Что проверяет задание 18
Задание 18 — планиметрическая задача второй части с развёрнутым ответом, максимум 3 первичных балла. По проекту КИМ 2027 года это бывшее задание 17. Устроено оно как стереометрическое: в пункте а) нужно доказать утверждение о фигуре, в пункте б) найти длину, угол, площадь или радиус. Если доказать а) не получилось, пункт б) можно решить, опираясь на утверждение из а), и получить за него баллы.
Что нужно уметь:
- применять теоремы синусов и косинусов, формулы площади треугольника;
- работать с окружностями: вписанные углы, касательные, секущие, вписанная и описанная окружности;
- находить подобные треугольники и пользоваться отношением сторон;
- знать свойство биссектрисы треугольника;
- писать доказательство: каждое утверждение со ссылкой на теорему или на предыдущий шаг.
Как выглядит задание
Типичные формулировки (наши аналоги):
В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 5$, $AC = 8$, $BC = 7$. а) Докажите, что $\angle A = 60^\circ$. б) Найдите радиус вписанной окружности треугольника $ABC$.
Из точки $P$ вне окружности проведены касательная $PT$ и секущая, которая пересекает окружность в точках $A$ и $B$ ($A$ между $P$ и $B$). а) Докажите, что $PT^2 = PA\cdot PB$. б) Найдите $PT$, если $PA = 4$, $AB = 5$.
Алгоритм решения
- Сделать чертёж близко к масштабу. Кривой чертёж подсказывает ложные равенства. Отметь данные и то, что нужно доказать.
- Пункт а): найти «мост». Обычно это пара подобных треугольников, вписанный угол или теорема косинусов. Спроси себя, какие углы здесь равны и почему.
- Оформить доказательство цепочкой. «Угол $X$ равен углу $Y$, так как …», затем «треугольники подобны по двум углам», затем «значит, стороны пропорциональны».
- Пункт б): использовать результат а). Утверждение из а) почти всегда нужно для вычисления в б).
- Выбрать формулу под то, что известно. Три стороны — теорема косинусов и формула Герона. Сторона и противолежащий угол — теорема синусов и радиус описанной окружности. Площадь и полупериметр — радиус вписанной окружности $r = \dfrac{S}{p}$.
- Проверить ответ вторым способом, если он есть: другой формулой площади или другим треугольником.
Разбор примеров
Пример 1. В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 5$, $AC = 8$, $BC = 7$. а) Докажите, что $\angle BAC = 60^\circ$. б) Найдите радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности.
а) По теореме косинусов для стороны $BC$, которая лежит напротив угла $A$:
$$\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2\cdot AB\cdot AC} = \frac{25 + 64 - 49}{2\cdot 5\cdot 8} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2}.$$Угол треугольника лежит в интервале $(0^\circ;\,180^\circ)$, поэтому $\angle A = 60^\circ$.
б) Шаг 1. Площадь через синус угла: $S = \dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot\sin 60^\circ = 20\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$.
Шаг 2. Радиус вписанной окружности. Полупериметр $p = \dfrac{5 + 7 + 8}{2} = 10$, поэтому $r = \dfrac{S}{p} = \sqrt{3}$.
Шаг 3. Радиус описанной окружности по теореме синусов:
$$R = \frac{BC}{2\sin A} = \frac{7}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3}.$$Ответ: б) $r = \sqrt{3}$, $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. В треугольнике $ABC$ стороны $AB = 6$, $AC = 9$, $BC = 10$, $AD$ — биссектриса. а) Докажите, что $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$. б) Найдите длину биссектрисы $AD$.
а) Обозначим $\angle BAD = \angle DAC = \alpha$. Углы $ADB$ и $ADC$ смежные, поэтому их синусы равны: $\sin\angle ADB = \sin\angle ADC$.
По теореме синусов в треугольнике $ABD$: $\dfrac{BD}{\sin\alpha} = \dfrac{AB}{\sin\angle ADB}$. В треугольнике $ADC$: $\dfrac{DC}{\sin\alpha} = \dfrac{AC}{\sin\angle ADC}$. Делим первое равенство на второе, синусы сокращаются, и получаем $\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$, что и требовалось доказать.
б) Шаг 1. Из пункта а) $BD : DC = 6 : 9 = 2 : 3$, а $BD + DC = 10$. Значит, $BD = 4$, $DC = 6$.
Шаг 2. Косинус угла $B$ из треугольника $ABC$:
$$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2\cdot AB\cdot BC} = \frac{36 + 100 - 81}{120} = \frac{55}{120} = \frac{11}{24}.$$Шаг 3. Теорема косинусов в треугольнике $ABD$:
$$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2\cdot AB\cdot BD\cdot\cos B = 36 + 16 - 48\cdot\frac{11}{24} = 52 - 22 = 30.$$Проверка по формуле $AD^2 = AB\cdot AC - BD\cdot DC = 54 - 24 = 30$ даёт тот же результат.
Ответ: б) $AD = \sqrt{30}$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. Из точки $P$ вне окружности проведены касательная $PT$ ($T$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$, причём $A$ лежит между $P$ и $B$. а) Докажите, что $PT^2 = PA\cdot PB$. б) Найдите $PT$, если $PA = 4$, $AB = 5$.
а) Рассмотрим треугольники $PTA$ и $PBT$.
- Угол $P$ у них общий.
- Угол $PTA$ — это угол между касательной $PT$ и хордой $TA$. Он равен половине дуги $TA$, заключённой внутри угла.
- Угол $TBA$ — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу $TA$, поэтому он тоже равен её половине.
Значит, $\angle PTA = \angle PBT$, и треугольники $PTA$ и $PBT$ подобны по двум углам. Из подобия $\dfrac{PT}{PB} = \dfrac{PA}{PT}$, откуда $PT^2 = PA\cdot PB$, что и требовалось доказать.
б) $PB = PA + AB = 4 + 5 = 9$. Тогда $PT^2 = 4\cdot 9 = 36$ и $PT = 6$.
Ответ: б) $6$.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Доказательство по чертежу. «Видно, что углы равны» — не аргумент. Каждое равенство нужно обосновать теоремой.
- Путаница в подобии. Вершины подобных треугольников записывают в порядке соответствия: $PTA \sim PBT$, а не $PTA \sim PTB$. Иначе отношения сторон получатся неверными.
- Не та сторона в теореме косинусов. Слева стоит квадрат стороны, которая лежит напротив угла. Проверь это перед подстановкой чисел.
- Потерянный второй случай. Если по условию точка может лежать по разные стороны или угол бывает острым и тупым, разбери оба варианта. Неоднозначный случай теоремы синусов — классическая ловушка.
- Ответ без упрощения. $\dfrac{7}{\sqrt{3}}$ принимается, но проверяющему проще сверить $\dfrac{7\sqrt{3}}{3}$.
Что повторить
Честно о пробеле: уроков школьной планиметрии с доказательствами на сайте пока нет. Не разобраны окружности и касательные, вписанные углы, подобие, свойство биссектрисы и образцы оформления доказательства. Есть тригонометрический аппарат для треугольников:
- Вывод и формулировка теоремы синусов — как в примерах 1 и 2.
- Радиус описанной окружности.
- Обратная задача: находим все углы по трём сторонам — как в пункте а) примера 1.
- Площадь треугольника через синус угла.
Для базы подойдут статьи блога: Теорема Пифагора и Площади фигур.
Где потренироваться
- Практика по теореме синусов.
- Практика по теореме косинусов.
- Практика по применению тригонометрии в геометрии.
Соседние задания: задание 1, планиметрия с кратким ответом — тренировка формул перед этой задачей. Дальше задание 17 и задание 19, задача с параметром.