Применение производной к исследованию функций 🔬

Ты запустил обучение модели. Первые эпохи лосс бодро падал: $2{,}9 \to 2{,}4 \to 2{,}1 \to 2{,}0$. А потом встал. Эпоха двадцатая — $1{,}97$. Эпоха сороковая — $1{,}96$. Эпоха шестидесятая — $1{,}96$. Что происходит? Модель нашла минимум и дальше двигаться некуда? Или она застряла на плато, где градиент почти нулевой, но настоящий минимум ещё далеко внизу? Или свалилась в седловую точку — место, где градиент равен нулю, но это вообще не минимум, а перевал между двумя долинами?

Это три принципиально разные ситуации, и лечатся они по-разному: в первом случае надо останавливать обучение, во втором — поднимать скорость обучения или менять инициализацию, в третьем — добавлять шум, чтобы модель скатилась с перевала. А чтобы их различить, нужно уметь одно: по производной понимать, как устроена функция. Не по значениям — их у тебя миллионы, и они ничего не говорят, — а именно по производной.

В предыдущих шести уроках мы строили инструмент. Урок 133 дал определение производной как предела разностного отношения. Уроки 134 и 135 объяснили, что она значит геометрически (наклон касательной) и физически (мгновенная скорость). Уроки 136–138 научили её считать: правила дифференцирования, цепное правило, таблица производных элементарных функций. Инструмент в руках, ты умеешь взять производную практически от чего угодно. Возникает законный вопрос: а зачем?

Ответ на этот вопрос — весь блок уроков 139–144. И этот урок, 139-й, — входные ворота в него. Здесь мы не будем закапываться в технику: мы разберёмся, что вообще значит «исследовать функцию», какие вопросы про функцию можно закрыть без всякой производной, а какие без неё не берутся; научимся читать информацию о функции по знаку и нулям её производной; познакомимся с критическими точками — и сразу поймём, почему они называются кандидатами, а не ответами. И составим карту: какой из следующих пяти уроков отвечает на какой конкретный вопрос.

🎯 Ты узнаешь:

• Что входит в полное исследование функции — список из десяти вопросов, на которые нужно ответить
• Какие из них решаются средствами уроков 77–89 (область определения, чётность, периодичность, асимптоты), а какие требуют производной
• Главную связку курса: знак $f'$ рассказывает о поведении $f$, а нули $f'$ отмечают места, где что-то может меняться
• Что такое критическая точка, почему их две разновидности и почему нулевая производная не гарантирует ничего
• Как строится таблица знаков — рабочий инструмент, которым ты будешь пользоваться до конца курса
• Как выглядит эта же математика на ландшафте функции потерь: плато, овраги, седловые точки и диагностика по кривой обучения

История: откуда это взялось?

Забавно, но исследовать функции с помощью «производной» люди начали раньше, чем производная появилась. В 1615 году Иоганн Кеплер, купив бочку вина к свадьбе, возмутился методом, которым торговец мерил объём: тот просто совал в бочку мерный прут по диагонали. Кеплер сел разбираться и написал трактат «Новая стереометрия винных бочек». Там он заметил вещь, которая для нас сегодня — суть всего блока: вблизи максимума величина меняется почти незаметно. Бочки, немного отличающиеся по пропорциям от оптимальной, имеют почти тот же объём — поэтому грубый метод торговца случайно оказывался терпимым. Кеплер не знал слова «производная», но описал ровно то, что мы сейчас формулируем как $f'(x_0) = 0$ в точке экстремума.

Через двадцать один год, в 1636-м, Пьер Ферма разослал коллегам рукопись «Метод отыскания наибольших и наименьших значений». Его приём назывался адекватирование: чтобы найти максимум $f$, он писал приближённое равенство $f(x + e) \approx f(x)$, раскрывал скобки, сокращал, делил на $e$ и потом отбрасывал оставшиеся $e$. Формально это была мутная операция — критики справедливо спрашивали, как можно сначала делить на $e$, а потом объявлять его нулём. Но результаты были верные, потому что по существу Ферма вычислял $\lim_{e \to 0}\frac{f(x+e) - f(x)}{e}$ — производную, до строгого определения которой оставалось два с лишним столетия. Лагранж позже прямо назвал Ферма истинным изобретателем дифференциального исчисления.

Систему из этого сделали Ньютон и Лейбниц в 1660–1680-х, а в учебник её превратил Эйлер: его «Основания дифференциального исчисления» (1755) — первая книга, где исследование функции выглядит как процедура, которую можно выполнять по шагам. Последний кирпич положил Лагранж: его теорема о среднем значении — та самая, что превращает интуитивное «производная положительна, значит функция растёт» в доказанное утверждение. Сегодня этот же алгоритм крутится в каждом цикле обучения нейросети: оптимизатор в каждой точке знает про функцию потерь ровно одно — её производную (точнее, градиент), и по этому единственному числу решает, куда шагнуть. Это буквально исследование функции наощупь, миллионы раз в секунду.

Что значит «исследовать функцию»

Представь, что тебе принесли незнакомую функцию — например, $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$ — и попросили «разобраться, что это такое». Что конкретно нужно сделать? Тут как с описанием незнакомого человека: есть стандартный набор граф в анкете. Исследовать функцию — значит заполнить эту анкету.

Определение: Исследование функции — это последовательный ответ на стандартный набор вопросов о её поведении, результатом которого является полное качественное описание функции и её эскизный график.

Вот сама анкета — десять пунктов:

1. Область определения $D(f)$ — где функция вообще существует.
2. Область значений $E(f)$ — какие значения она принимает.
3. Нули функции — где $f(x) = 0$, и знак функции на промежутках.
4. Чётность / нечётность — есть ли симметрия относительно оси $Oy$ или начала координат.
5. Периодичность — повторяется ли поведение с каким-то периодом.
6. Непрерывность и точки разрыва — где график рвётся.
7. Асимптоты — к каким прямым график прижимается на бесконечности и у разрывов.
8. Промежутки возрастания и убывания — где функция растёт, где падает.
9. Точки экстремума — где рост сменяется падением и наоборот, и каковы значения в этих точках.
10. Выпуклость и точки перегиба — куда «смотрит» изгиб графика.

Что закрывается без производной

Первые семь пунктов — это работа, которую ты уже умеешь делать, и производная для неё не нужна вообще.

• Область определения — урок 77: смотришь на запреты (деление на ноль, корень чётной степени из отрицательного, логарифм неположительного) и решаешь получившуюся систему.
• Нули и знаки — решение уравнения $f(x)=0$ и неравенства $f(x)>0$ методом интервалов.
• Чётность и нечётность — урок 85: подставляешь $-x$ и сравниваешь с $f(x)$.
• Периодичность — урок 86: ищешь наименьшее $T>0$ с $f(x+T)=f(x)$.
• Непрерывность и разрывы — урок 132: смотришь односторонние пределы в подозрительных точках.
• Асимптоты — урок 89: вертикальные ищешь у разрывов, наклонные считаешь через пределы $k = \lim \frac{f(x)}{x}$ и $b = \lim (f(x) - kx)$.

Что без производной не берётся

А вот пункты 8, 9, 10 — принципиально другие. Ты можешь построить таблицу значений функции в ста точках, увидеть, что она «вроде растёт», — и промахнуться: между двумя твоими точками мог уместиться целый горб. Проверять монотонность через определение (брать $x_1 < x_2$ и сравнивать $f(x_1)$ и $f(x_2)$) для сложных формул — это отдельная головоломка на каждый случай, без единого метода.

Производная превращает эту головоломку в вычисление. Она отвечает на вопрос «как функция меняется прямо здесь», а из локальных ответов складывается глобальная картина. Именно поэтому пункты 8–10 в любом учебнике идут после введения производной — раньше их просто нечем брать.

Примеры с разбором

Пример 1 (простой). Функция $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Что можно сказать о ней, не трогая производную?

Шаг 1. Область определения: многочлен определён везде, $D(f) = \mathbb{R}$.

Шаг 2. Нули: $x^2 - 4x + 3 = 0$, по теореме Виета $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Знак: парабола ветвями вверх, значит $f > 0$ при $x < 1$ и $x > 3$, $f < 0$ на $(1;\,3)$.

Шаг 3. Чётность: $f(-x) = x^2 + 4x + 3$ — это ни $f(x)$, ни $-f(x)$. Функция общего вида.

Шаг 4. Периодичность: многочлен второй степени не периодичен (он неограничен). Асимптот нет: разрывов нет, а на бесконечности функция растёт быстрее любой прямой.

Шаг 5. А вот вершину параболы мы здесь знаем не благодаря анализу, а благодаря школьной формуле $x_в = -\frac{b}{2a} = 2$. Это частный трюк, работающий только для парабол. Производная даст тот же ответ универсальным способом: $f'(x) = 2x - 4$, и $f'(2) = 0$.

Вывод: для параболы производная не нужна — у неё есть свой готовый рецепт. Проблемы начинаются на функциях, для которых такого рецепта нет.

Пример 2 (средний). Функция $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$. Заполним всё, что доступно без производной.

Шаг 1. Область определения: знаменатель не должен быть нулём, $x \neq 1$. Значит $D(f) = (-\infty;\,1) \cup (1;\,+\infty)$.

Шаг 2. Нули: числитель $x^2 + 1 > 0$ всегда, значит нулей нет — график не пересекает ось $Ox$. Знак дроби совпадает со знаком знаменателя: $f < 0$ при $x < 1$, $f > 0$ при $x > 1$.

Шаг 3. Чётность: $f(-x) = \frac{x^2+1}{-x-1}$ — симметрии нет.

Шаг 4. Разрыв в точке $x = 1$. При $x \to 1^{+}$ числитель стремится к $2$, знаменатель — к нулю справа, значит $f \to +\infty$. При $x \to 1^{-}$ имеем $f \to -\infty$. Это вертикальная асимптота $x = 1$.

Шаг 5. Наклонная асимптота. Выделим целую часть: $\frac{x^2+1}{x-1} = \frac{x^2 - 1 + 2}{x - 1} = x + 1 + \frac{2}{x-1}$. Проверим: $(x+1)(x-1) + 2 = x^2 - 1 + 2 = x^2 + 1$ ✅. Слагаемое $\frac{2}{x-1}$ стремится к нулю на бесконечности, значит $y = x + 1$ — наклонная асимптота с обеих сторон.

Шаг 6. Что осталось неизвестным: как именно график подходит к асимптотам, есть ли у него горб или впадина, где он растёт, а где падает. На это ответит только производная — и мы к этому вернёмся в примерах следующего раздела.

Пример 3 (сложный). Функция $f(x) = x \sin x$. Разберём анкету.

Шаг 1. Область определения: $D(f) = \mathbb{R}$, произведение определено везде.

Шаг 2. Чётность: $f(-x) = (-x)\sin(-x) = (-x)(-\sin x) = x \sin x = f(x)$. Функция чётная — произведение двух нечётных. Это ценная информация: достаточно исследовать её при $x \geq 0$, а левую половину отразить зеркально.

Шаг 3. Периодичность: $\sin x$ периодичен с $T = 2\pi$, но множитель $x$ всё портит: $f(x + 2\pi) = (x + 2\pi)\sin x \neq x\sin x$. Функция не периодична, хотя её нули $x = \pi k$ расположены периодично.

Шаг 4. Нули: $x\sin x = 0$ при $x = 0$ или $\sin x = 0$, то есть $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ (случай $x=0$ сюда же входит при $k=0$).

Шаг 5. Асимптот нет: разрывов нет, а на бесконечности функция колеблется между $-|x|$ и $|x|$ — размах растёт, ни к какой прямой график не прижимается.

Шаг 6. А теперь главный вопрос: где у этой функции горбы? Между соседними нулями явно есть по одному максимуму или минимуму, но где именно? Не в середине отрезка — множитель $x$ сдвигает пик. Найти их можно только через производную: $f'(x) = \sin x + x\cos x$. Уравнение $\sin x + x \cos x = 0$, то есть $\tan x = -x$, аналитически не решается вообще — только численно. Это отличная иллюстрация того, что производная не «облегчает жизнь», а является единственным входом к таким вопросам.

Почему это важно

Порядок исследования — не бюрократия, а защита от ошибок. Половина брака в задачах на исследование берётся из того, что человек сразу бросается считать производную, а потом обнаруживает «критическую точку» там, где функция вообще не определена. Область определения — всегда первый шаг, и всё дальнейшее происходит внутри неё.

В прикладной работе анкета выглядит так же, только словами из другой области. Прежде чем оптимизировать функцию потерь, инженер выясняет: определена ли она при всех значениях параметров (не будет ли $\log 0$ или деления на ноль), ограничена ли снизу (есть ли вообще минимум, к которому можно стремиться), нет ли у неё симметрий (перестановочная симметрия нейронов в слое — это буквально чётность в многомерном смысле), как она ведёт себя на бесконечности (уйдут ли веса в бесконечность без регуляризации). И только потом — градиенты.

Главная связка: знак производной и поведение функции

Вот идея, ради которой затевался весь блок. Она умещается в две строки, и почти всё остальное — её следствия.

Представь, что ты едешь по горной дороге, и у тебя есть только один прибор — уклономер, показывающий, под каким углом наклонён капот. Ты не видишь ни карты, ни того, что за поворотом. Но пока стрелка в плюсе — ты поднимаешься. Ушла в минус — спускаешься. Ровно на нуле — либо ты на вершине перевала, либо в низине, либо на ровной площадке.

Производная — это и есть уклономер. В уроке 134 мы выяснили, что $f'(x_0)$ равна тангенсу угла наклона касательной. Касательная наклонена вверх — значит, функция в этой точке идёт вверх. Наклонена вниз — идёт вниз. Горизонтальна — мгновенно не идёт никуда.

Основная связка: знак производной на промежутке определяет характер монотонности функции на этом промежутке. Если $f'(x) > 0$ во всех точках промежутка, функция на нём возрастает. Если $f'(x) < 0$ — убывает. Точки, где $f'$ обращается в ноль или не существует, — это места, где характер поведения может смениться.

Обрати внимание на два слова, которые тут работают: «промежуток» и «может».

Про промежуток. Знак производной в одной-единственной точке почти ничего не говорит о функции в целом. Утверждение «функция возрастает» относится к промежутку, а не к точке. Поэтому и в задачах ответ всегда выглядит как множество промежутков.

Про «может». Ноль производной — это сигнал «здесь что-то может происходить», а не «здесь экстремум». Разница между этими формулировками — тема отдельного раздела ниже, и это, пожалуй, главная развилка всего урока.

Строгое обоснование этой связки (почему из $f' > 0$ действительно следует возрастание, а не «наверное следует») опирается на теорему Лагранжа о среднем значении — её ты встретишь в вузовском курсе. Технику применения — как аккуратно находить промежутки, как оформлять ответ, что делать с разрывами — детально разбирает следующий урок, 140. Здесь нам важна сама идея и умение ею пользоваться на уровне чтения.

Как читать производную

Полезно натренировать перевод в обе стороны — «формула $f'$ → поведение $f$» и «график $f$ → знак $f'$». Вот словарик:

Последние три строки — те, которые в школьных задачах почти не встречаются, а в работе с данными используются постоянно. Именно они отвечают на вопросы «почему обучение встало» и «почему шаг оптимизатора взорвал модель».

Примеры с разбором

Пример 1 (простой). Дано: $f'(x) = 2x - 6$. Что можно сказать о $f$?

Шаг 1. Находим, где производная равна нулю: $2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$.

Шаг 2. Определяем знаки. Это линейная функция с положительным коэффициентом: при $x < 3$ она отрицательна, при $x > 3$ положительна. Проверим подстановкой: $f'(0) = -6 < 0$ ✅, $f'(10) = 14 > 0$ ✅.

Шаг 3. Переводим на язык функции: слева от $3$ функция убывает, справа возрастает. В точке $x = 3$ падение сменилось ростом.

Ответ: $f$ убывает на $(-\infty;\,3)$, возрастает на $(3;\,+\infty)$, в точке $x=3$ смена поведения с убывания на возрастание. Заметь: мы ни разу не восстановили саму $f$ — а она может быть, например, $x^2 - 6x$, или $x^2 - 6x + 100$, или $x^2 - 6x - 7$. Все они ведут себя одинаково, потому что отличаются на константу, а производная константы равна нулю.

Пример 2 (средний). Дано: $f'(x) = (x+2)(x-1)(x-4)$. Прочитай поведение $f$.

Шаг 1. Нули производной: $x = -2$, $x = 1$, $x = 4$. Они разбивают числовую прямую на четыре промежутка.

Шаг 2. Определяем знак на каждом. Удобнее всего подставить по одной пробной точке.

• $x = -3$: $(-1)\cdot(-4)\cdot(-7) = -28 < 0$.
• $x = 0$: $(2)\cdot(-1)\cdot(-4) = 8 > 0$.
• $x = 2$: $(4)\cdot(1)\cdot(-2) = -8 < 0$.
• $x = 5$: $(7)\cdot(4)\cdot(1) = 28 > 0$.

Шаг 3. Записываем картину знаков: $-,\ +,\ -,\ +$. Все три нуля — точки смены знака, значит в каждой из них поведение функции переключается.

Ответ: $f$ убывает на $(-\infty;\,-2)$ и на $(1;\,4)$, возрастает на $(-2;\,1)$ и на $(4;\,+\infty)$. График — «горка» с ямой, горбом и ещё одной ямой.

Проверка здравым смыслом: знаки чередуются, потому что все три корня простые (входят в первой степени). При переходе через простой корень множитель меняет знак — и вся производная тоже. Это тот же метод интервалов, который ты знаешь с девятого класса, просто применённый не к $f$, а к $f'$.

Пример 3 (сложный). Про функцию $g$, определённую на всей прямой, известно: $g'(x) = x^2(x - 3)$. Опиши поведение $g$ и объясни, что происходит в точке $x = 0$.

Шаг 1. Нули производной: $x = 0$ (двойной, из множителя $x^2$) и $x = 3$.

Шаг 2. Знаки. Множитель $x^2$ неотрицателен всегда и обращается в ноль только при $x=0$ — значит, он не влияет на знак произведения нигде, кроме самой точки $0$. Весь знак определяет множитель $(x-3)$.

• $x < 0$: $x^2 > 0$, $(x-3) < 0$ → $g' < 0$.
• $0 < x < 3$: $x^2 > 0$, $(x-3) < 0$ → $g' < 0$.
• $x > 3$: оба множителя положительны → $g' > 0$.

Шаг 3. Картина знаков: $-,\ -,\ +$. В точке $x=0$ производная обращается в ноль, но знак не меняется — функция на мгновение «замирает» и продолжает убывать. График в этой точке имеет горизонтальную касательную, но никакого горба или ямы там нет. В точке $x=3$ знак меняется с минуса на плюс — вот там поведение действительно переключается.

Ответ: $g$ убывает на $(-\infty;\,3)$ (точка $x=0$ не разбивает промежуток убывания, она лишь особая точка внутри него) и возрастает на $(3;\,+\infty)$. В $x=0$ — горизонтальная касательная без смены поведения.

Что здесь важно: ты только что своими руками получил ситуацию, ради которой в определении стоит слово «может». Нулей производной было два, а переключений поведения — одно.

Почему это важно

Именно эта связка делает производную инструментом исследования, а не просто ещё одной формулой. Тебе не нужно ни строить график, ни считать значения функции: достаточно взять производную, разложить её на множители и прочитать знаки — и качественная картина поведения готова.

В машинном обучении эта связка работает буквально каждый шаг обучения. Градиентный спуск делает шаг $w \leftarrow w - \eta \cdot L'(w)$: если производная положительна (функция потерь растёт вправо), мы идём влево; если отрицательна — вправо. Оптимизатор ничего не знает о форме лосса, у него нет графика — он читает знак производной ровно так же, как ты сейчас читал знаки на числовой прямой. Разница лишь в том, что у него таких координат не одна, а сто миллионов.

Критические точки: кандидаты, а не ответы

Из предыдущего раздела уже видно: интересные вещи происходят там, где производная равна нулю — или где её нет. Такие точки заслужили отдельное имя.

Определение: Точка $x_0$ из области определения функции $f$ называется критической точкой, если $f'(x_0) = 0$ либо $f'(x_0)$ не существует. Критические точки первого типа (где производная равна нулю) называют также стационарными.

Разберём определение по частям — там три ловушки.

Ловушка первая: «из области определения». Точка $x=0$ для функции $f(x) = \frac1x$ не является критической, хотя производная $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ в ней не существует. Причина простая: сама функция там не существует тоже. Критическая точка — это точка, где функция есть, а вот с её производной что-то не так. Разрывы и границы области определения — отдельная категория, они тоже разбивают числовую прямую при исследовании, но критическими точками не называются.

Ловушка вторая: два типа. Производная может отсутствовать в точке, где функция прекрасно себя чувствует. Классика — $f(x) = |x|$ в нуле: слева наклон $-1$, справа $+1$, единого предела разностного отношения нет, производной нет. При этом $x=0$ — очевидная точка минимума. Если искать критические точки только уравнением $f'(x)=0$, такие точки потеряются целиком.

Ловушка третья, главная: кандидат ≠ ответ. Критическая точка — это адрес, по которому стоит зайти и проверить. Не более того.

Почему так? Логика здесь односторонняя. Верно, что если во внутренней точке области определения у гладкой функции экстремум, то производная там равна нулю (это теорема Ферма, и в следующих уроках ты увидишь её строгую формулировку). Обратное — что из $f'(x_0)=0$ следует экстремум — неверно, и контрпример ты уже построил в примере 3 выше. Классический учебный контрпример ещё проще: $f(x) = x^3$.

Примеры с разбором

Пример 1 (простой). $f(x) = x^3$. Найдём критические точки и проверим, есть ли в них экстремум.

Шаг 1. $f'(x) = 3x^2$. Уравнение $3x^2 = 0$ даёт единственный корень $x = 0$. Это критическая (стационарная) точка.

Шаг 2. Смотрим знаки: $3x^2 > 0$ при любом $x \neq 0$. Слева от нуля производная положительна, справа тоже положительна.

Шаг 3. Вывод: функция возрастает и слева, и справа от нуля. Никакого горба или ямы в точке $0$ нет — есть лишь горизонтальная касательная (график в этом месте на мгновение «выполаживается» и идёт дальше вверх). Проверим числами: $f(-0{,}1) = -0{,}001$, $f(0) = 0$, $f(0{,}1) = 0{,}001$ — значения строго растут ✅.

Ответ: одна критическая точка $x=0$, экстремума в ней нет.

Пример 2 (средний). $f(x) = |x - 2|$. Найдём критические точки.

Шаг 1. Область определения — вся прямая. Раскроем модуль: при $x \geq 2$ имеем $f(x) = x - 2$, при $x < 2$ имеем $f(x) = 2 - x$.

Шаг 2. Производная: при $x > 2$ она равна $1$, при $x < 2$ равна $-1$. В самой точке $x=2$ односторонние наклоны разные ($-1$ слева, $+1$ справа), единой касательной нет — производная не существует.

Шаг 3. Значит, $x = 2$ — критическая точка второго типа. Уравнение $f'(x)=0$ не имеет решений вообще: производная нигде не равна нулю, она равна $\pm 1$. Если бы мы искали кандидатов только через это уравнение, мы бы не нашли ничего — и пропустили бы очевидный минимум.

Ответ: единственная критическая точка $x = 2$, производная в ней не существует; там же находится минимум функции, $f(2) = 0$.

Пример 3 (сложный). $f(x) = x^{2/3}$ (кубический корень из $x^2$). Найдём критические точки и опиши, что там с графиком.

Шаг 1. Область определения: $\sqrt[3]{x^2}$ определён при любом $x$, включая отрицательные, потому что кубический корень берётся от неотрицательного числа $x^2$. Значит, $D(f) = \mathbb{R}$.

Шаг 2. Производная по табличной формуле степенной функции: $f'(x) = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.

Шаг 3. Уравнение $f'(x) = 0$ решений не имеет: дробь с ненулевым числителем нулю не равна. Зато при $x = 0$ производная не существует — знаменатель обращается в ноль. Сама функция при этом определена: $f(0) = 0$.

Шаг 4. Знаки: при $x < 0$ кубический корень отрицателен, значит $f' < 0$; при $x > 0$ имеем $f' > 0$. Функция убывает слева от нуля, возрастает справа — в нуле у неё минимум.

Шаг 5. Что с графиком в этой точке? При $x \to 0$ модуль производной стремится к бесконечности: касательная становится вертикальной. График подходит к точке $(0;\,0)$ двумя почти отвесными ветвями, образуя острие («клюв», или, как говорят, точку возврата). Это не гладкая ямка, как у параболы, а именно шип.

Ответ: одна критическая точка $x=0$ (производная не существует), в ней минимум, касательная вертикальна.

Почему это важно

Три примера — три разных исхода в критической точке: экстремума нет ($x^3$), есть излом с экстремумом ($|x-2|$), есть острие с экстремумом ($x^{2/3}$). Плюс из примера 3 предыдущего раздела — «затормозил и поехал дальше». Один и тот же признак «производная равна нулю или её нет» ведёт к четырём разным картинкам. Отсюда правило, которое стоит вбить намертво:

Нашёл критические точки — ты нашёл список подозреваемых, а не список виновных. Дальше обязателен второй шаг: проверить, что там происходит на самом деле. Как именно проверять — тема урока 141.

В ML эта же логика имеет прямую цену в часах обучения. Условие «градиент равен нулю» на языке многих переменных выглядит как $\nabla L(w) = 0$ — и это ровно то, к чему стремится любой оптимизатор. Но точки с нулевым градиентом бывают минимумами, максимумами, седловыми точками и плоскими областями. В пространстве из миллионов параметров подавляющее большинство точек с нулевым градиентом — не минимумы. Поэтому строчка в логе «gradient norm ≈ 0» ничего сама по себе не доказывает; ровно так же, как $f'(x_0) = 0$ ничего не доказывает про экстремум.

Таблица знаков — рабочий инструмент

Все три предыдущих раздела сходятся в одну процедуру. Она выглядит так буднично, что её легко недооценить, — но именно её ты будешь выполнять в каждой задаче до конца курса.

Алгоритм построения таблицы знаков:

1. Найти область определения $f$ — работать будем только внутри неё.
2. Вычислить $f'(x)$ и по возможности разложить её на множители.
3. Найти все критические точки: корни уравнения $f'(x)=0$ и точки, где $f'$ не существует.
4. Отметить на числовой прямой критические точки и границы/разрывы области определения — они разбивают её на промежутки.
5. На каждом промежутке определить знак $f'$ (пробной точкой или по множителям).
6. Записать вывод о поведении $f$ на каждом промежутке.

Ключевой пункт, который чаще всего пропускают, — четвёртый. Точки разрыва не являются критическими, но прямую разбивают: через разрыв нельзя «протянуть» вывод о монотонности. Функция $f(x) = \frac1x$ убывает на $(-\infty;0)$ и убывает на $(0;+\infty)$, но не убывает на объединении этих промежутков — потому что $f(-1) = -1$ меньше, чем $f(1) = 1$, хотя $-1 < 1$.

Примеры с разбором

Пример 1 (простой). Построим таблицу знаков для $f(x) = x^3 - 3x$.

Шаг 1. $D(f) = \mathbb{R}$.

Шаг 2. $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$.

Шаг 3. Критические точки: $x = -1$ и $x = 1$.

Шаг 4. Три промежутка: $(-\infty;-1)$, $(-1;1)$, $(1;+\infty)$.

Шаг 5. Пробные точки: $f'(-2) = 3\cdot(-3)(-1) = 9 > 0$; $f'(0) = 3\cdot(-1)(1) = -3 < 0$; $f'(2) = 3\cdot(1)(3) = 9 > 0$.

Ответ: производная положительна на $(-\infty;-1)$ и $(1;+\infty)$, отрицательна на $(-1;1)$; обе критические точки — точки смены поведения.

Пример 2 (средний). $f(x) = \dfrac{x - 1}{x + 2}$.

Шаг 1. $D(f) = (-\infty;-2) \cup (-2;+\infty)$.

Шаг 2. По правилу производной частного: $f'(x) = \dfrac{1\cdot(x+2) - (x-1)\cdot 1}{(x+2)^2} = \dfrac{x + 2 - x + 1}{(x+2)^2} = \dfrac{3}{(x+2)^2}$.

Шаг 3. Критических точек нет: числитель $3$ никогда не ноль, а точка $x=-2$, где производная не существует, не входит в область определения — значит, критической не является.

Шаг 4. Тем не менее прямую разбивать надо: точка $x=-2$ — разрыв.

Шаг 5. Знак: $(x+2)^2 > 0$ везде, где определено, числитель положителен → $f' > 0$ на обоих промежутках.

Ответ: функция возрастает на каждом из промежутков по отдельности, но не на их объединении. Проверка: $f(-3) = \frac{-4}{-1} = 4$, а $f(0) = \frac{-1}{2} = -0{,}5$. Хотя $-3 < 0$, значение слева больше — через разрыв монотонность не «переносится» ✅.

Пример 3 (сложный). $f(x) = x^2 e^{-x}$.

Шаг 1. $D(f) = \mathbb{R}$: и многочлен, и экспонента определены везде.

Шаг 2. Производная по правилу произведения, с цепным правилом внутри: $(e^{-x})' = -e^{-x}$, поэтому

Шаг 3. Критические точки: $e^{-x}$ никогда не ноль, значит остаётся $x(2-x) = 0$, откуда $x = 0$ и $x = 2$.

Шаг 4. Три промежутка: $(-\infty;0)$, $(0;2)$, $(2;+\infty)$.

Шаг 5. Знак определяет только $x(2-x)$, потому что $e^{-x} > 0$ всегда — этот множитель можно смело вычеркнуть из анализа знаков.

• $x = -1$: $(-1)(3) = -3 < 0$.
• $x = 1$: $(1)(1) = 1 > 0$.
• $x = 3$: $(3)(-1) = -3 < 0$.

Ответ: производная отрицательна на $(-\infty;0)$ и $(2;+\infty)$, положительна на $(0;2)$; обе критические точки — точки смены поведения. Значения: $f(0) = 0$, $f(2) = 4e^{-2} \approx 0{,}541$.

Приём, который стоит запомнить: множители, знак которых постоянен ($e^{-x}$, $x^2+1$, $(x-a)^2$ при анализе строгого знака, положительные константы), из анализа знаков вычёркиваются. Остаётся короткое произведение, знаки которого читаются мгновенно.

Почему это важно

Таблица знаков — это компактная запись всего, что производная знает о функции. В неё стекается и область определения, и критические точки, и разрывы; из неё вытекают и промежутки монотонности, и экстремумы, и эскиз графика. Освоив её сейчас, ты дальше будешь только надстраивать: в уроке 143 добавится строка со знаком второй производной, в уроке 144 — строка со значениями функции, и получится полный бланк исследования.

Карта блока: кто на какой вопрос отвечает

Этот урок — обзор. Дальше каждая тема разбирается отдельно и подробно. Вот навигация, чтобы ты понимал, где что искать.

Разница между уроками 141 и 142 — та, которую путают чаще всего. Экстремум — понятие локальное: точка лучше своих соседей. Наибольшее значение — глобальное: точка лучше всех точек отрезка. Локальный максимум может быть меньше значения на конце отрезка; глобальный максимум может достигаться в точке, которая вообще не является критической (например, на границе). Это две разные задачи, и решаются они по-разному.

Ландшафт функции потерь: та же математика в ML

Всё, что мы разобрали, в машинном обучении происходит в пространстве не с одной переменной, а с миллионами. Производная превращается в градиент $\nabla L(w)$ — вектор из частных производных по каждому параметру. Но логика не меняется: знак (точнее, направление) градиента говорит, куда функция растёт; нулевой градиент отмечает подозрительные места; и ровно так же нулевой градиент не означает минимум.

Разберём четыре типовые ситуации, которые видит каждый, кто обучал модели.

1. Плато: производная почти ноль на целой области

Возьми сигмоиду $\sigma(z) = \dfrac{1}{1 + e^{-z}}$ — функцию активации, с которой начиналась вся история нейросетей. Её производная равна $\sigma'(z) = \sigma(z)\bigl(1 - \sigma(z)\bigr)$. Посчитаем в трёх точках:

• $z = 0$: $\sigma = 0{,}5$, производная $0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25$ — максимум.
• $z = 5$: $\sigma \approx 0{,}9933$, производная $\approx 0{,}9933 \cdot 0{,}0067 \approx 0{,}0066$.
• $z = 10$: $\sigma \approx 0{,}99995$, производная $\approx 0{,}99995 \cdot 0{,}0000454 \approx 4{,}5 \cdot 10^{-5}$.

Между $z=0$ и $z=10$ производная упала примерно в $5500$ раз. Нейрон в этой зоне «насыщен»: как бы сильно ни менялся вход, выход почти не реагирует. А если у тебя десять таких слоёв подряд, то при обратном распространении градиенты перемножаются, и до первых слоёв доходит $(4{,}5\cdot10^{-5})^{10}$ — число с сорока с лишним нулями после запятой. Это знаменитая проблема затухающих градиентов, и её причина — ровно то, что мы читали в словарике: «производная близка к нулю на целом участке → пологое плато, функция почти не меняется».

Практическое следствие: лосс на графике почти горизонтален, а модель при этом далека от минимума. Плато и минимум выглядят в логе одинаково — оба дают маленький градиент. Различить их можно только по значению лосса и по тому, что происходит после смены learning rate или архитектуры (ReLU вместо сигмоиды, batch normalization, skip-connections).

2. Овраг: производная огромна по одной координате и мала по другой

Возьми модельную функцию потерь двух переменных:

Её частные производные: $\frac{\partial L}{\partial w_1} = w_1$ и $\frac{\partial L}{\partial w_2} = 100\,w_2$. В точке $(1;\,1)$ градиент равен $(1;\,100)$ — по второй координате он в сто раз круче. Линии уровня такой функции — сильно вытянутые эллипсы, «овраг» с крутыми стенками и почти плоским дном.

Что делает градиентный спуск в овраге? Он шагает против градиента, то есть почти строго поперёк оврага — от стенки к стенке, зигзагом, — и почти не продвигается вдоль дна, туда, где минимум. Приходится брать очень маленький шаг (иначе шаг по крутой координате перелетит через овраг и лосс взорвётся), а из-за маленького шага движение вдоль дна занимает тысячи итераций. Отношение $\frac{100}{1} = 100$ здесь называется числом обусловленности, и именно оно определяет, насколько всё плохо.

Лечится это тоже через производные: моментум накапливает движение вдоль дна и гасит поперечные метания; Adam нормирует шаг по каждой координате отдельно, фактически выравнивая овраг. Но чтобы понять, зачем эти механизмы вообще нужны, надо сначала увидеть, что производная бывает разной по величине в разных направлениях.

3. Седловая точка: градиент ноль, а минимума нет

Возьми ещё одну модельную функцию:

Частные производные $2w_1$ и $-2w_2$ обе обращаются в ноль в точке $(0;\,0)$. Градиент нулевой — по всем формальным признакам «сошлось». Но посмотри, что там на самом деле: если двигаться вдоль оси $w_1$, лосс растёт ($L = w_1^2 > 0$), а если вдоль оси $w_2$ — падает ($L = -w_2^2 < 0$). Это перевал: по одному направлению низина, по другому вершина. Поверхность похожа на седло — отсюда и название.

Это буквально многомерная версия нашей функции $x^3$: производная ноль, а экстремума нет. И вот главное, что делает этот сюжет по-настоящему важным для ML: чем больше размерность, тем чаще нулевой градиент означает седло, а не минимум. Чтобы точка была минимумом, функция должна расти по всем миллионам направлений сразу; достаточно одного направления вниз — и это уже седло. Работа Дофина и соавторов (2014) показала, что в глубоких сетях подавляющее большинство точек с нулевым градиентом — именно седловые.

Отсюда неожиданный вывод: страшилка «нейросеть застрянет в плохом локальном минимуме» сильно преувеличена, а вот седловые точки и плато вокруг них — реальная проблема. И стохастичность SGD, которую можно было бы считать недостатком (шумные градиенты вместо точных), оказывается лекарством: случайный шум сталкивает с перевала туда, где спуск продолжается.

4. Диагностика по кривой обучения

Кривая обучения — график лосса по эпохам — это самая обычная функция одной переменной. И читается она ровно тем же словариком.

Обрати внимание на вторую и четвёртую строки: в обеих производная стремится к нулю, но ситуации противоположные. Различает их не производная, а контекст — само значение лосса и то, как оно менялось раньше. Это ровно та же мысль, что и в разделе про критические точки: нулевая производная — сигнал «посмотри внимательнее», а не готовый вывод.

Почему это важно

Между школьной задачей «исследуй $f(x) = x^3 - 3x$» и отладкой обучения трансформера меньше расстояния, чем кажется. И там, и там ты знаешь про функцию только её производную и по этому знанию восстанавливаешь картину. Разница в размерности и в том, что в ML производную считает автоматическое дифференцирование, а не ты руками. Всё остальное — и словарик «знак → поведение», и правило «ноль производной ничего не гарантирует», и необходимость смотреть, что происходит по обе стороны от подозрительной точки, — переносится один в один.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1-10)

Задание 1: Найди производную функции $f(x) = x^2 - 6x + 5$ и все её нули.

Задание 2: Найди нули производной функции $f(x) = x^3 - 12x$.

Задание 3: Найди нули производной функции $f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 1$.

Задание 4: Для функции $f(x) = x^2 - 4x$ определи знак производной в точках $x = 1$, $x = 2$, $x = 5$ и скажи, как ведёт себя функция на промежутках $(-\infty;\,2)$ и $(2;\,+\infty)$.

Задание 5: Определи знак производной функции $f(x) = \ln x - x$ на промежутках $(0;\,1)$ и $(1;\,+\infty)$.

Задание 6: Про функцию $f$, определённую на всей числовой прямой, известно, что $f'(x) = (x - 5)(x + 1)$. Укажи промежутки возрастания и убывания $f$.

Задание 7: Функция $f$ определена на отрезке $[-5;\,6]$. График её производной $f'$ расположен так: выше оси $Ox$ на $(-5;\,-2)$, пересекает ось в точке $x = -2$, лежит ниже оси на $(-2;\,4)$, пересекает ось в точке $x = 4$ и снова лежит выше оси на $(4;\,6)$. Опиши поведение самой функции $f$.

Задание 8: Найди критические точки функции $f(x) = |x + 3|$.

Задание 9: Найди критические точки функции $f(x) = \sqrt[3]{x}$ и опиши поведение функции.

Задание 10: Найди все критические точки функции $f(x) = x^4 - 2x^2$.

Средние (задания 11-20)

Задание 11: Построй таблицу знаков производной для $f(x) = x^3 - 3x^2$ и опиши поведение функции.

Задание 12: Построй таблицу знаков для $f(x) = x e^{x}$ и опиши поведение функции.

Задание 13: Найди критические точки функции $f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 7$ и выясни, есть ли в них смена поведения.

Задание 14: Построй таблицу знаков для $f(x) = x + \dfrac1x$ и опиши поведение функции. Обрати внимание на область определения.

Задание 15: Исследуй знак производной функции $f(x) = x - \ln x$. Не забудь про область определения.

Задание 16: Найди критические точки функции $f(x) = \ln(x^2 - 4)$ и определи промежутки монотонности.

Задание 17: Докажи с помощью производной, что функция $f(x) = x^5 + x^3 + 2x - 1$ возрастает на всей числовой прямой.

Задание 18: Исследуй знак производной функции $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3}$ и объясни, почему ответ нельзя записать в виде «возрастает на $(-\infty;-3)\cup(-3;+\infty)$».

Задание 19: Построй полную таблицу знаков производной для $f(x) = \dfrac{x^2}{x - 1}$.

Задание 20: Функция $f(x) = \sin x - x$. Найди все критические точки и выясни, есть ли среди них точки смены поведения.

Продвинутые (задания 21-30)

Задание 21: При каких значениях параметра $a$ функция $f(x) = x^3 + ax^2 + 3x - 1$ возрастает на всей числовой прямой?

Задание 22: При каких значениях параметра $a$ функция $f(x) = x^3 - 3ax$ убывает на промежутке $(-1;\,1)$?

Задание 23: При каких значениях параметра $a$ функция $f(x) = ax + \sin x$ возрастает на всей числовой прямой?

Задание 24: Про функцию $f$, определённую на отрезке $[-4;\,5]$, известно только поведение её производной: $f'(x) > 0$ на $(-4;\,-1)$, $f'(-1) = 0$, $f'(x) < 0$ на $(-1;\,2)$, $f'(2) = 0$, $f'(x) > 0$ на $(2;\,5)$. Ответь на четыре вопроса: (а) промежутки возрастания и убывания $f$; (б) сколько точек смены поведения; (в) что больше — $f(-1)$ или $f(2)$; (г) можно ли назвать значение $f(0)$?

Задание 25: Про функцию $g$, определённую на всей прямой, известно, что $g'(x) = x^2(x-1)^2(x-3)$. Найди критические точки и опиши поведение $g$. Сколько среди критических точек мест, где поведение действительно переключается?

Задание 26: Найди все критические точки функции $f(x) = x - 3\sqrt[3]{x}$, определи знак производной на каждом промежутке и скажи, в каких критических точках поведение переключается.

Задание 27: Ты обучаешь сеть. Лосс за первые 10 эпох упал с $2{,}9$ до $2{,}0$, а затем 50 эпох держится в коридоре $1{,}96$–$1{,}97$. Норма градиента в логах — порядка $10^{-4}$. При этом известно, что простая базовая модель на этих же данных даёт лосс $0{,}8$. Что происходит и что делать? Ответ обоснуй языком производной.

Задание 28: Лосс по эпохам ведёт себя так: $2{,}1 \to 5{,}7 \to 1{,}9 \to 12{,}4 \to \text{nan}$. Объясни происходящее через величину производной и скажи, что менять.

Задание 29: Обучение идёт так: лосс на обучающей выборке монотонно падает с $0{,}90$ до $0{,}15$ за 30 эпох; лосс на валидации падал до 12-й эпохи (там $0{,}32$), после чего вырос до $0{,}54$. Опиши ситуацию на языке производных, укажи момент остановки и объясни, почему решение нельзя принимать по обучающей кривой.

Задание 30: Модельная функция потерь двух параметров: $L(w_1,\,w_2) = w_1^2 - 4w_2^2 + 7$. Найди все точки, где обе частные производные равны нулю, выясни, минимум ли это, и объясни, что увидит в логах оптимизатор.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: считать, что $f'(x_0) = 0$ автоматически даёт экстремум

Неправильно: «$f(x) = x^3$, производная $3x^2$, ноль при $x = 0$, значит в нуле экстремум».

Правильно: $3x^2 > 0$ и слева, и справа от нуля — знак не меняется, функция возрастает через эту точку насквозь. Экстремума нет, есть только горизонтальная касательная.

💡 Почему важно: логика здесь односторонняя. Из «в точке экстремум» следует «производная равна нулю» (теорема Ферма), обратное неверно. Критическая точка — это список подозреваемых, а не список виновных: после того как ты её нашёл, обязателен второй шаг — посмотреть на знак производной по обе стороны. В ML цена этой ошибки — часы обучения: строчка «gradient norm ≈ 0» ничего не доказывает, потому что в многомерном пространстве большинство точек с нулевым градиентом — сёдла, а не минимумы.

❌ Ошибка 2: искать критические точки только среди нулей производной

Неправильно: «$f(x) = |x - 2|$, решаем $f'(x) = 0$ — решений нет, значит критических точек нет».

Правильно: производная равна $-1$ слева и $+1$ справа, а в самой точке $x = 2$ её не существует, хотя функция там прекрасно определена. Это критическая точка второго типа, и минимум находится ровно в ней.

💡 Почему важно: определение критической точки состоит из двух частей — «$f'(x_0) = 0$ либо $f'(x_0)$ не существует», и вторая часть теряется чаще всего. Кандидаты такого типа дают модули, корни нечётной степени ($\sqrt[3]{x}$), дробные степени ($x^{2/3}$), кусочно заданные функции. В прикладной части это ReLU и MAE-лосс: у них есть излом в нуле, и фреймворк там возвращает соглашение, а не производную.

❌ Ошибка 3: записывать промежуток монотонности через объединение, когда между кусками разрыв

Неправильно: «$f(x) = \frac1x$ убывает на $(-\infty;\,0)\cup(0;\,+\infty)$».

Правильно: $f$ убывает на $(-\infty;\,0)$ и убывает на $(0;\,+\infty)$ — это два отдельных промежутка. Контрпример: $-1 < 1$, но $f(-1) = -1$, а $f(1) = 1$, то есть значение слева меньше.

💡 Почему важно: утверждение «функция убывает на множестве $M$» означает, что для любых $x_1 < x_2$ из $M$ выполнено $f(x_1) > f(x_2)$. Если между кусками дырка, определение нарушается, хотя производная отрицательна везде. Знак производной гарантирует монотонность только на связном промежутке — теорема Лагранжа, из которой это следует, требует непрерывности на отрезке. Правильное оформление: перечислять промежутки через запятую или союз «и».

❌ Ошибка 4: путать «производная возрастает» и «функция возрастает»

Неправильно: «на участке $(0;\,2)$ производная растёт от $-3$ до $1$, значит функция там растёт».

Правильно: на этом участке производная сначала отрицательна, потом положительна — функция сначала убывает, потом возрастает. Растёт при этом не функция, а её производная: наклон становится всё менее крутым вниз, потом всё более крутым вверх.

💡 Почему важно: о поведении функции говорит знак производной, а не то, растёт или падает сама производная. Рост производной — это уже про изгиб графика (выпуклость), и разбираться с ним будут уроки 142–143 через вторую производную. Смешивать эти две характеристики нельзя: функция может убывать при растущей производной (например, $x^2$ на $(-1;\,0)$: значения падают, производная растёт от $-2$ к $0$).

❌ Ошибка 5: определять знак производной, подставляя пробную точку в саму функцию

Неправильно: для $f(x) = x^2 - 4x$ на промежутке $(0;\,2)$ взять $x = 1$, посчитать $f(1) = -3 < 0$ и написать «производная отрицательна».

Правильно: подставлять надо в производную: $f'(x) = 2x - 4$, $f'(1) = -2 < 0$. Совпадение знаков здесь случайно: на промежутке $(3;\,4)$ значение $f(3{,}5) = -1{,}75 < 0$, а производная $f'(3{,}5) = 3 > 0$.

💡 Почему важно: знак функции и знак её производной — независимые вещи. Функция может быть глубоко отрицательной и при этом расти, может быть положительной и падать. Метод интервалов в исследовании применяется к производной, а не к исходной формуле, — и полезно каждый раз проговаривать вслух, что именно ты сейчас раскладываешь на множители.

❌ Ошибка 6: записывать в критические точки те, что лежат вне области определения

Неправильно: для $f(x) = \ln(x^2 - 4)$ найти $f'(x) = \frac{2x}{x^2-4}$, приравнять числитель к нулю и объявить $x = 0$ критической точкой.

Правильно: $D(f) = (-\infty;\,-2)\cup(2;\,+\infty)$, и точка $x = 0$ в неё не входит — функции там не существует. Критических точек у этой функции нет вообще.

💡 Почему важно: критическая точка по определению принадлежит области определения функции. Точно так же $x = 0$ не является критической для $\frac1x$, а $x = -2$ — для $\frac{x-1}{x+2}$. Такие точки всё равно отмечаются на числовой прямой (они разбивают её на промежутки как разрывы), но в ответ про кандидатов на экстремум не идут. Отсюда железный порядок работы: сначала $D(f)$, потом производная.

❌ Ошибка 7: считать, что сколько у производной нулей — столько и переключений поведения

Неправильно: «$g'(x) = x^2(x-1)^2(x-3)$ имеет три нуля, значит у $g$ три точки смены поведения и график вида яма-горб-яма».

Правильно: множители в чётной степени знак не меняют. Знак задаёт только $(x-3)$: производная отрицательна на всём $(-\infty;\,3)$ и положительна после. Переключение ровно одно — в точке $x = 3$.

💡 Почему важно: переключение поведения даёт не сам ноль, а смена знака в нём. Корень чётной кратности («квадрат в множителе») касается оси, не пересекая её, — функция притормаживает и едет дальше в ту же сторону. Быстрая проверка кратности избавляет от лишних «экстремумов» в ответе и от рисования графика, которого не существует.

Главное запомнить

📝 Ключевые понятия

✅ Исследовать функцию — значит заполнить анкету из десяти пунктов: область определения, область значений, нули и знаки, чётность, периодичность, непрерывность и разрывы, асимптоты, монотонность, экстремумы, выпуклость. Первые семь берутся средствами уроков 77–89, последние три — только производной.

✅ Порядок работы неизменен: сначала $D(f)$, потом $f'$, потом критические точки, потом таблица знаков. Производная, посчитанная раньше области определения, регулярно приводит к «экстремумам» там, где функции нет.

✅ Главная связка: $f'(x) > 0$ на промежутке → функция на нём возрастает; $f'(x) < 0$ → убывает. Утверждение относится к промежутку, а не к отдельной точке, и требует связности промежутка.

✅ Критическая точка — точка из области определения, в которой $f'(x_0) = 0$ либо $f'(x_0)$ не существует. Первый тип называют стационарным. Точки разрыва и точки вне $D(f)$ критическими не являются.

✅ Кандидат ≠ ответ. Из экстремума следует $f' = 0$ (для гладкой функции во внутренней точке), но не наоборот. Четыре разных исхода в критической точке: смена $+ \to -$, смена $- \to +$, отсутствие смены ($x^3$), излом или острие ($|x|$, $x^{2/3}$).

✅ Переключение даёт смена знака, а не сам ноль. Множители в чётной степени ($x^2$, $(x-1)^2$) знак не меняют; постоянно положительные множители ($e^{-x}$, $x^2+1$, положительные константы, квадрат знаменателя) из анализа знаков вычёркиваются.

✅ Таблица знаков — рабочий бланк: на числовой прямой отмечаются критические точки и разрывы/границы $D(f)$; на каждом промежутке определяется знак $f'$; из знаков читается поведение $f$. Дальше в этот же бланк добавятся строки со второй производной и значениями функции.

✅ Через разрыв монотонность не переносится. Ответ пишется как перечисление промежутков, а не как их объединение: $\frac1x$ убывает на $(-\infty;0)$ и на $(0;+\infty)$, но не на объединении.

✅ Производная восстанавливает функцию только с точностью до константы. По графику $f'$ можно сказать, где $f$ растёт и что больше — $f(a)$ или $f(b)$, но не назвать ни одного конкретного значения.

✅ Знак функции и знак производной независимы. Пробную точку подставляют в $f'$, а не в $f$; метод интервалов применяется к производной.

✅ Карта блока: 140 — промежутки монотонности строго, 141 — какие критические точки настоящие экстремумы, 142 — наибольшее и наименьшее значение, 143 — выпуклость и перегибы, 144 — построение графика целиком.

✅ В ML это тот же алгоритм. Градиент — многомерная производная; шаг $w \leftarrow w - \eta\nabla L$ читает её знак; нулевой градиент означает плато, седло или минимум, и различает их не сам градиент, а контекст (значение лосса, история кривой, поведение после смены learning rate).

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Уроки 76–86, свойства элементарных функций — область определения, чётность, периодичность, монотонность по определению. Первые пункты анкеты исследования закрываются именно оттуда, и без аккуратно найденной $D(f)$ вся работа с производной рассыпается.
• Урок 89, асимптоты — вертикальные у разрывов, наклонные через пределы. В полном исследовании они дают каркас, на который потом ложится информация о монотонности.
• Урок 132, непрерывность и точки разрыва — разрывы разбивают числовую прямую в таблице знаков наравне с критическими точками, и именно из-за них ответ не пишется через объединение.
• Урок 133, определение производной — понятие производной как предела разностного отношения и, что здесь особенно важно, разговор про точки, где производной нет: они дают критические точки второго типа.
• Урок 134, геометрический смысл и касательная — вся связка «знак производной → поведение функции» держится на том, что $f'(x_0)$ есть тангенс угла наклона касательной. Отсюда же и картинка горизонтальной касательной в стационарной точке, и вертикальной — в точке возврата.
• Урок 135, физический смысл производной — язык «скорость изменения»: положительная скорость означает рост координаты, отрицательная — убывание. Это ровно то же утверждение, что и основная связка, только на языке движения.
• Уроки 136–138, техника дифференцирования — правила суммы, произведения и частного, цепное правило, таблица производных. В исследовании функции производную берут в первой строке решения, и если техника не доведена до автоматизма, дальше идёт не математика, а борьба с арифметикой.

Что изучить дальше:

• Урок 140, возрастание и убывание функции — строгая формулировка признака монотонности и опрятное оформление ответа: как записывать промежутки, включать ли концы, что делать с разрывами.
• Урок 141, точки экстремума — второй шаг после поиска кандидатов: необходимое и достаточное условия, признак по смене знака первой производной, разбор всех типов критических точек.
• Уроки 142–143, выпуклость и точки перегиба — вторая производная и то, куда «смотрит» изгиб графика; там же появится второй достаточный признак экстремума через знак $f''$ в стационарной точке.
• Урок 144, наибольшее и наименьшее значение функции — глобальная задача в отличие от локальной: сравнение значений в критических точках и на концах отрезка, прикладные задачи на оптимизацию.
• Уроки 145–150, первообразная и интеграл — обратная задача: восстановить функцию по её производной. Именно там получит ответ вопрос из задания 24 — почему по $f'$ функция определяется лишь с точностью до постоянного слагаемого.
• Университетский блок — теорема Ролля (189) и теорема Лагранжа о среднем значении (190), которые превращают интуитивную связку «$f' > 0$ значит растёт» в доказанный факт; правило Лопиталя (192) как ещё одно применение производной к исследованию; частные производные (210), полный дифференциал (211) и градиент (212) — многомерная версия всего этого урока.
• ML-блок — градиентный спуск и его модификации, диагностика ландшафта функции потерь, седловые точки и стратегии выхода из них, расписание learning rate (schedule, warmup, cosine decay), ранняя остановка по валидационной кривой.

Где это нужно в жизни:

💻 В программировании: численный поиск экстремума (тернарный поиск на унимодальной функции, метод золотого сечения), автотюнинг гиперпараметров, профилирование — «где производная времени отклика по нагрузке меняет знак», подбор порога классификатора по максимуму метрики.

🤖 В ML/AI: градиентный спуск целиком, диагностика обучения по кривой лосса (плато, овраг, седло, расходимость, переобучение), выбор learning rate и его расписания, ранняя остановка, объяснение того, почему затухающие градиенты останавливают обучение первых слоёв.

📊 В Data Science: поиск точки насыщения в кривых роста (когда дополнительные вложения перестают давать отдачу), сезонные пики и спады во временных рядах, точки перелома в A/B-метриках, эластичность спроса и максимум выручки.

🔬 В науке и инженерии: принцип наименьшего действия в физике, оптимальная форма и размеры конструкции при заданном материале, максимальная дальность полёта при заданной скорости, режим реакции с максимальным выходом, точки равновесия в динамических системах.

💰 В экономике и финансах: максимум прибыли (предельные издержки равны предельной выручке — это буквально $f' = 0$), оптимальный размер заказа, точка, после которой рост рекламного бюджета перестаёт окупаться, оптимизация портфеля по соотношению доходности и риска.

Интересные факты

💡 Ферма нашёл условие экстремума до того, как появилась производная. В 1636 году, за полвека до Ньютона и Лейбница и за двести лет до строгого определения предела, Пьер Ферма умел находить максимумы: он записывал приближённое равенство $f(x + e) \approx f(x)$, раскрывал скобки, сокращал, делил на $e$ и затем полагал $e$ равным нулю. Операция была логически мутной — критики резонно возмущались, — но результаты выходили верными, потому что по существу это и есть вычисление $f'(x) = 0$. Условие «производная в точке экстремума равна нулю» до сих пор носит имя теоремы Ферма, хотя её автор словом «производная» никогда не пользовался.

💡 Миф о локальных минимумах в нейросетях. Долгое время считалось, что глубокие сети плохо обучаются, потому что застревают в плохих локальных минимумах. Работа Дофина и соавторов (2014) показала, что дело в другом: чтобы точка с нулевым градиентом была минимумом, функция должна расти по всем направлениям сразу, а достаточно одного направления вниз — и это уже седло. С ростом размерности доля сёдел среди критических точек стремительно растёт, и в пространстве с миллионами параметров подавляющее большинство точек нулевого градиента — именно сёдла. Настоящие враги обучения — сёдла и окружающие их плато, а не «плохие ямы».

💡 Свет решает задачу на экстремум. Принцип Ферма гласит: свет между двумя точками идёт по пути, время прохождения которого минимально. Если записать время как функцию точки входа в воду и приравнять производную к нулю, из чистой математики выпадает закон преломления $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{v_1}{v_2}$ — тот самый, который в школьной физике даётся как экспериментальный факт. Пляжный вариант той же задачи: спасатель бежит по песку быстрее, чем плывёт, и оптимальная траектория к тонущему — не прямая, а ломаная с точно таким же соотношением синусов.

💡 Вся физика записана как задача на экстремум. Принцип наименьшего действия утверждает, что реальная траектория системы — та, на которой величина $S$ (действие) стационарна, то есть $\delta S = 0$. Это прямое обобщение условия $f'(x_0) = 0$ на функции, аргументом которых служит целая траектория. Из него выводятся и законы Ньютона, и уравнения Максвелла, и общая теория относительности. Раздел математики, который этим занимается, называется вариационным исчислением, а его основа — та же мысль, что и в этом уроке: в точке экстремума производная обращается в ноль.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Область определения — всегда первая строка решения

Не «сначала посчитаю производную, потом разберусь». Сначала $D(f)$, и всё дальнейшее происходит только внутри неё. Это отсекает половину типовых ошибок разом.

Пример: для $f(x) = \ln(x^2 - 4)$ производная $\frac{2x}{x^2-4}$ обращается в ноль при $x = 0$. Но $D(f) = (-\infty;-2)\cup(2;+\infty)$, точка $0$ туда не входит — критических точек нет. Тот, кто начал с производной, напишет в ответ несуществующий экстремум.

2. На числовой прямой отмечай не только нули производной, но и разрывы

Критические точки и точки разрыва играют в таблице знаков одну и ту же роль — разбивают прямую, — хотя называются по-разному и в ответ идут по-разному.

Пример: для $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ критические точки $0$ и $2$, а разрыв в $1$. Если забыть про единицу, промежуток $(0;\,2)$ склеится в один, и в ответе появится ложное «убывает на $(0;\,2)$» — через вертикальную асимптоту, где функция улетает в $-\infty$ и приходит из $+\infty$.

3. Знак произведения считай по множителям, а не подстановкой чисел

Пробная точка — способ проверки, а не основной метод. Быстрее посмотреть, сколько отрицательных множителей: чётное число — плюс, нечётное — минус. И сразу вычеркнуть множители постоянного знака.

Пример: $f'(x) = \frac{(x-1)(x+3)}{(x-5)^2}e^{-x}$. Знаменатель — квадрат, $e^{-x} > 0$: оба вычёркиваем. Остаётся $(x-1)(x+3)$ — знакомая парабола, плюс вне корней, минус между ними. Считать ничего не нужно.

4. Проверяй число критических точек по степени

Производная многочлена степени $n$ — многочлен степени $n-1$, а значит корней у неё не больше $n-1$. Если ты нашёл больше — где-то арифметическая ошибка; если заметно меньше и корни не выделяются — стоит перепроверить разложение.

Пример: у $f(x) = x^4 - 2x^2$ производная $4x(x-1)(x+1)$ — три корня, ровно предел для третьей степени, ничего не потеряно. А если бы в ответе оказалось четыре критические точки, это был бы гарантированный признак ошибки в дифференцировании.

5. Сначала рисуй эскиз графика производной, потом описывай функцию

Черновой набросок $f'$ решает задачу быстрее, чем таблица: там, где эскиз выше оси, стрелка функции идёт вверх, где ниже — вниз.

Пример: $f'(x) = (x-5)(x+1)$ — парабола ветвями вверх с корнями $-1$ и $5$. Нарисовал её за три секунды: выше оси, ниже, выше. Ответ читается прямо с картинки: $f$ растёт, падает, растёт. Тот же приём работает и в обратную сторону — по эскизу $f'$ восстанавливается форма $f$, как в задании 24.

6. Прежде чем считать знак, спроси себя: «а поменяется ли он вообще?»

Множитель в чётной степени знак не меняет — он лишь ставит ноль. Это экономит и время, и ложные экстремумы в ответе.

Пример: для $g'(x) = x^2(x-1)^2(x-3)$ достаточно посмотреть на $(x-3)$: минус до тройки, плюс после. Три нуля — одно переключение. Тот, кто честно перебирает четыре промежутка пробными точками, придёт к тому же ответу, но потратит впятеро больше времени.

7. Ответ про монотонность записывай перечислением, а не объединением

Привычка писать «и» вместо $\cup$ страхует от главной ошибки оформления. Если между промежутками стоит разрыв, объединение делает утверждение просто ложным.

Пример: «функция возрастает на $(-\infty;-3)$ и на $(-3;+\infty)$» — верно; «возрастает на $(-\infty;-3)\cup(-3;+\infty)$» — неверно, потому что $f(-4) = 9 > f(0) \approx -0{,}33$ при $-4 < 0$.

💡 Совет: возьми любую функцию из этого урока и прогони её через процедуру целиком, ни разу не подглядывая: область определения → производная → критические точки → разрывы → таблица знаков → словесный вывод. Шесть шагов, всегда одни и те же, в одном и том же порядке. Когда эта последовательность станет рефлексом, задачи из уроков 140–144 перестанут быть новыми задачами: там будет добавляться по одной строке в уже знакомую таблицу.

И держи в голове главную мысль урока: производная не рассказывает, чему равна функция, — она рассказывает, куда функция идёт. Знак — направление, ноль — повод присмотреться, а не готовый вывод. Ровно этим знанием пользуется и школьник, исследующий $x^3 - 3x$ на тетрадном листе, и оптимизатор, который миллионы раз в секунду щупает ландшафт функции потерь в пространстве с миллиардом измерений. Инструмент один, разница только в размерности.

В следующем уроке — 140, возрастание и убывание функции — мы возьмём главную связку этого урока и доведём её до строгого признака: как формулируется теорема о монотонности, почему в ответе бывают закрытые концы промежутков, что делать с точками, где производная равна нулю, и как оформить решение так, чтобы к нему нельзя было придраться. Переходи — навигатор закончился, начинается сама дорога.