Что проверяет задание 13
Задание 13 появилось в проекте КИМ ЕГЭ 2027 года. Это последнее задание первой части: краткий ответ, 1 первичный балл. Проверяется умение перевести жизненную ситуацию на язык формул и довести расчёт до числа. Основной сюжет задания — личные и семейные финансы: вклад, кредит, рост цены. В демоверсии это задача про кредит. Экономическая задача с развёрнутым ответом, которая раньше стояла во второй части, из экзамена ушла, и финансовые задачи теперь нужно решать быстро и без оформления.
Что нужно уметь:
- считать увеличение и уменьшение величины на заданный процент, в том числе несколько раз подряд;
- применять формулу сложного процента $S_n = S_0\left(1 + \frac{p}{100}\right)^n$;
- расписывать кредит по годам: долг, начисление процентов, выплата;
- различать равные (аннуитетные) и дифференцированные платежи;
- складывать арифметическую и геометрическую прогрессии, когда платежей много.
Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, обычно в рублях.
Как выглядит задание
Типичные формулировки (наши аналоги, не тексты ФИПИ):
В январе планируется взять кредит в банке на сумму 2,1 млн рублей на два года. Каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом прошлого года, а с февраля по декабрь нужно выплатить часть долга одним платежом. Платежи в оба года одинаковые. Найдите размер платежа.
Вкладчик положил в банк 500 000 рублей под 8% годовых. В начале второго года он пополнил вклад на 100 000 рублей. Сколько рублей будет на счёте в конце второго года?
Алгоритм решения
- Определить, что происходит в каждом периоде. Выпиши по шагам: «было — начислили проценты — внесли или сняли деньги — стало». Для кредита это строка «долг → долг × $(1 + r)$ → минус платёж».
- Перевести проценты в множитель. Рост на $p\%$ — это умножение на $1 + \frac{p}{100}$, снижение — на $1 - \frac{p}{100}$. Проценты начисляются на текущую сумму, а не на исходную (это и есть сложный процент).
- Для равных платежей составить уравнение «долг после последней выплаты равен нулю» и решить его относительно платежа $X$.
- Для дифференцированных платежей (долг уменьшается на одну и ту же сумму) посчитать проценты за каждый год отдельно. Проценты образуют арифметическую прогрессию, их удобно сложить по формуле суммы.
- Для длинных сроков свернуть сумму степеней $1 + q + q^2 + \ldots + q^{n-1}$ по формуле суммы геометрической прогрессии.
- Проверить ответ на здравый смысл. Общая выплата по кредиту всегда больше суммы кредита, а платёж не бывает больше долга с процентами.
Разбор примеров
Пример 1. Вкладчик положил в банк 500 000 рублей под 8% годовых. Проценты начисляются в конце каждого года и прибавляются к вкладу. В начале второго года вкладчик пополнил вклад ещё на 100 000 рублей. Сколько рублей будет на счёте в конце второго года?
Шаг 1. Конец первого года: $500\,000 \cdot 1{,}08 = 540\,000$ рублей.
Шаг 2. Пополнение в начале второго года: $540\,000 + 100\,000 = 640\,000$ рублей.
Шаг 3. Конец второго года: проценты начисляются уже на всю сумму, $640\,000 \cdot 1{,}08 = 691\,200$ рублей.
Проверка на здравый смысл: без пополнения было бы $500\,000 \cdot 1{,}08^2 = 583\,200$ рублей, а 100 000 за год выросли до 108 000. Вместе $583\,200 + 108\,000 = 691\,200$ рублей, ответ сошёлся.
Ответ: 691 200.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 2. В январе взяли кредит 2,1 млн рублей на два года. Каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года, а с февраля по декабрь выплачивается часть долга. Платежи в первый и во второй год одинаковые, после второго платежа долг погашен полностью. Найдите размер ежегодного платежа в рублях.
Пусть $S = 2\,100\,000$ рублей, платёж равен $X$.
Шаг 1. Первый год: долг вырос до $1{,}1S$, после платежа осталось $1{,}1S - X$.
Шаг 2. Второй год: долг вырос до $1{,}1(1{,}1S - X)$, после платежа он равен нулю:
$$1{,}1(1{,}1S - X) - X = 0 \quad\Rightarrow\quad 1{,}21S = 2{,}1X \quad\Rightarrow\quad X = \frac{1{,}21S}{2{,}1}.$$Шаг 3. Подставляем: $X = \dfrac{1{,}21 \cdot 2\,100\,000}{2{,}1} = 1{,}21 \cdot 1\,000\,000 = 1\,210\,000$ рублей.
Проверка: после первого года долг $2\,310\,000 - 1\,210\,000 = 1\,100\,000$, во второй год он вырос до $1\,210\,000$ и закрыт вторым платежом. Переплата по кредиту составила $2 \cdot 1\,210\,000 - 2\,100\,000 = 320\,000$ рублей.
Ответ: 1 210 000.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Пример 3. В январе взяли кредит 1,2 млн рублей на 4 года. Каждый январь долг увеличивается на 10% от долга на конец прошлого года, а с февраля по декабрь выплачивается часть долга так, чтобы на конец каждого года долг уменьшался на одну и ту же величину по сравнению с концом предыдущего года. Сколько рублей составит общая сумма выплат?
Это дифференцированные платежи: долг каждый год уменьшается на $1\,200\,000 : 4 = 300\,000$ рублей.
Шаг 1. Долги на начало каждого года (до начисления): $1\,200\,000$, $900\,000$, $600\,000$, $300\,000$.
Шаг 2. Проценты за каждый год равны 10% от этих долгов: $120\,000$, $90\,000$, $60\,000$, $30\,000$. Это арифметическая прогрессия, её сумма:
$$\frac{120\,000 + 30\,000}{2} \cdot 4 = 300\,000.$$Шаг 3. Общая выплата равна телу кредита плюс все проценты: $1\,200\,000 + 300\,000 = 1\,500\,000$ рублей.
Для самопроверки: первый платёж $300\,000 + 120\,000 = 420\,000$, последний $300\,000 + 30\,000 = 330\,000$. Платежи убывают, как и должно быть при дифференцированной схеме.
Ответ: 1 500 000.
Не понял решение? Разобрать с Квасичем по шагам →Типичные ошибки
- Проценты считают от исходной суммы, а не от текущей. Во втором году 8% начисляются на 640 000, а не на 500 000. Простой процент в задачах про вклады и кредиты встречается только тогда, когда это прямо сказано в условии.
- Путают порядок «начислили — заплатили». В стандартной формулировке сначала долг растёт, потом вносится платёж. Если переставить шаги, получится другой ответ.
- Складывают проценты: «+20%, потом −20% = 0». На самом деле $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$, то есть итог на 4% меньше исходного.
- Отвечают не на тот вопрос. Спросили про переплату, а записали общую выплату (или наоборот). Перед записью ответа перечитай последнюю фразу условия.
- Пишут ответ в миллионах. Если в вопросе «сколько рублей», ответ 1 210 000, а не 1,21.
Что повторить
Отдельного урока про кредиты и вклады в формате ЕГЭ на сайте пока нет. Таблица «долг — начисление — выплата» и схемы равных и дифференцированных платежей подробно не разобраны, и для этого задания это главный пробел. Нужный аппарат есть в этих разделах:
- Сложный процент и капитализация — формула $S_0(1 + r)^n$ и частота начислений.
- Сумма первых n членов: приём «умножили и вычли» — пригодится для равных платежей на много лет.
- Сложный процент и удвоение — как быстро растут деньги под процент.
- Простые проценты: прогрессия в деньгах — чем простой процент отличается от сложного.
- Сумма первых n членов: приём Гаусса — сумма процентов при дифференцированных платежах.
- Увеличение и уменьшение на проценты — база: множители $1 + \frac{p}{100}$ и $1 - \frac{p}{100}$.
- Статья в блоге: Как считать проценты: 3 способа с примерами из жизни.
Где потренироваться
- Практика по росту и распаду — задачи на сложный процент.
- Практика по геометрической прогрессии.
- Практика по арифметической прогрессии.
- Практика по задачам на проценты.
Соседние задания: задание 12, графики функций и задание 14, уравнения с отбором корней. Задачи на движение, работу и смеси разобраны на странице задания 11.