3 (сложный). Найди объём тела, полученного вращением вокруг оси $Ox$ фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$ и прямой $y = 2x$.

Пределы уже известны: $x$ от $0$ до $2$. Внешний радиус — прямая ($2x$), внутренний — парабола ($x^2$).

Ответ: $V = \dfrac{64\pi}{15}$.

Сравни с площадью той же фигуры — она была равна $\frac43 \approx 1{,}33$. Между площадью и объёмом нет простой пропорции: объём зависит от того, насколько далеко фигура от оси, а площадь — нет. Сдвинь фигуру вверх на пять единиц, и площадь не изменится, а объём вырастет в несколько раз. Это, кстати, содержание теоремы Паппа–Гульдина, о которой шла речь в историческом разделе.

Почему это важно

Формула объёма тела вращения — первый случай, когда интеграл выходит за пределы плоскости. И этот выход концептуально важнее, чем кажется: он показывает, что интеграл — не «площадь под кривой», а машина для суммирования бесконечно многих бесконечно малых вкладов. Площадь была одним применением, объём — вторым, а дальше та же машина посчитает работу, массу и заряд. Меняется только то, что стоит под знаком интеграла; конструкция всегда одна: разбить, приблизить простой формулой, просуммировать, перейти к пределу. Научиться узнавать эту конструкцию в задаче важнее, чем помнить любую конкретную формулу.

Прикидка: защита от абсурдного ответа

Интуиция: посмотри на картинку, прежде чем поверить формуле

Ошибка в пределах, потерянный знак, перепутанный порядок вычитания — всё это даёт не «немного неточный» ответ, а ответ, который расходится с истиной в разы или оказывается отрицательным. Такие ошибки ловятся мгновенно, если завести привычку оценивать площадь до вычисления.

Три приёма, которые занимают секунды.

Приём 1: описанный прямоугольник. Найди наибольшее значение высоты фигуры $H$ и её ширину $L$. Тогда $S < H\cdot L$ — гарантированно, без всяких оговорок. Если полученный ответ больше — где-то ошибка.

Приём 2: доля прямоугольника на глаз. У «выпуклых вниз» фигур вроде параболы доля обычно около трети, у выпуклых вверх — около двух третей, у почти прямолинейных — около половины. Точнее не нужно: задача прикидки — отличить $\frac{19}{3}$ от $\frac{2}{3}$, а не $6{,}33$ от $6{,}31$.

Приём 3: клеточки. Если фигура нарисована на клетчатой бумаге, посчитай полные клетки внутри и прибавь примерно половину числа клеток, которые граница пересекает. Метод грубый, но ошибку в разы он ловит железно. Это, между прочим, не школьный костыль: в геоинформатике площади нерегулярных областей на растровых картах считают ровно так, только клетки называются пикселями.

Проверка знака и порядка. Ещё два вопроса, которые надо задать себе всегда.

• Ответ положителен? Площадь и объём отрицательными не бывают. Отрицательный результат означает перепутанный порядок вычитания или пределов.
• Ответ не равен подозрительному нулю? Ноль почти всегда означает, что забыто разбиение по нулям функции и куски погасили друг друга.

Разбор примеров

Пример 1 (простой). Оцени, а потом посчитай площадь фигуры под $y = x^2$ на $[0; 3]$.

Прикидка: прямоугольник $3\times 9 = 27$, парабола выпукла вниз, доля примерно треть, ожидаем около $9$. Точный ответ: $\int_0^3 x^2 dx = 9$ ✅ Прикидка попала точно, потому что для параболы доля равна ровно $\frac13$.

Пример 2 (средний). Студент посчитал площадь фигуры между $y = x^2$ и $y = 2x$ и получил $-\dfrac43$. Найди ошибку без пересчёта.

Отрицательный ответ для площади невозможен. Значит вычитание пошло не в ту сторону: взято $\int_0^2 (x^2 - 2x)dx$ вместо $\int_0^2 (2x - x^2)dx$. Правильный ответ — $\frac43$, а модуль полученного числа как раз с ним совпадает. Урок: пробная точка внутри интервала занимает пять секунд и снимает эту ошибку полностью.

Пример 3 (сложный). Студент посчитал площадь фигуры между $y = \sin x$ и осью на отрезке $[0; 2\pi]$ и получил $0$. Оцени, каким должен быть ответ.

Прикидка: две арки, каждая вписана в прямоугольник $\pi\times 1 \approx 3{,}14$, каждая заполняет его примерно на две трети, итого около $2 \cdot 2 = 4$. Ноль невозможен: фигура явно непустая. Значит забыто разбиение по нулю $x = \pi$. Точный ответ $4$ ✅ Прикидка совпала с точным ответом, потому что доля $\frac{2}{\pi} \approx 0{,}637$ — как раз «примерно две трети».

Почему это важно

Привычка прикидывать — это инженерная культура, а не школьный ритуал. В расчётах реальных конструкций и в анализе данных ошибка на порядок случается регулярно, и почти всегда её ловит не формальная проверка, а вопрос «а сколько тут вообще должно получиться?». Тот же приём стоит за словом sanity check в программировании: прежде чем смотреть на результат модели, посмотри, лежит ли он в физически возможном диапазоне. Метрика качества больше единицы, отрицательная вероятность, площадь под ROC-кривой $1{,}4$ — всё это ловится за секунду, если ты знаешь, чего ждёшь.

Площади и интегралы в машинном обучении и статистике

Это тот редкий случай, когда школьная тема попадает в прикладную область буквально, без метафор. Три из самых употребительных метрик качества моделей — AUC-ROC, AUC-PR и коэффициент Джини — по определению являются площадями. Не «чем-то похожим на площадь», а площадью под кривой или между кривыми, посчитанной ровно теми правилами, которые мы разбирали весь урок.

AUC-ROC: площадь под кривой, у которой есть вероятностный смысл

Пусть модель бинарной классификации выдаёт не метку, а скор — число, тем большее, чем увереннее модель в положительном классе. Чтобы получить метку, скор сравнивают с порогом. Двигая порог от максимума к минимуму, мы получаем разные пары ошибок, и каждая пара даёт точку на плоскости:

• по горизонтали FPR — доля отрицательных объектов, ошибочно признанных положительными;
• по вертикали TPR — доля положительных объектов, правильно найденных.

Ломаная, которую эти точки образуют при движении порога, называется ROC-кривой, а площадь под ней — AUC (area under curve). Идеальный классификатор проходит через угол $(0; 1)$ и даёт $\text{AUC} = 1$. Случайное угадывание даёт диагональ и $\text{AUC} = 0{,}5$.

Ключевой факт, который стоит понимать, а не заучивать: AUC равна вероятности того, что случайно взятый положительный объект получит больший скор, чем случайно взятый отрицательный.

Причина в том, как устроена ROC-кривая. Опуская порог на один объект, мы либо делаем шаг вверх (если этот объект положительный), либо шаг вправо (если отрицательный). Каждый шаг вправо на $\frac{1}{n_-}$ добавляет к площади прямоугольник высотой, равной текущему TPR, то есть доле положительных объектов, у которых скор уже выше. Просуммировав по всем отрицательным объектам, получаем долю пар «положительный выше отрицательного» среди всех $n_+ \cdot n_-$ пар. Это статистика Манна–Уитни, и связь между ней и AUC — стандартный результат непараметрической статистики.

Числовой пример. Пусть модель выдала скоры: положительным объектам $0{,}9$, $0{,}7$, $0{,}6$, $0{,}4$; отрицательным $0{,}8$, $0{,}5$, $0{,}35$, $0{,}2$.

Считаем пары. Скор $0{,}9$ больше всех четырёх отрицательных — $4$ пары. Скор $0{,}7$ больше трёх ($0{,}5$; $0{,}35$; $0{,}2$) — $3$. Скор $0{,}6$ тоже больше трёх — $3$. Скор $0{,}4$ больше двух — $2$. Всего $4+3+3+2 = 12$ выигранных пар из $4\cdot 4 = 16$:

Теперь посчитаем ту же величину как площадь. Опуская порог, получаем ломаную с вершинами $(0;0) \to (0; 0{,}25) \to (0{,}25; 0{,}25) \to (0{,}25; 0{,}75) \to (0{,}5; 0{,}75) \to (0{,}5; 1) \to (1; 1)$. Площадь под ней складывается из прямоугольников и равна $0{,}25\cdot 0{,}25 + 0{,}25\cdot 0{,}75 + 0{,}5\cdot 1 = 0{,}0625 + 0{,}1875 + 0{,}5 = 0{,}75$ ✅ Два совершенно разных счёта дали одно число.

В коде площадь под уже построенной кривой считают трапецеидальным правилом: sklearn.metrics.auc(fpr, tpr) внутри вызывает численное интегрирование по точкам, а numpy предоставляет то же самое как np.trapz (в новых версиях — np.trapezoid). Логика трапеций ровно та, что мы обсуждали: между соседними точками кривую заменяют отрезком, площадь каждой трапеции равна полусумме оснований на ширину.

AUC-PR: почему на несбалансированных данных честнее другая площадь

У ROC-кривой есть неприятное свойство: FPR — это доля от числа отрицательных объектов, а если отрицательных миллион, а положительных сто, то тысяча ложных срабатываний меняет FPR всего на $0{,}001$. Кривая почти не шелохнётся, а модель при этом на практике непригодна: среди её срабатываний в основном мусор.

Поэтому для сильно несбалансированных задач — фрод, редкие болезни, поиск дефектов — строят PR-кривую: по горизонтали полнота (recall), по вертикали точность (precision). Площадь под ней (average precision, AUC-PR) реагирует на ложные срабатывания болезненно, потому что точность считается как доля от числа срабатываний, а не от числа отрицательных объектов. Базовый уровень тут тоже другой: случайная модель даёт не $0{,}5$, а долю положительного класса. При доле положительных $1\%$ AUC-PR случайной модели равна $0{,}01$, и любое сравнение надо вести относительно этого уровня.

Практический вывод: выбор кривой определяет, какую площадь ты меряешь, а значит и какую модель признаешь лучшей. Две модели могут иметь одинаковый AUC-ROC и разный AUC-PR в разы.

Коэффициент Джини: площадь между кривыми в чистом виде

Кривая Лоренца показывает, какая доля общего ресурса приходится на беднейшую долю населения (или: какая доля дефолтов приходится на клиентов с худшими скорами). По горизонтали — накопленная доля объектов $x$, по вертикали — накопленная доля ресурса $L(x)$. Идеальное равенство даёт диагональ $L(x) = x$.

Коэффициент Джини — это удвоенная площадь между диагональю и кривой Лоренца:

Знаменатель $\frac12$ — площадь треугольника под диагональю, она нормирует ответ так, чтобы $G$ лежал между $0$ (полное равенство) и $1$ (всё у одного).

Числовой пример. Пусть $L(x) = x^2$. Площадь между кривыми:

Численная проверка: $0{,}16667$ и $0{,}33333$ ✅ Это ровно та задача «площадь между двумя кривыми», которую мы решали в третьем разделе, просто одна из кривых — диагональ.

В кредитном скоринге и в рекламных моделях Джини используют как метрику качества ранжирования, и там он связан с AUC простой формулой:

Проверь на нашем примере с ROC: $\text{AUC} = 0{,}75$, значит $G = 0{,}5$. Формула следует прямо из геометрии: AUC отсчитывается от диагонали, площадь между ROC-кривой и диагональю равна $\text{AUC} - 0{,}5$, а нормировка на площадь треугольника $\frac12$ удваивает эту разность.

Площадь между кривыми обучения

Классический график диагностики модели: по горизонтали эпохи (или размер обучающей выборки), по вертикали — ошибка на обучении и ошибка на валидации. Две кривые, и расстояние между ними — это переобучение.

Площадь между ними,

даёт одно число вместо картинки: накопленный за всё обучение разрыв. Считается по точкам тем же np.trapz. Полезна, когда моделей десятки и глазами графики не пересмотришь: сортируешь по этой площади и смотришь на худшие. Тот же приём работает для сравнения кривых «качество против размера выборки» у двух алгоритмов — площадь между ними показывает, кто выигрывает на всём диапазоне, а не в одной точке.

Площадь пересечения плотностей: насколько похожи два распределения

Если у тебя есть плотности $p(x)$ и $q(x)$ двух распределений, площадь под их поточечным минимумом

называется коэффициентом перекрытия (overlap coefficient). Он равен $1$, если распределения совпадают, и стремится к $0$, когда они расходятся. Геометрически это площадь общей части двух «горок» — и снова обычная площадь фигуры, просто верхняя граница задана как минимум двух функций, то есть кусочно.

Числовой пример. Для двух нормальных распределений с одинаковым разбросом $\sigma = 1$ и сдвигом $\mu$ перекрытие считается в явном виде: $\text{OVL} = 2\Phi\left(-\frac{|\mu|}{2}\right)$. При $\mu = 1$ получаем $2\Phi(-0{,}5) \approx 0{,}617$. Численное интегрирование минимума двух плотностей даёт $0{,}61708$ ✅ То есть распределения, сдвинутые на одно стандартное отклонение, перекрываются почти на две трети — полезная интуиция для оценки того, насколько вообще различимы два класса.

Практическое применение — детекция дрейфа данных. Когда распределение признака в проде уезжает от того, что было при обучении, модель тихо деградирует. Ловят это метриками, устроенными как площадь: PSI (population stability index), расстояние полной вариации (половина площади между плотностями), расстояние Хеллингера, статистика Колмогорова–Смирнова (правда, она про максимум расхождения функций распределения, а не про площадь). Все они — разные способы измерить, насколько две кривые разошлись.

Калибровка: площадь отклонения от диагонали

Модель называется калиброванной, если среди объектов, которым она дала вероятность $0{,}7$, действительно примерно $70\%$ положительных. Проверяют это калибровочной кривой: по горизонтали предсказанная вероятность, по вертикали — наблюдаемая доля. Идеал — диагональ.

Площадь между калибровочной кривой и диагональю (в интегральной форме — ECE, expected calibration error, считаемая как взвешенная сумма отклонений по корзинам) измеряет систематическую переуверенность или недоуверенность модели. Это важно там, где вероятность используется в дальнейших расчётах: в медицине, в кредитном скоринге, в ставках. Модель может иметь отличный AUC и при этом быть безнадёжно некалиброванной — AUC зависит только от порядка объектов, а калибровка от абсолютных значений.

Когда есть точки, а не формула

Общая черта всего перечисленного: в реальности под интегралом никогда не стоит формула. Есть массив измеренных точек, и площадь считают численно.

Это трапецеидальное правило — то же самое, что интегральная сумма из урока 147, только вместо прямоугольников трапеции. В коде: np.trapz(y, x) (или np.trapezoid), scipy.integrate.trapezoid, scipy.integrate.simpson для более точного варианта. А когда формула всё-таки есть, но первообразная не берётся — работает scipy.integrate.quad, тот самый инструмент, которым проверены все числа этого урока.

Почему это важно

В ML площадь под кривой — это способ свернуть целую кривую компромиссов в одно число, по которому можно сравнивать модели. Кривая честнее: она показывает поведение при всех порогах сразу. Но сравнивать кривые попарно глазами невозможно, а числа сравниваются автоматически. Понимание того, что именно это за площадь, спасает от типичных ловушек: гнаться за AUC-ROC на несбалансированных данных, путать ранжирование с калибровкой, считать площадь под кривой, построенной по трём точкам. Всё это — вопросы про геометрию фигуры, и отвечать на них умеет ровно тот аппарат, который мы разобрали сегодня.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1-10)

Задание 1: Найди площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$, осью $Ox$ и прямой $x = 2$.

Задание 2: Найди площадь фигуры, ограниченной графиком $y = 3x^2 + 2x$, осью $Ox$ и прямыми $x = 1$, $x = 2$.

Задание 3: Найди площадь фигуры, ограниченной графиком $y = \dfrac{1}{x^2}$, осью $Ox$ и прямыми $x = 1$, $x = 3$.

Задание 4: Найди площадь фигуры, ограниченной графиком $y = \cos x$ и осью $Ox$ на отрезке $\left[-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right]$.

Задание 5: Найди площадь фигуры, ограниченной графиком $y = e^x$, осью $Ox$ и прямыми $x = 0$, $x = \ln 3$.

Задание 6: Найди площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 4 - x^2$ и осью $Ox$.

Задание 7: Найди площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 - 9$ и осью $Ox$. Сравни ответ со значением интеграла $\int_{-3}^{3}(x^2-9)\,dx$.

Задание 8: Найди площадь фигуры, ограниченной графиком $y = x^3$, осью $Ox$ и прямой $x = -2$.

Задание 9: Найди площадь фигуры, ограниченной графиком $y = \sin x$ и осью $Ox$ на отрезке $\left[0; \dfrac{3\pi}{2}\right]$, и сравни её с интегралом по тому же отрезку.

Задание 10: Найди площадь фигуры, ограниченной прямой $y = x$ и параболой $y = x^2$.

Средние (задания 11-20)

Задание 11: Найди площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$ и прямой $y = x + 2$.

Задание 12: Найди площадь фигуры, ограниченной параболами $y = x^2$ и $y = 8 - x^2$.

Задание 13: Найди площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = \sqrt{x}$ и $y = x^2$.

Задание 14: Найди площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 2x^2$ и прямой $y = x + 3$.

Задание 15: Найди площадь фигуры, ограниченной графиком $y = \sin 2x$ и осью $Ox$ на отрезке $[0; \pi]$.

Задание 16: Найди площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 - 4x + 3$ и осью $Ox$.

Задание 17: Найди площадь фигуры, ограниченной параболой $x = y^2$ и прямой $x = 4$.

Задание 18: Найди площадь фигуры, ограниченной гиперболой $y = \dfrac1x$, осью $Ox$ и прямыми $x = 1$, $x = e^2$.

Задание 19: Найди площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$, касательной к ней в точке с абсциссой $x_0 = 2$ и осью $Oy$.

Задание 20: Фигура, ограниченная кривой $y = \sqrt x$, осью $Ox$ и прямой $x = 4$, вращается вокруг оси $Ox$. Найди объём полученного тела.

Продвинутые (задания 21-30)

Задание 21: Найди площадь фигуры, ограниченной кривыми $y = x^3$ и $y = x$.

Задание 22: Найди площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 6 - x^2$ и прямой $y = x$. Проверь ответ формулой параболического сегмента.

Задание 23: Найди площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \ln x$, $y = 0$, $y = 2$ и $x = 0$.

Задание 24: Найди площадь фигуры, ограниченной гиперболой $y = \dfrac1x$ и прямой $y = \dfrac52 - x$.

Задание 25: Найди площадь фигуры, заключённой между графиками $y = \sin x$ и $y = \cos x$ на отрезке $[0; 2\pi]$.

Задание 26: Выведи формулу объёма шара радиуса $R$ вращением полукруга вокруг оси $Ox$ и посчитай объём при $R = 3$.

Задание 27: Фигура под прямой $y = \dfrac{x}{2}$ на отрезке $[0; 6]$ вращается вокруг оси $Ox$. Найди объём тела и сравни со стереометрической формулой объёма конуса.

Задание 28: Фигура, ограниченная прямой $y = x$ и параболой $y = x^2$, вращается вокруг оси $Ox$. Найди объём тела.

Задание 29: Кривая Лоренца распределения дохода задана функцией $L(x) = \dfrac{x^3 + x}{2}$ на отрезке $[0; 1]$. Найди коэффициент Джини и соответствующее значение AUC.

Задание 30: По результатам классификатора построена ROC-кривая, проходящая через точки $(0; 0)$, $(0{,}1; 0{,}5)$, $(0{,}3; 0{,}8)$, $(0{,}6; 0{,}95)$, $(1; 1)$. Оцени AUC трапецеидальным правилом и найди коэффициент Джини.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: считать интеграл там, где просят площадь

Неправильно: «площадь фигуры, ограниченной $y = \sin x$ и осью на $[0; 2\pi]$, равна $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0$».

Правильно: нули внутри отрезка ($x = \pi$) разбивают его на два участка, площадь равна $|2| + |-2| = 4$.

💡 Почему важно: это ловушка номер один всей темы, и она не про арифметику, а про смысл. Интеграл — площадь со знаком, он ведёт баланс: что над осью, идёт с плюсом, что под осью — с минусом. Геометрическая площадь знака не имеет. Ответ «ноль» для непустой фигуры — сигнал тревоги: почти всегда это значит, что забыто разбиение. Правило: увидел в условии слово «площадь» — сразу ищи нули подынтегральной функции внутри отрезка.

❌ Ошибка 2: разбивать фигуру между двумя кривыми по оси $Ox$

Неправильно: «часть фигуры под осью, значит для неё считаем отдельно и берём модуль».

Правильно: $S = \int_a^b(f_{\text{верх}} - f_{\text{нижн}})dx$ работает независимо от положения фигуры относительно оси.

💡 Почему важно: сдвиг обеих кривых на константу $C$ не меняет ни фигуру, ни разность $f - g$: константы сокращаются внутри скобки. Ось $Ox$ в этой формуле вообще не участвует, она была лишь строительными лесами при первом выводе. Разбивать нужно только там, где кривые меняются местами, то есть в точках их пересечения. Лишнее разбиение по оси не даёт неверный ответ, но удваивает объём работы и создаёт лишние поводы ошибиться.

❌ Ошибка 3: вычесть не в ту сторону

Неправильно: $S = \int_0^2 (x^2 - 2x)\,dx = -\dfrac43$.

Правильно: на $(0; 2)$ прямая выше параболы, значит $S = \int_0^2 (2x - x^2)dx = \dfrac43$.

💡 Почему важно: отрицательная площадь невозможна, поэтому ошибка ловится мгновенно — но лучше её не допускать. Надёжный приём: взять любую точку строго внутри интервала и подставить в обе функции; большая и есть верхняя. Не полагайся на интуицию «парабола круче растёт» — на конкретном интервале сверху может оказаться кто угодно.

❌ Ошибка 4: не проверить, меняется ли «верхняя» функция

Неправильно: для $y = x^3$ и $y = x$ на $[-1; 1]$ посчитать один интеграл $\int_{-1}^{1}(x - x^3)dx = 0$.

Правильно: пересечений три ($-1$, $0$, $1$), на $(-1; 0)$ сверху куб, на $(0; 1)$ сверху прямая; $S = \frac14 + \frac14 = \frac12$.

💡 Почему важно: это та же ловушка, что и первая, но в другой одежде. Здесь под интегралом стоит не сама функция, а разность, и меняет знак именно она. Правило универсальное: сколько корней у разности внутри отрезка, столько и разбиений. Найди все точки пересечения, а не только крайние.

❌ Ошибка 5: перепутать пределы местами

Неправильно: $S = \int_2^0 (2x - x^2)dx = -\dfrac43$.

Правильно: нижний предел — меньшее число: $\int_0^2$.

💡 Почему важно: свойство $\int_a^b = -\int_b^a$ из урока 147 честно меняет знак, и результат оказывается отрицательным. Особенно легко ошибиться, когда корни находятся по формуле и выписываются в порядке $\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$, $\frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$ — то есть сначала больший. Возьми за правило перед интегрированием явно записывать корни в порядке возрастания.

❌ Ошибка 6: забыть про квадрат в формуле объёма

Неправильно: $V = \pi\int_a^b f(x)\,dx$.

Правильно: $V = \pi\int_a^b f^2(x)\,dx$.

💡 Почему важно: радиус диска равен $f(x)$, а площадь круга — $\pi R^2$. Под интегралом стоит площадь сечения, а не радиус. Ошибка мгновенно ловится размерностью: у площади сечения размерность длины в квадрате, у объёма — в кубе. Если под интегралом стоит $f$ в первой степени, объём получится размерности площади — так не бывает.

❌ Ошибка 7: в методе колец возвести разность в квадрат

Неправильно: $V = \pi\int_a^b\bigl(f_{\text{верх}} - f_{\text{нижн}}\bigr)^2 dx$.

Правильно: $V = \pi\int_a^b\bigl(f_{\text{верх}}^2 - f_{\text{нижн}}^2\bigr)dx$.

💡 Почему важно: вычитаются площади кругов, а не радиусы. Разность квадратов и квадрат разности — разные выражения, и расхождение бывает кратным: для фигуры между $y = x$ и $y = x^2$ правильный ответ $\frac{2\pi}{15} \approx 0{,}42$, ошибочный — $\frac{\pi}{30} \approx 0{,}105$, вчетверо меньше. Запомни словами: «сначала в квадрат, потом вычитаем».

❌ Ошибка 8: искать пределы «на глаз» вместо решения уравнения

Неправильно: «графики вроде пересекаются около $x = 1$ и $x = 3$, возьмём эти пределы».

Правильно: решить $f(x) = g(x)$ точно; приближённые пределы дают приближённый и обычно неверный ответ.

💡 Почему важно: ответ в задачах на площадь чувствителен к пределам гораздо сильнее, чем к чему-либо ещё. Особенно коварны случаи, где корни иррациональные: их надо оставлять в точном виде до самого конца, а не округлять по дороге. И отдельная тонкость с уравнениями вида $\sqrt x = x^2$: при возведении в квадрат могут появиться посторонние корни, их нужно отсеять подстановкой.

❌ Ошибка 9: интегрировать по $x$ там, где просится $y$

Неправильно: для фигуры между $y^2 = x$ и $y = x - 2$ честно считать два интеграла с корнями.

Правильно: один интеграл по $y$: $\int_{-1}^{2}\bigl((y+2) - y^2\bigr)dy = \dfrac92$.

💡 Почему важно: оба пути дают верный ответ, но второй короче в разы, а значит вероятность арифметической ошибки в нём ниже. Признак, что стоит перейти к $y$: уравнение кривой содержит $y^2$ или естественно записывается как $x = \varphi(y)$; либо при движении вертикальной прямой формула нижней (верхней) границы переключается, а при движении горизонтальной — нет.

❌ Ошибка 10: не проверить ответ на правдоподобие

Неправильно: получить $S = 47$ для фигуры, которая целиком помещается в квадрат $2\times 2$, и записать это в ответ.

Правильно: до вычисления оценить площадь описанным прямоугольником; после — сверить порядок величины.

💡 Почему важно: прикидка занимает пять секунд и ловит ошибки, которые не ловит ничто другое: неверные пределы, потерянный коэффициент, забытый множитель $\pi$. Три вопроса после каждой задачи: ответ положителен? он меньше площади описанного прямоугольника? он не подозрительно круглый ноль? Если хоть один ответ «нет» — перепроверяй, не сдавай.

Главное запомнить

✅ Интеграл — площадь со знаком, площадь фигуры — всегда положительна. $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0$, а площадь равна $4$. Оба числа верны, они отвечают на разные вопросы.

✅ Базовый случай: при $f(x) \geqslant 0$ на $[a; b]$ площадь криволинейной трапеции равна $S = \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

✅ Если $f \leqslant 0$, интеграл отрицателен, а площадь равна $-\int_a^b f\,dx = \int_a^b |f|\,dx$. Читай это как «сверху ось, снизу график».

✅ Если $f$ меняет знак: найти нули внутри отрезка, разбить, посчитать интеграл по каждому куску, взять модули, сложить. Компактно: $S = \int_a^b|f(x)|\,dx$.

✅ Площадь между кривыми: $S = \int_a^b\bigl(f_{\text{верх}} - f_{\text{нижн}}\bigr)dx$. Формула не зависит от положения фигуры относительно оси — сдвиг обеих кривых на константу сокращается внутри скобки.

✅ Пределы ищут из уравнения $f(x) = g(x)$, а «кто сверху» определяют подстановкой пробной точки строго внутри интервала. Если пересечений больше двух, порядок функций проверяется на каждом участке отдельно.

✅ Интегрирование по $y$: $S = \int_c^d\bigl(\varphi_{\text{прав}}(y) - \varphi_{\text{лев}}(y)\bigr)dy$. Выбирай ту переменную, при которой границы фигуры не переключаются: два интеграла часто превращаются в один.

✅ Фигуры из трёх и более линий требуют эскиза: найти все пересечения, выделить нужную область, проверить, где меняется формула границы. Прямолинейные куски часто считаются как треугольник или трапеция без интеграла.

✅ Парабола и её касательная: разность — полный квадрат $a(x-x_0)^2$, площадь на отрезке длины $d$ от точки касания равна $\dfrac{|a|d^3}{3}$.

✅ Парабола и хорда (формула сегмента): если разность имеет корни $x_1 < x_2$ и старший коэффициент $a$, то $S = \dfrac{|a|(x_2-x_1)^3}{6}$. Это современная запись результата Архимеда о $\frac43$ вписанного треугольника.

✅ Объём тела вращения вокруг $Ox$: $V = \pi\int_a^b f^2(x)\,dx$ — сумма объёмов цилиндрических дисков $\pi f^2\Delta x$. Квадрат обязателен; знак $f$ роли не играет.

✅ Вокруг $Oy$: $V = \pi\int_c^d\varphi^2(y)\,dy$. Метод колец: $V = \pi\int_a^b\bigl(f_{\text{верх}}^2 - f_{\text{нижн}}^2\bigr)dx$ — разность квадратов, а не квадрат разности.

✅ Формула объёма проверяется на известных телах: конус даёт $\frac13\pi R^2 h$, шар — $\frac43\pi R^3$. Если новая формула воспроизводит известный ответ, ей можно верить.

✅ Прикидка обязательна: описанный прямоугольник даёт верхнюю границу, доля «примерно треть / половина / две трети» даёт ожидаемый порядок. Отрицательный ответ или подозрительный ноль — сигнал искать ошибку.

✅ В ML площадь под кривой — это метрика: AUC-ROC равна вероятности, что положительный объект получит больший скор, чем отрицательный; AUC-PR честнее на несбалансированных данных; коэффициент Джини — удвоенная площадь между диагональю и кривой Лоренца, $G = 2\,\text{AUC} - 1$. Считают всё это трапецеидальным правилом по точкам.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Урок 147, определённый интеграл — оттуда взято само понятие площади под кривой как предела интегральных сумм, свойство аддитивности (разбиение отрезка) и, главное, идея «площади со знаком», вокруг которой построен весь сегодняшний урок.
• Урок 148, формула Ньютона–Лейбница — рабочий инструмент вычисления: каждый интеграл в этом уроке считался как $F(b) - F(a)$. Оттуда же техника интегрирования функции с модулем — она и есть техника вычисления площади знакопеременной функции.
• Урок 146, неопределённый интеграл — замена переменной и интегрирование по частям; без них не взять первообразную логарифма в задаче с фигурой под $y = \ln x$.
• Урок 145, первообразная — таблица первообразных и правило линейной подстановки $f(kx+b)$, которое дало первообразные для $\sin 2x$ и $\left(1 + \frac x2\right)^2$.
• Уроки 133 и 136–137, производная и правила дифференцирования — уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ в задачах на фигуру, ограниченную кривой и касательной.
• Урок 143, выпуклость — объясняет, почему график выпуклой вниз функции лежит не ниже своей касательной, а значит подсказывает, кто в такой задаче окажется сверху.
• Квадратные уравнения и тригонометрия — поиск точек пересечения почти всегда сводится к решению уравнения $f(x) = g(x)$, и качество этого решения определяет правильность пределов.

Что изучить дальше:

• Урок 150, применение интегралов в физике — та же интегральная сумма, но под знаком интеграла стоит не высота фигуры, а сила, плотность или мощность: работа, путь, масса стержня, центр масс, давление жидкости.
• Университетский блок, длина дуги и площадь поверхности вращения — формулы содержат $\sqrt{1 + \left(f'(x)\right)^2}$, то есть требуют одновременно и производной, и интеграла; порождают знаменитые неберущиеся интегралы (длина эллипса выражается через эллиптические функции — они так и названы).
• Полярные координаты и параметрические кривые — площадь сектора считается формулой $\frac12\int\rho^2 d\varphi$; так находят площади кардиоиды, лемнискаты, спирали Архимеда.
• Двойные и тройные интегралы — площадь и объём произвольных областей, без ограничения «тело вращения»; там же появляется смена порядка интегрирования — прямое обобщение сегодняшнего выбора между $x$ и $y$.
• Теорема Паппа–Гульдина — объём тела вращения через площадь фигуры и путь её центра тяжести; красивый мост между площадью, объёмом и механикой.
• Численное интегрирование — метод трапеций, метод Симпсона, квадратуры Гаусса; ровно то, что стоит за scipy.integrate.quad и за подсчётом AUC по точкам.

Где это нужно в жизни:

💻 В программировании: вычисление площадей и объёмов в графике и геометрических движках, расчёт закрашенных областей в системах визуализации, коллизии и объёмы тел в 3D, площадь под кривой производительности в профилировщиках, np.trapz для интегрирования измеренных рядов.

🤖 В ML/AI: AUC-ROC и AUC-PR как основные метрики бинарной классификации, коэффициент Джини в скоринге, площадь между кривыми обучения как мера переобучения, перекрытие плотностей и PSI для детекции дрейфа данных, площадь отклонения калибровочной кривой от диагонали.

📊 В Data Science: накопленные метрики по кривым (lift, gain), площадь между кривыми «план и факт», интегральные показатели неравенства (Джини, индекс Аткинсона), сравнение распределений по площади перекрытия.

🔬 В науке и инженерии: площадь пика на хроматограмме или спектре пропорциональна количеству вещества, площадь под кривой «доза–время» (AUC) в фармакокинетике определяет экспозицию препарата, объёмы резервуаров и деталей вращения, момент сопротивления сечения балки.

💰 В финансах и экономике: площадь между кривой спроса и ценой даёт потребительский излишек, площадь под кривой предельных издержек — суммарные издержки, накопленная доходность как площадь под кривой мгновенной ставки, кривая Лоренца и индекс Джини в макроэкономике.

Интересные факты

💡 Архимед знал ответ для параболы за две тысячи лет до интеграла. В «Квадратуре параболы» он доказал, что площадь параболического сегмента равна $\frac43$ площади вписанного треугольника, суммируя бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем $\frac14$. Это, по сути, первый в истории случай, когда бесконечный ряд был просуммирован строго. Современная формула $S = \frac{|a|(x_2-x_1)^3}{6}$ — та же теорема в другой записи; проверить их совпадение можно за две строки.

💡 Могилу Архимеда нашли по рисунку шара в цилиндре. Архимед считал главным своим результатом отношение $\frac23$ между объёмами шара и описанного цилиндра и завещал изобразить эту пару на надгробии. Через сто с лишним лет после его гибели Цицерон, служивший квестором на Сицилии, разыскал заброшенную и заросшую могилу в Сиракузах именно по этому изображению — и сам оставил об этом запись в «Тускуланских беседах».

💡 Интеграл придумали в том числе ради винных бочек. В 1615 году Иоганн Кеплер выпустил «Новую стереометрию винных бочек» — работу, начавшуюся с бытового сомнения: австрийские торговцы определяли объём бочки, засовывая в неё мерную палку наискось. Кеплер разобрался, при каких пропорциях такой способ вообще осмыслен, и попутно посчитал объёмы девяноста двух тел вращения методом бесконечно тонких слоёв.

💡 Площадь под гиперболой — это логарифм. Ещё до Ньютона, в 1647 году, Грегуар де Сен-Венсан обнаружил, что площадь под кривой $y = \frac1x$ от $1$ до $t$ обладает свойством логарифма: площадь до $t_1 t_2$ равна сумме площадей до $t_1$ и до $t_2$. Его ученик Альфонс Антонио де Сараса явно указал, что эта площадь и есть логарифм. Так натуральный логарифм появился в математике как геометрический объект — задолго до того, как его связали с числом $e$.

💡 AUC-ROC придумали радиолокаторщики во Вторую мировую. ROC расшифровывается как receiver operating characteristic — «рабочая характеристика приёмника». Операторам британских и американских радаров нужно было отличать самолёт от помехи, и порог срабатывания приёмника задавал компромисс между пропущенными целями и ложными тревогами. Кривая описывала все возможные компромиссы сразу. В 1950-60-х метод перекочевал в психофизику и медицинскую диагностику, а к 1990-м стал стандартной метрикой машинного обучения — под тем же военным названием.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Всегда рисуй эскиз, даже кривой и от руки

Половина ошибок в этой теме — не в интегрировании, а в постановке: не та область, не те пределы, не та функция сверху. Тридцать секунд на набросок экономят десять минут пересчёта.

Пример: в задаче «фигура ограничена $y = x^2$, касательной в точке $x_0 = 2$ и осью $Ox$» без рисунка трудно заметить, что нижняя граница на $[0; 1]$ — ось, а на $[1; 2]$ — касательная. С рисунком это видно сразу.

2. Пробная точка вместо размышлений о том, кто сверху

Не пытайся понять порядок функций из их вида. Возьми любое число строго внутри интервала, подставь в обе формулы, сравни. Это работает всегда и занимает пять секунд.

Пример: для $y = x^3$ и $y = x$ на $(-1; 0)$ берём $x = -0{,}5$: получаем $-0{,}125$ и $-0{,}5$. Куб больше, значит он сверху — притом что «интуитивно» кажется наоборот.

3. Формула параболического сегмента — ответ за одну строку

Если фигура ограничена параболой и прямой, разность есть квадратный трёхчлен со старшим коэффициентом $a$ и корнями $x_1 < x_2$. Тогда

Пример: для $y = 6 - x^2$ и $y = x$ корни $-3$ и $2$, $|a| = 1$, значит $S = \frac{125}{6}$ — без единого интеграла. Пользуйся этим как проверкой основного расчёта: два независимых способа, совпавших до дроби, почти гарантируют правильность.

4. Симметрия сокращает работу вдвое

Если фигура симметрична относительно оси $Oy$ (подынтегральная функция чётная), считай половину и удваивай. Если функция нечётная, а отрезок симметричен, интеграл сразу равен нулю — и площадь считается только по половине.

Пример: $S$ между $y = x^2$ и $y = 8 - x^2$: вместо $\int_{-2}^{2}(8-2x^2)dx$ считаем $2\int_0^2(8-2x^2)dx = 2\cdot\frac{32}{3} = \frac{64}{3}$. Меньше подстановок — меньше шансов ошибиться в знаках.

5. Прямолинейные куски считай школьной геометрией

Если часть границы фигуры — отрезок прямой, соответствующий кусок часто оказывается треугольником или трапецией. Их площадь считается без интеграла.

Пример: фигура между параболой $y = x^2$, касательной $y = 4x - 4$ и осью $Ox$: вместо двух интегралов берём $\int_0^2 x^2dx = \frac83$ и вычитаем треугольник с катетами $1$ и $4$, площадь которого $2$. Ответ $\frac23$ — в одно действие после интеграла.

6. Перед вычислением выбери переменную интегрирования осознанно

Мысленно протяни вертикальную прямую слева направо и посчитай, сколько раз меняется формула границы. Потом то же самое горизонтальной прямой снизу вверх. Интегрируй по той переменной, где переключений меньше.

Пример: фигура между $y^2 = x$ и $y = x - 2$: по $x$ нужны два интеграла с корнями, по $y$ — один интеграл от многочлена. Ответ $\frac92$ в обоих случаях, трудозатраты отличаются втрое.

7. Проверяй объём на известной фигуре

Прежде чем доверять расчёту объёма тела вращения, прогони формулу на теле, ответ для которого известен: конус, цилиндр, шар, усечённый конус. Если $\pi\int f^2dx$ воспроизводит $\frac13\pi R^2h$ и $\frac43\pi R^3$, значит ты не потерял ни $\pi$, ни квадрат.

Пример: вращение $y = \frac x2$ на $[0; 6]$ даёт $18\pi$, а формула конуса при $R = 3$, $h = 6$ даёт $\frac{\pi\cdot 9\cdot 6}{3} = 18\pi$ ✅ Совпало — можно считать дальше спокойно.

8. Численная проверка в две строки кода

Если есть доступ к Python, любой ответ проверяется за полминуты: from scipy.integrate import quad и quad(lambda x: f(x) - g(x), a, b). А для фигуры сложной формы работает грубый метод Монте-Карло: набросай случайных точек в описанный прямоугольник, посчитай долю попавших внутрь фигуры и умножь на его площадь.

Пример: для фигуры между $y = 4 - x^2$ и хордой $y = 2 - x$ на $[-1; 2]$ точный ответ $4{,}5$; Монте-Карло по прямоугольнику $[-1;2]\times[0;4]$ на четырёх миллионах точек даёт $4{,}498$ — совпадение до третьего знака. Монте-Карло особенно хорош тем, что ловит именно те ошибки, которые не ловит quad: перепутанные пределы и неверный порядок вычитания.

💡 Совет: заведи привычку заканчивать каждую задачу этой темы тремя вопросами: ответ положителен? он меньше площади описанного прямоугольника? разбиение по всем точкам пересечения сделано? Три проверки занимают пятнадцать секунд и снимают почти все типовые ошибки — знак, пределы, забытое разбиение. В инженерной практике это называется sanity check, и делают его до того, как показать результат кому-то ещё.

Ты только что превратил формулу Ньютона–Лейбница в рабочий геометрический инструмент. Вычислительная техника у тебя была и раньше — сегодня добавилось умение правильно ставить задачу: где границы, кто сверху, где менять переменную, где разбивать. Оказалось, что почти вся сложность темы живёт именно здесь, а само интегрирование занимает последние тридцать секунд. И заодно интеграл впервые вышел за пределы плоскости: та же интегральная сумма, нарезанная на диски вместо полосок, дала объёмы тел вращения — и честно доказала школьные формулы конуса и шара, которые до сих пор приходилось принимать на веру.

А в следующем уроке — 150, применение интегралов в физике — под знаком интеграла перестанет стоять высота фигуры. Там будут сила, скорость, плотность и мощность, а суммироваться будут работа, путь, масса и заряд. Конструкция останется прежней: разбить, приблизить простой формулой, просуммировать, перейти к пределу. Именно её узнавание и делает интеграл универсальным инструментом, а не приёмом для вычисления площадей.