Неравенства с модулем ⚖️

Представь, что ты настраиваешь Wi-Fi роутер, и в характеристиках написано: "рабочая температура должна отличаться от 20°C не больше чем на 15 градусов". Это не уравнение — точного значения температуры никто не требует. Это диапазон, целая область допустимых значений. И записывается такое условие ровно с помощью модуля: $|t-20|\le15$.

В прошлых двух уроках ты научился решать уравнения с модулем — находить конкретные числа-корни. Но в жизни куда чаще встречаются не точные значения, а именно диапазоны: допустимая скорость интернета, разрешённый вес багажа, комфортная температура в комнате, приемлемая задержка в игре. Все они описываются неравенствами с модулем — и именно их мы сегодня разберём.

Хорошая новость: неравенства с модулем во многом даже проще уравнений. Ты увидишь, что здесь почти не бывает "посторонних корней" — если действовать по правилу, лишние решения просто не появляются. А ещё в конце урока мы познакомимся с методом интервалов — техникой, которая в следующем уроке станет твоим главным оружием против неравенств сразу с несколькими модулями.

🎯 Ты узнаешь:

• Как превратить $|f(x)|c$ в обычные (не модульные) неравенства

• Почему для "<" получается двойное неравенство, а для ">" — совокупность из двух условий

• Что делать, если справа от модуля стоит не число, а выражение с переменной

• Как метод интервалов помогает решать неравенства с модулем систематически, без риска забыть случай

История: когда родились знаки "<" и ">" 📜

Знаки равенства, неравенства и модуля кажутся вечными — будто они существовали всегда. На самом деле современные символы "<" и ">" придумал английский математик Томас Хэрриот в начале XVII века: они были опубликованы в его труде "Artis Analyticae Praxis" в 1631 году, уже после его смерти. До этого математики просто писали словами: "меньше", "больше" — представь, как громоздко выглядела бы формула $|x-10|\le0{,}5$, если бы её пришлось записывать без единого специального символа!

Но одно дело — придумать значок, и совсем другое — понять, зачем вообще нужны неравенства, а не только равенства. Ответ пришёл из инженерии XX века. В 1980-х годах инженер компании Motorola Билл Смит разрабатывал систему контроля качества, которая позже получила название "Шесть сигм". Идея была простой на словах и сложной на практике: любая деталь, любой сигнал, любой процесс имеет допустимый разброс значений вокруг цели — и задача инженера не в том, чтобы получить ровно нужное число (это почти никогда не возможно), а в том, чтобы удержать результат внутри допустимого диапазона. Именно так родился современный подход к контролю качества, который используют при производстве смартфонов, автомобилей и даже медицинских препаратов.

Смотри, как это устроено математически: если целевое значение — это число $a$, а допустимое отклонение — число $c$, то условие "значение $x$ отличается от $a$ не больше чем на $c$" записывается как $|x-a|\le c$. Это неравенство с модулем — и именно с таких неравенств начинается вся современная теория допусков и контроля качества. Мы будем решать их не для заводов, а для куда более понятных вещей — карманных денег, скорости интернета и спортивных результатов, но математика внутри — та же самая.

Блок 1: $|f(x)|\le c$ и $|f(x)|

Что это такое простыми словами

Представь числовую прямую и точку 0 на ней. Модуль $|f(x)|$ — это расстояние от числа $f(x)$ до нуля. Если это расстояние должно быть не больше $c$, значит, само число $f(x)$ должно находиться где-то между $-c$ и $c$ — то есть внутри отрезка $[-c;c]$. Никакой магии: просто "близко к нулю с обеих сторон".

Строгое определение

Правило (нестрогое неравенство): При $c\ge0$ неравенство $|f(x)|\le c$ равносильно двойному неравенству:

$$-c\le f(x)\le c$$

Если $c<0$ — решений нет, так как модуль не может быть отрицательным числом.

Правило (строгое неравенство): При $c>0$ неравенство $|f(x)| $$-c< f(x) < c$$

Если $c\le0$ — решений нет.

Примеры с подробным разбором

Пример 1 (простой): Реши $|x|<6$

По правилу сразу получаем двойное неравенство:

−6 < x < 6

Ответ: $x\in(-6;6)$

---

Пример 2 (средний, из жизни): Карманные деньги

Родители в среднем выдают тебе 300 рублей в неделю, но сумма немного колеблется — отклонение от этого среднего не больше 50 рублей. Опиши это неравенством и найди диапазон возможных сумм: $|x-300|\le50$.

Шаг 1: раскрываем по правилу:

−50 ≤ x − 300 ≤ 50

Шаг 2: прибавляем 300 ко всем трём частям:

250 ≤ x ≤ 350

Проверка: при $x=250$: $|250-300|=50\le50$ ✅; при $x=350$: $|350-300|=50\le50$ ✅

Ответ: сумма лежит в диапазоне от 250 до 350 рублей, то есть $x\in[250;350]$

---

Пример 3 (сложный): Реши $|3x-1|<11$

Шаг 1: записываем двойное неравенство:

−11 < 3x − 1 < 11

Шаг 2: прибавляем 1 ко всем частям:

−10 < 3x < 12

Шаг 3: делим на 3:

−10/3 < x < 4

Проверка: возьмём $x=0$ (должно подойти, оно внутри интервала): $|3\times0-1|=1<11$ ✅. Возьмём $x=4$ (граница, не должна подойти): $|3\times4-1|=|11|=11<11$ — неверно, $11$ не меньше $11$, значит граница правильно исключена.

Ответ: $x\in\left(-\dfrac{10}{3};\,4\right)$

Почему это важно

Это самый частый тип условий в реальной жизни: допустимая температура, приемлемая скорость, разрешённая погрешность. Всюду, где есть "цель $\pm$ отклонение", прячется именно неравенство $|f(x)|\le c$ или $|f(x)|

---

Блок 2: $|f(x)|\ge c$ и $|f(x)|>c$ — "снаружи отрезка"

Что это такое простыми словами

Здесь всё наоборот: расстояние от $f(x)$ до нуля должно быть не меньше $c$. Это значит, что $f(x)$ либо очень большое положительное число (не меньше $c$), либо очень маленькое отрицательное (не больше $-c$). Точка $f(x)$ должна оказаться снаружи отрезка $[-c;c]$ — слева от него или справа.

Строгое определение

Правило (нестрогое неравенство): При $c>0$ неравенство $|f(x)|\ge c$ равносильно совокупности:

$$f(x)\ge c \quad \text{или} \quad f(x)\le -c$$

Если $c\le0$ — решение: все $x$ из области определения $f(x)$ (модуль всегда $\ge0\ge c$).

Правило (строгое неравенство): При $c\ge0$ неравенство $|f(x)|>c$ равносильно:

$$f(x)> c \quad \text{или} \quad f(x)<-c$$

Если $c<0$ — решение: все $x$ из области определения $f(x)$.

Примеры с подробным разбором

Пример 1 (простой): Реши $|x|>4$

По правилу: $x>4$ или $x<-4$.

Ответ: $x\in(-\infty;-4)\cup(4;+\infty)$

---

Пример 2 (средний, из жизни): Дисквалификация в прыжках

На соревнованиях судья снимает результат прыжка, если он отличается от контрольной отметки 240 см на 20 см или больше (то есть прыжок либо слишком короткий, либо участник заступил за линию и результат "слишком велик" для честной попытки). Опиши условие дисквалификации: $|x-240|\ge20$.

Шаг 1: раскрываем по правилу:

x − 240 ≥ 20     или     x − 240 ≤ −20

Шаг 2: решаем каждое:

x ≥ 260            или     x ≤ 220

Ответ: дисквалифицируют при результате 220 см или меньше, либо 260 см или больше: $x\in(-\infty;220]\cup[260;+\infty)$

---

Пример 3 (сложный): Реши $|5-2x|\ge7$

Шаг 1: записываем совокупность:

5 − 2x ≥ 7        или      5 − 2x ≤ −7

Шаг 2: решаем первое:

−2x ≥ 2
x ≤ −1

Шаг 3: решаем второе:

−2x ≤ −12
x ≥ 6

Проверка: $x=-1$: $|5-2(-1)|=|7|=7\ge7$ ✅ (граница включена верно). $x=6$: $|5-12|=7\ge7$ ✅.

Ответ: $x\in(-\infty;-1]\cup[6;+\infty)$

Почему это важно

Обрати внимание: для "<" мы получили пересечение (двойное неравенство, одна область "между"), а для ">" — объединение (совокупность, две отдельные области). Перепутать эти два случая — самая частая ошибка во всей теме, и мы вернёмся к ней в разделе "Частые ошибки".

---

Блок 3: Когда справа переменная — $|f(x)|g(x)$

Что это такое простыми словами

В блоках 1 и 2 справа стояло число. А что, если справа — выражение с переменной, например $|x-2|<2x+1$? Хорошая новость: в отличие от уравнений (где приходилось отдельно проверять условие $g(x)\ge0$ и отсеивать посторонние корни), для неравенств такой отдельной проверки не требуется! Формулы автоматически "встраивают" это условие внутрь себя.

Строгое определение

Правило: Неравенство $|f(x)| $$f(x)-g(x)$$

(то есть $-g(x)

Правило: Неравенство $|f(x)|>g(x)$ равносильно совокупности:

$$f(x)>g(x) \quad \text{или} \quad f(x)<-g(x)$$

— тоже без дополнительных условий.

Примеры с подробным разбором

Пример 1 (простой): Реши $|x-1|<2x+1$

Шаг 1: составляем систему:

x − 1 < 2x + 1        и        x − 1 > −(2x + 1)

Шаг 2: решаем первое неравенство:

x − 1 < 2x + 1
−2 < x
x > −2

Шаг 3: решаем второе:

x − 1 > −2x − 1
3x > 0
x > 0

Шаг 4: пересекаем два условия ($x>-2$ и $x>0$): более сильное условие $x>0$.

Проверка: $x=1$: $|1-1|=0$, $2\times1+1=3$, $0<3$ ✅. $x=-1$ (не должно подходить): $|-1-1|=2$, $2\times(-1)+1=-1$, $2<-1$ — неверно, правильно исключено.

Ответ: $x\in(0;+\infty)$

---

Пример 2 (средний): Реши $|2x+3|>x+6$

Шаг 1: составляем совокупность:

2x + 3 > x + 6         или        2x + 3 < −(x + 6)

Шаг 2: решаем первое:

x > 3

Шаг 3: решаем второе:

2x + 3 < −x − 6
3x < −9
x < −3

Проверка: $x=4$: $|11|=11$, $4+6=10$, $11>10$ ✅. $x=-4$: $|2(-4)+3|=|-5|=5$, $-4+6=2$, $5>2$ ✅. $x=0$ (не должно подходить): $|3|=3$, $6$, $3>6$ — неверно, правильно исключено.

Ответ: $x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)$

---

Пример 3 (сложный, нестрогое неравенство): Реши $|4-3x|\ge2x-1$

Шаг 1: совокупность (по аналогии, только со знаком $\ge$):

4 − 3x ≥ 2x − 1        или        4 − 3x ≤ −(2x − 1)

Шаг 2: решаем первое:

5 ≥ 5x
x ≤ 1

Шаг 3: решаем второе:

4 − 3x ≤ −2x + 1
3 ≤ x
x ≥ 3

Проверка: $x=0$: $|4|=4$, $2(0)-1=-1$, $4\ge-1$ ✅. $x=3$: $|4-9|=5$, $2(3)-1=5$, $5\ge5$ ✅ (граница верно включена). $x=2$ (не должно подходить): $|4-6|=2$, $2(2)-1=3$, $2\ge3$ — неверно, правильно исключено.

Ответ: $x\in(-\infty;1]\cup[3;+\infty)$

Почему это важно

В уравнениях с модулем правая часть с переменной требовала осторожности — иначе легко получить посторонний корень. В неравенствах эта проблема исчезает сама собой: правила $|f(x)|g(x)$ уже "встроили" в себя всю необходимую логику. Это одна из немногих тем в алгебре, где неравенства оказываются проще, чем родственные им уравнения!

---

Блок 4: Метод интервалов — систематический способ

Что это такое простыми словами

Всё, что мы делали выше, — это прямые формулы для случая с одним модулем. Но что, если формулу трудно вспомнить, или выражение внутри модуля сложное? Есть универсальный способ, который работает всегда: найти точку, где подмодульное выражение меняет знак (критическую точку), разбить прямую на промежутки этой точкой и на каждом промежутке решать уже обычное неравенство — без модуля. Это и есть метод интервалов. В следующем уроке он станет твоим главным инструментом для неравенств сразу с несколькими модулями.

Строгое определение

Алгоритм метода интервалов:

1. Найди критические точки — приравняй каждое подмодульное выражение к нулю
2. Отметь их на числовой прямой — они делят её на промежутки
3. На каждом промежутке определи знак подмодульного выражения и раскрой модуль соответствующим образом
4. Реши получившееся неравенство (уже без модуля) на этом промежутке
5. Найди пересечение решения с рассматриваемым промежутком
6. Объедини результаты со всех промежутков — это и есть финальный ответ

Примеры с подробным разбором

Пример 1 (простой): Реши $|x-5|\ge3$ методом интервалов

Шаг 1: критическая точка: $x-5=0\Rightarrow x=5$

Шаг 2: два промежутка: $(-\infty;5)$ и $[5;+\infty)$

Шаг 3-4: на промежутке $(-\infty;5)$: $x-5<0$, значит $|x-5|=5-x$.

5 − x ≥ 3
−x ≥ −2
x ≤ 2

Пересекаем с $(-\infty;5)$: получаем $(-\infty;2]$

На промежутке $[5;+\infty)$: $x-5\ge0$, значит $|x-5|=x-5$.

x − 5 ≥ 3
x ≥ 8

Пересекаем с $[5;+\infty)$: получаем $[8;+\infty)$

Шаг 5 (объединение): $(-\infty;2]\cup[8;+\infty)$

Проверка через прямое правило (блок 2): $x-5\ge3$ или $x-5\le-3$ → $x\ge8$ или $x\le2$ — тот же ответ! Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $x\in(-\infty;2]\cup[8;+\infty)$

---

Пример 2 (средний): Реши $|x+2|<6$ методом интервалов

Шаг 1: критическая точка: $x=-2$

Шаг 2: промежутки: $(-\infty;-2)$ и $[-2;+\infty)$

На $(-\infty;-2)$: $|x+2|=-(x+2)=-x-2$.

−x − 2 < 6
−x < 8
x > −8

Пересекаем с $(-\infty;-2)$: $(-8;-2)$

На $[-2;+\infty)$: $|x+2|=x+2$.

x + 2 < 6
x < 4

Пересекаем с $[-2;+\infty)$: $[-2;4)$

Объединение: $(-8;-2)\cup[-2;4)=(-8;4)$ — два соседних промежутка "склеились" в один!

Ответ: $x\in(-8;4)$

---

Пример 3 (сложный): Реши $|2x-3|\le x+1$ методом интервалов

Шаг 1: критическая точка: $2x-3=0\Rightarrow x=1{,}5$

Шаг 2: промежутки: $(-\infty;1{,}5)$ и $[1{,}5;+\infty)$

На $(-\infty;1{,}5)$: $|2x-3|=3-2x$.

3 − 2x ≤ x + 1
2 ≤ 3x
x ≥ 2/3

Пересекаем с $(-\infty;1{,}5)$: $[2/3;1{,}5)$

На $[1{,}5;+\infty)$: $|2x-3|=2x-3$.

2x − 3 ≤ x + 1
x ≤ 4

Пересекаем с $[1{,}5;+\infty)$: $[1{,}5;4]$

Объединение: $[2/3;1{,}5)\cup[1{,}5;4]=[2/3;4]$

Проверка через систему (блок 3): $2x-3\le x+1$ и $2x-3\ge-(x+1)$ → $x\le4$ и $x\ge2/3$ → $[2/3;4]$ — совпадает!

Ответ: $x\in[2/3;4]$

Почему это важно

Метод интервалов чуть длиннее прямых формул для одного модуля — но зато он никогда не подводит, даже когда прямую формулу трудно применить или вспомнить. А главное — это единственный способ, который будет работать в следующем уроке, когда в одном неравенстве появится сразу два, три или больше модулей одновременно.

---

Практика: 30 заданий

Базовые (1–10)

Задание 1: Реши неравенство $|x|<8$

Показать решение 👇

$-8Ответ: $(-8;8)$

Задание 2: Реши неравенство $|x|\ge5$

Показать решение 👇

$x\ge5$ или $x\le-5$ Ответ: $(-\infty;-5]\cup[5;+\infty)$

Задание 3: Реши неравенство $|x-4|\le3$

Показать решение 👇

$-3\le x-4\le3\Rightarrow1\le x\le7$ Ответ: $[1;7]$

Задание 4: Реши неравенство $|x+5|>2$

Показать решение 👇

$x+5>2\Rightarrow x>-3$; или $x+5<-2\Rightarrow x<-7$ Ответ: $(-\infty;-7)\cup(-3;+\infty)$

Задание 5: Реши неравенство $|2x|\le10$

Показать решение 👇

$-10\le2x\le10\Rightarrow-5\le x\le5$ Ответ: $[-5;5]$

Задание 6: Реши неравенство $|x-1|<0$

Показать решение 👇

Модуль не может быть отрицательным, а строгое неравенство $<0$ требует именно этого Ответ: решений нет, $\varnothing$

Задание 7: Реши неравенство $|x+3|\ge0$

Показать решение 👇

Модуль всегда $\ge0$, значит неравенство верно при любом $x$ Ответ: $x\in(-\infty;+\infty)$

Задание 8: Реши неравенство $|3x-2|<7$

Показать решение 👇

$-7<3x-2<7\Rightarrow-5<3x<9\Rightarrow-5/3Ответ: $(-5/3;3)$

Задание 9: Реши неравенство $|x-6|>0$

Показать решение 👇

Модуль строго больше нуля везде, кроме точки, где выражение под модулем равно нулю Ответ: $x\ne6$, то есть $(-\infty;6)\cup(6;+\infty)$

Задание 10: Реши неравенство $|4-x|\le9$

Показать решение 👇

$-9\le4-x\le9\Rightarrow-13\le-x\le5\Rightarrow-5\le x\le13$ Ответ: $[-5;13]$

---

Средние (11–20)

Задание 11: Реши неравенство $|x-2|

Показать решение 👇

Система: $x-2-(x+4)\Rightarrow2x>-2\Rightarrow x>-1$ Ответ: $(-1;+\infty)$

Задание 12: Реши неравенство $|x+6|\ge2x+1$

Показать решение 👇

$x+6\ge2x+1\Rightarrow x\le5$; или $x+6\le-(2x+1)\Rightarrow3x\le-7\Rightarrow x\le-7/3$. Второе условие входит в первое Ответ: $(-\infty;5]$

Задание 13 (из жизни): Деталь должна иметь длину 25 см с погрешностью не больше 0,4 см. Реши $|x-25|\le0{,}4$

Показать решение 👇

$-0{,}4\le x-25\le0{,}4\Rightarrow24{,}6\le x\le25{,}4$ Ответ: $[24{,}6;25{,}4]$ см

Задание 14: Реши неравенство $|5x-3|<2x+9$

Показать решение 👇

$5x-3<2x+9\Rightarrow3x<12\Rightarrow x<4$; и $5x-3>-(2x+9)\Rightarrow7x>-6\Rightarrow x>-6/7$ Ответ: $(-6/7;4)$

Задание 15 (из жизни): Результат забега должен отличаться от норматива 15,2 сек не больше чем на 1,3 сек. Реши $|x-15{,}2|\le1{,}3$

Показать решение 👇

$13{,}9\le x\le16{,}5$ Ответ: $[13{,}9;16{,}5]$ сек

Задание 16: Реши неравенство $|2x-7|>3x-1$

Показать решение 👇

$2x-7>3x-1\Rightarrow x<-6$; или $2x-7<-(3x-1)\Rightarrow5x<8\Rightarrow x<8/5$. Первое условие входит во второе Ответ: $(-\infty;8/5)$

Задание 17: Реши неравенство $|x+4|\le3x+2$

Показать решение 👇

$x+4\le3x+2\Rightarrow x\ge1$; и $x+4\ge-(3x+2)\Rightarrow4x\ge-6\Rightarrow x\ge-3/2$. Пересечение: сильнее условие $x\ge1$ Ответ: $[1;+\infty)$

Задание 18: Реши неравенство $|4x-9|\le5x+3$

Показать решение 👇

$4x-9\le5x+3\Rightarrow x\ge-12$; и $4x-9\ge-(5x+3)\Rightarrow9x\ge6\Rightarrow x\ge2/3$. Сильнее условие $x\ge2/3$ Ответ: $[2/3;+\infty)$

Задание 19: Реши неравенство $|x-9|\ge3x-5$

Показать решение 👇

$x-9\ge3x-5\Rightarrow x\le-2$; или $x-9\le-(3x-5)\Rightarrow4x\le14\Rightarrow x\le3{,}5$. Первое условие входит во второе Ответ: $(-\infty;3{,}5]$

Задание 20 (из жизни): Скорость загрузки $x$ (Мбит/с) должна отличаться от заявленной провайдером скорости 80 Мбит/с не больше чем на треть от реальной скорости: $|x-80|\le x/3$, при $x>0$

Показать решение 👇

$x-80\le x/3\Rightarrow(2/3)x\le80\Rightarrow x\le120$; и $x-80\ge-x/3\Rightarrow(4/3)x\ge80\Rightarrow x\ge60$ Ответ: $[60;120]$ Мбит/с

---

Продвинутые (21–30)

Задание 21: Реши неравенство $|x^2-4|<5$

Показать решение 👇

$-5-5\Rightarrow x^2>-1$ — верно всегда Ответ: $(-3;3)$

Задание 22: Реши неравенство $||x|-3|<2$

Показать решение 👇

$-2<|x|-3<2\Rightarrow1<|x|<5$. Раскрываем: $|x|>1$ даёт $x<-1$ или $x>1$; $|x|<5$ даёт $-5Ответ: $(-5;-1)\cup(1;5)$

Задание 23: При каких значениях $a$ неравенство $|x-3|

Показать решение 👇

Двойное неравенство $-a0$ (интервал длины $2a$). При $a\le0$ решений нет Ответ: $a\le0$

Задание 24: Реши систему $|x-1|\le4$ и $|x+2|>3$

Показать решение 👇

Первое: $-4\le x-1\le4\Rightarrow-3\le x\le5$. Второе: $x+2>3\Rightarrow x>1$, или $x+2<-3\Rightarrow x<-5$. Пересечение $[-3;5]$ с ($x>1$ или $x<-5$) даёт только $(1;5]$ (вторая ветвь $x<-5$ не пересекается с $[-3;5]$) Ответ: $(1;5]$

Задание 25 (из жизни, система): Чтобы попасть в основной состав, результат прыжка $x$ (см) должен отличаться от норматива 300 см не больше чем на 25 см, и при этом отличаться от среднего результата группы 310 см больше чем на 5 см. Реши систему $|x-300|\le25$ и $|x-310|>5$

Показать решение 👇

Первое: $275\le x\le325$. Второе: $x>315$ или $x<305$. Пересечение $[275;325]$ с этими условиями даёт $[275;305)$ и $(315;325]$ Ответ: $[275;305)\cup(315;325]$ см

Задание 26: Найди все целые решения неравенства $|2x-5|\le9$

Показать решение 👇

$-9\le2x-5\le9\Rightarrow-4\le2x\le14\Rightarrow-2\le x\le7$. Целые числа от $-2$ до $7$ Ответ: $x\in\{-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7\}$ — 10 целых решений

Задание 27: Реши неравенство $|3x+2|<|x-4|$

Показать решение 👇

Приём: $|A|<|B|\iff(A-B)(A+B)<0$. Здесь $A=3x+2$, $B=x-4$: $A-B=2x+6$, $A+B=4x-2$. Неравенство: $(2x+6)(4x-2)<0$, то есть $4(x+3)(2x-1)<0\Rightarrow(x+3)(2x-1)<0$. Корни: $x=-3$ и $x=0{,}5$. Между корнями произведение отрицательно Ответ: $(-3;0{,}5)$

Задание 28: Реши неравенство $|x-6|\ge|2x+1|$

Показать решение 👇

$|A|\ge|B|\iff(A-B)(A+B)\ge0$. $A=x-6$, $B=2x+1$: $A-B=-x-7$, $A+B=3x-5$. $(-x-7)(3x-5)\ge0$, умножаем на $-1$ и меняем знак: $(x+7)(3x-5)\le0$. Корни: $x=-7$ и $x=5/3$. Между корнями произведение неположительно Ответ: $[-7;5/3]$

Задание 29: При каком наименьшем целом значении $a$ неравенство $|x-4|\le a$ содержит хотя бы 5 целых решений?

Показать решение 👇

Решение: $[4-a;4+a]$. При $a=1$: $[3;5]$ — три целых числа (3,4,5). При $a=2$: $[2;6]$ — пять целых чисел (2,3,4,5,6). Это первое значение, дающее не меньше пяти Ответ: $a=2$

Задание 30: Реши неравенство $|x^2+1|<10$, заметив, что модуль здесь можно сразу убрать

Показать решение 👇

Выражение $x^2+1$ всегда положительно (не меньше 1), поэтому модуль не меняет знак и его можно просто убрать: $x^2+1<10\Rightarrow x^2<9\Rightarrow-3Ответ: $(-3;3)$

---

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Путают "<" и ">" — пересечение и объединение Неправильно: для $|f(x)|>c$ пишут двойное неравенство $-cдвойное неравенство (пересечение, "внутри"), а для ">" — совокупность из двух отдельных условий (объединение, "снаружи") Почему важно: перепутав эти случаи, можно получить ответ, полностью противоположный правильному.

❌ Ошибка 2: Не проверяют знак $c$ перед решением Неправильно: сразу раскрывают модуль, не глядя, положительно ли число справа Правильно: если $c<0$ в неравенстве $|f(x)|c$ — сразу пишут "все $x$ из области определения" Почему важно: экономит время и предотвращает бессмысленные вычисления.

❌ Ошибка 3: Забывают, что при переходе к $|f(x)|g(x)$ дополнительные условия НЕ нужны Неправильно: по привычке (как в уравнениях) отдельно проверяют условие $g(x)\ge0$ Правильно: для неравенств эта проверка уже "встроена" в саму систему или совокупность — достаточно решить её честно и пересечь/объединить результаты Почему важно: лишняя проверка не ошибка сама по себе, но зря отнимает время на экзамене.

❌ Ошибка 4: Забывают пересечь решение с промежутком в методе интервалов Неправильно: решили неравенство на промежутке и сразу записали в ответ, не проверив, попадает ли решение в сам промежуток Правильно: всегда находи пересечение полученного решения с рассматриваемым промежутком Почему важно: без этого шага в ответ попадут значения $x$, которые вообще не относятся к рассматриваемому случаю.

❌ Ошибка 5: Неверно определяют знак подмодульного выражения на промежутке Неправильно: наугад решают, с каким знаком раскрывать модуль Правильно: подставь любое число из промежутка в подмодульное выражение и посмотри на его знак — так раскрытие модуля будет верным Почему важно: один неверный знак — и весь промежуток даёт неправильный ответ.

❌ Ошибка 6: Забывают проверить границы при объединении ответа Неправильно: механически берут скобки такими же, как в промежуточных неравенствах Правильно: внимательно проверяй каждую границу отдельно — строгая она или нет, входит ли в ответ Почему важно: соседние промежутки нередко "склеиваются" в один (как в примере 2 блока 4), и потерять эту склейку — значит потерять часть верного ответа.

---

Главное запомнить

✅ $|f(x)|\le c$ и $|f(x)| равносильно двойному неравенству $-c\le f(x)\le c$ (или строго). При $c<0$ (или $c\le0$ для строгого) — решений нет

✅ $|f(x)|\ge c$ и $|f(x)|>c$: равносильно совокупности $f(x)\ge c$ или $f(x)\le-c$ (или строго). При $c\le0$ (или $c<0$) — решение это все $x$

✅ "<" даёт пересечение ("внутри отрезка"), ">" даёт объединение ("снаружи отрезка") — это правило легко перепутать, будь внимателен

✅ $|f(x)| равносильно системе $f(x)-g(x)$ — без дополнительных условий на знак $g(x)$

✅ $|f(x)|>g(x)$: равносильно совокупности $f(x)>g(x)$ или $f(x)<-g(x)$ — тоже без дополнительных условий

✅ В отличие от уравнений, неравенства с модулем не требуют отдельной проверки на посторонние корни

✅ Метод интервалов — универсальный способ: найди критические точки, раздели прямую на промежутки, на каждом раскрой модуль и реши, пересеки с промежутком, объедини все решения

✅ Приём $|A|<|B|\iff(A-B)(A+B)<0$ (и аналогично для других знаков) удобен, когда модуль есть с обеих сторон неравенства

✅ Если подмодульное выражение заведомо не меняет знак (например, $x^2+1$ всегда положительно), модуль можно сразу убрать без всякого раскрытия

---

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Обобщённое понятие модуля — раскрытие модуля произвольного выражения

• Уравнения с модулем — базовые правила работы с модулем в равенствах

• Уравнения с модулем методом интервалов — первое знакомство с идеей критических точек и промежутков

Что изучить дальше:

• Неравенства с модулем методом интервалов — что делать, когда модулей в неравенстве несколько сразу

Где это нужно в жизни:

• 🏭 В производстве: инженерные допуски записываются именно как неравенства с модулем — "размер детали $\pm$ погрешность"

• 🎮 В играх: проверка "попадания" в целевую зону (например, идеальный тайминг в ритм-играх или допустимый разброс урона)

• 📱 В технологиях: контроль качества сигнала, скорости интернета, времени отклика — везде, где есть заявленное значение и допустимое отклонение от него

• 🏃 В спорте: нормативы, зоны допуска по времени и результату, отборочные критерии

---

Интересные факты

💡 Знаки "<" и ">" моложе, чем кажется. Их придумал англичанин Томас Хэрриот, и они были впервые опубликованы только в 1631 году — то есть арифметика к тому моменту существовала уже тысячи лет, а привычных значков неравенства ещё не было.

💡 "Шесть сигм" — не просто красивое название. Эта система контроля качества, выросшая из идеи допустимых отклонений (то есть, по сути, неравенств с модулем), используется сегодня в производстве почти всей высокотехнологичной техники — от смартфонов до ракет.

💡 Неравенства с модулем почти никогда не дают посторонних решений. Это редкий случай в алгебре, когда более сложная на вид тема (неравенства) оказывается менее "опасной" для ошибок, чем более простая (уравнения).

💡 ОГЭ и ЕГЭ обожают путаницу "< / >". Одна из самых частых ловушек на экзамене — задание, где легко перепутать, нужно пересечение или объединение. Экзаменаторы это знают и специально проверяют именно это.

---

Лайфхаки

1. Запомни мнемонику "меньше — значит внутри" Знак "<" визуально напоминает открывающуюся скобку с одной стороны — представь, что $x$ "зажат" внутри отрезка. Знак ">" — противоположность: $x$ "выталкивается" наружу.

2. Сразу проверяй знак правой части Если справа число — первым делом посмотри, положительное ли оно. Это может сразу дать ответ (решений нет или решение — вся числовая прямая) без единого вычисления.

3. Для неравенств с модулем в обеих частях используй приём $(A-B)(A+B)$ Если видишь $|A|<|B|$ или $|A|>|B|$ — не нужно рассматривать четыре случая по отдельности, переходи сразу к произведению $(A-B)(A+B)$.

4. Проверяй ответ одной контрольной точкой Возьми любое число из полученного интервала и подставь в исходное неравенство — если не подошло, где-то ошибка в знаке.

5. Метод интервалов — твоя страховка Если прямое правило вспомнить не получается или выражение под модулем сложное — переходи к методу интервалов. Он длиннее, но работает всегда, даже когда формулы кажутся неприменимыми.

6. Ищи "склейку" промежутков в финальном ответе Если два соседних промежутка решения соприкасаются в одной точке и хотя бы один из них включает эту точку — они объединяются в один сплошной интервал. Не забывай проверять это на последнем шаге.

---

💡 Совет: Неравенства с модулем учат главному навыку алгебры неравенств — аккуратно работать с границами и не путать "внутри" и "снаружи". Прорешай все 30 заданий, особенно 21–30 — именно там прячутся приёмы, которые сэкономят тебе массу времени на экзамене.

Готов к следующему шагу? В следующем уроке ты научишься решать неравенства сразу с несколькими модулями — там метод интервалов из блока 4 станет по-настоящему незаменимым. А порешать задачи с подсказками можно в AI-репетиторе в Telegram.