Площади фигур: треугольник, параллелограмм, трапеция, круг 📏

Когда ты покупаешь ламинат, считаешь, сколько краски уйдёт на стену, или прикидываешь, влезет ли диван в угол комнаты, — ты считаешь площадь. Прямоугольник посчитать может каждый: длину умножил на ширину, готово. А что делать, если комната со скошенной стеной и пол у неё — трапеция? Если участок земли — кривой треугольник, у которого известны только три стороны? Если нужно понять, сколько пиццы ты съел, взяв кусок с углом в $45°$?

Хорошая новость: почти все школьные формулы площадей — это одна и та же идея, переодетая по-разному. Параллелограмм — это прямоугольник, у которого срезали треугольник с одного бока и приставили к другому. Треугольник — ровно половина параллелограмма. Трапеция — это два треугольника или «средний» прямоугольник. Круг — это бесконечно много очень тонких треугольников с вершиной в центре. Если ты поймёшь эти превращения, формулы перестанут быть списком для зубрёжки — ты сможешь вывести любую из них за полминуты прямо на экзамене.

На ОГЭ площади встречаются в заданиях 15–18 (треугольники, четырёхугольники, окружность, клетчатая бумага) и в задании 23–25 второй части. А за пределами школы та же математика работает в компьютерной графике (каждый 3D-объект в игре — это тысячи треугольников, и видеокарта постоянно считает их площади), в компьютерном зрении (метрика IoU, по которой оценивают детекторы объектов, — это отношение площадей) и в картографии.

Ты узнаешь:

🎯 Как выводятся и когда применяются все формулы площади треугольника: через высоту, через две стороны и синус угла, по формуле Герона, через радиусы вписанной и описанной окружностей

🎯 Как считать площади параллелограмма, ромба, трапеции, круга и сектора — и почему все эти формулы «вырастают» из прямоугольника

🎯 Как работает отношение площадей подобных фигур ($k^2$) и приём «площадь через разбиение» — два главных инструмента для сложных задач ОГЭ

История: откуда это взялось? 📜

Слово «геометрия» по-гречески означает «землемерие», и это не метафора. В Древнем Египте Нил каждый год разливался и смывал границы полей. После паводка чиновники-«натягиватели верёвок» заново размечали участки, а налог брался пропорционально площади. Поэтому египтяне уже около 1800 года до н. э. умели считать площади прямоугольников, треугольников и трапеций — в папирусе Ахмеса (Райнда) есть задачи ровно такого типа. Для круга они использовали приближение: площадь круга диаметром $d$ равна площади квадрата со стороной $\frac{8}{9}d$. Это соответствует $\pi \approx 3{,}16$ — ошибка меньше процента, для налоговой службы вполне годится.

Греки превратили рецепты в теоремы. Евклид в «Началах» (около 300 г. до н. э.) доказал, что параллелограммы с общим основанием между двумя параллельными прямыми равновелики, а треугольник — половина такого параллелограмма. Архимед (III век до н. э.) доказал, что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника с катетами $R$ и $2\pi R$ — то есть $\pi R^2$, — вписывая и описывая многоугольники с 96 сторонами. А формулу площади треугольника по трём сторонам мы знаем как формулу Герона — по имени Герона Александрийского (I век н. э.), инженера, который изобрёл первую паровую турбину. Правда, есть свидетельства, что формулу знал ещё Архимед.

Мостик в сегодня: та самая идея Архимеда «приблизь кривую фигуру многоугольником и посчитай площади треугольников» — это ровно то, как работает рендеринг в играх. Любая сфера, лицо персонажа или машина в 3D — это сетка из треугольников (mesh). А формула площади треугольника через координаты вершин («формула шнурования», о ней в следующем уроке) — одна из самых часто вызываемых функций в вычислительной геометрии.

Блок 1: Площадь треугольника — пять формул и одна идея

Давай разберёмся с интуицией

Начнём с прямоугольника $a \times b$: его площадь $S = ab$ — это просто количество единичных квадратиков, которые в него помещаются. Проведи в прямоугольнике диагональ — она разрежет его на два одинаковых прямоугольных треугольника. Значит, площадь прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ равна

Теперь возьмём произвольный треугольник $ABC$ и опустим из вершины $B$ высоту $BH$ на сторону $AC$. Треугольник распадается на два прямоугольных: $ABH$ и $CBH$. Площадь каждого — половина произведения катетов: $\frac{1}{2}AH \cdot BH$ и $\frac{1}{2}HC \cdot BH$. Складываем:

Вот и главная формула: половина основания на высоту. Если треугольник тупоугольный и высота падает за пределы стороны, рассуждение то же, только вместо суммы получается разность двух прямоугольных треугольников — ответ совпадает.

А теперь фокус. Пусть известны две стороны $a = BC$, $b = AC$ и угол $\gamma = \angle C$ между ними. Высота из $B$ на $AC$ — это катет прямоугольного треугольника $BHC$ с гипотенузой $a$, лежащий против угла $C$. Значит, $BH = a \sin\gamma$, и

Это та же самая формула «половина основания на высоту», просто высоту мы выразили через синус.

Аналогия

Представь, что треугольник — это палатка. Площадь её «тени» на полу, если смотреть сбоку, зависит только от ширины входа (основание) и высоты конька (высота). Неважно, стоит ли конёк ровно над серединой или сдвинут вбок, — если основание и высота те же, площадь та же. Сдвиг вершины вдоль прямой, параллельной основанию, не меняет площадь. Это очень мощное наблюдение: треугольники с общим основанием и вершинами на одной параллельной прямой равновелики.

А формула с синусом — это «шарнир». Две стороны $a$ и $b$ — это две жёсткие палки, скреплённые петлёй. Раскрываешь петлю — растёт высота и площадь. Максимум площади — когда угол $90°$ ($\sin 90° = 1$), тогда $S = \frac{1}{2}ab$. Сложил палки до $0°$ или развернул до $180°$ — площадь ноль, треугольник сплющился в отрезок.

Формулы площади треугольника:

1. Через основание и высоту: $S = \dfrac{1}{2}a h_a$, где $h_a$ — высота, проведённая к стороне $a$.

2. Прямоугольный треугольник: $S = \dfrac{1}{2}ab$, где $a$, $b$ — катеты.

3. Через две стороны и угол между ними: $S = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$.

4. Формула Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

5. Через радиусы: $S = pr$ (радиус вписанной окружности) и $S = \dfrac{abc}{4R}$ (радиус описанной).

Частный случай: равносторонний треугольник со стороной $a$ имеет площадь $S = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Почему $S = pr$? Соедини центр вписанной окружности с вершинами — треугольник распадётся на три треугольника с основаниями $a$, $b$, $c$ и одинаковой высотой $r$ (радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне). Сумма: $\frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = \frac{a+b+c}{2} \cdot r = pr$.

Почему $\frac{a^2\sqrt3}{4}$? В равностороннем треугольнике все углы по $60°$, значит $S = \frac{1}{2}a \cdot a \cdot \sin 60° = \frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{\sqrt3}{2}$.

Формулу Герона строго выводят из теоремы косинусов (это чуть длинная, но честная алгебра), а на экзамене её достаточно уметь применять.

Пример 1 (лёгкий): основание и высота

В треугольнике сторона равна $12$, а высота, проведённая к ней, равна $7$. Найди площадь.

Решение:

Разберём по шагам. Формула «половина основания на высоту» требует, чтобы высота была проведена именно к этому основанию. Здесь так и есть:

Ответ: $42$.

Пример 2 (средний): две стороны и угол

Две стороны треугольника равны $8$ и $10$, угол между ними $30°$. Найди площадь. А что будет, если угол между теми же сторонами $150°$?

Решение:

Шаг 1. $\sin 30° = \frac{1}{2}$, поэтому

Шаг 2. Для угла $150°$ вспомним формулу приведения: $\sin 150° = \sin(180° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}$. Значит, площадь та же самая: $20$.

Почему так происходит? Представь «шарнир» из аналогии: при угле $30°$ и при угле $150°$ вторая палка поднимается над первой на одну и ту же высоту $10 \cdot \frac12 = 5$ — просто в одном случае она наклонена вперёд, а в другом назад.

Ответ: $20$ в обоих случаях.

Пример 3 (сложный): формула Герона и высота

Стороны треугольника равны $7$, $15$ и $20$. Найди его площадь и высоту, проведённую к большей стороне.

Решение:

Шаг 1. Ни угла, ни высоты не дано — значит, работает формула Герона. Полупериметр:

Шаг 2. Разности: $p - a = 21 - 7 = 14$, $p - b = 21 - 15 = 6$, $p - c = 21 - 20 = 1$.

Шаг 3. Площадь:

Лайфхак для извлечения корня: разложи на множители, а не перемножай вслепую. $21 \cdot 14 \cdot 6 = (3 \cdot 7)(2 \cdot 7)(2 \cdot 3) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2$, значит корень равен $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.

Шаг 4. Высоту к стороне $20$ находим, «перевернув» основную формулу: $S = \frac12 \cdot 20 \cdot h$, откуда

Проверим наш ответ на здравый смысл: высота к самой длинной стороне — самая маленькая из трёх высот (произведение «сторона × высота» у всех одинаковое, $2S$). $4{,}2 < 7$ — правдоподобно.

Ответ: $S = 42$, $h = 4{,}2$.

Почему это важно

Формула $S = \frac12 ah$ — это не просто способ найти площадь. Это мост между площадью и длиной: зная площадь, можно найти любую высоту, а значит, расстояние от вершины до прямой. На ОГЭ и ЕГЭ приём «посчитай площадь двумя способами и приравняй» встречается постоянно — так находят высоту к гипотенузе, радиус вписанной окружности, расстояние от точки до прямой.

В компьютерной графике формула $\frac12 ab\sin\gamma$ в векторной форме превращается в половину модуля векторного произведения: $S = \frac12|\vec{u} \times \vec{v}|$. Именно так считаются площади треугольников меша, нормали к поверхности и барицентрические координаты — по ним видеокарта решает, какой цвет текстуры положить в каждый пиксель треугольника.

Блок 2: Параллелограмм, ромб, трапеция — всё из прямоугольника

Давай разберёмся с интуицией

Параллелограмм. Возьми параллелограмм $ABCD$ с основанием $AD = a$ и опусти высоту $BH$ из вершины $B$. Отрежь прямоугольный треугольник $ABH$ слева и перенеси его вправо, приложив к стороне $CD$. Получится прямоугольник с той же шириной $a$ и высотой $h$. Площадь не изменилась — мы ничего не выбросили и не добавили. Итог: $S = ah$.

Если известны две стороны $a$, $b$ и угол $\alpha$ между ними, высота равна $h = b\sin\alpha$, и $S = ab\sin\alpha$. Другой способ увидеть то же: диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, у каждого площадь $\frac12 ab\sin\alpha$.

Ромб. Ромб — это параллелограмм, так что $S = ah$ работает. Но у ромба есть особый подарок: его диагонали перпендикулярны. Проведи через вершины ромба прямые, параллельные диагоналям, — получится прямоугольник со сторонами $d_1$ и $d_2$, и ромб занимает ровно половину его. Итог: $S = \frac12 d_1 d_2$. Эта формула работает для любого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями (например, для дельтоида — «воздушного змея»).

Трапеция. Проведём диагональ $AC$ в трапеции $ABCD$ с основаниями $AD = a$ и $BC = b$. Получились два треугольника: $ACD$ с основанием $a$ и $ABC$ с основанием $b$. Высота у обоих одна и та же — это высота трапеции $h$ (расстояние между параллельными основаниями). Складываем:

Число $\frac{a+b}{2}$ — это длина средней линии трапеции $m$. Так что $S = mh$: трапеция равновелика прямоугольнику со сторонами «средняя линия × высота».

Аналогия

Представь колоду карт, лежащую ровной стопкой, — это прямоугольник. Теперь толкни колоду сбоку, чтобы карты съехали наискосок, — получится параллелограмм. Ни одна карта не пропала, высота колоды не изменилась, ширина каждой карты — тоже. Значит, и площадь «сбоку» та же: $S = ah$. Это наглядная версия принципа Кавальери: если две фигуры на каждой высоте имеют одинаковую ширину, их площади равны.

Трапеция в этой аналогии — стопка карт, которые становятся к верху всё уже. Средняя по ширине карта — средняя линия. Если заменить все карты на «средние», площадь не изменится: сколько ширины отняли у нижних, столько добавили верхним.

Формулы площади четырёхугольников:

1. Прямоугольник: $S = ab$. Квадрат: $S = a^2 = \dfrac{d^2}{2}$ ($d$ — диагональ).

2. Параллелограмм: $S = ah_a$ или $S = ab\sin\alpha$.

3. Ромб: $S = ah$, $S = a^2\sin\alpha$ или $S = \dfrac{1}{2}d_1d_2$.

4. Трапеция: $S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$, $b$ — основания, $h$ — высота.

5. Любой выпуклый четырёхугольник: $S = \dfrac12 d_1 d_2 \sin\varphi$, где $\varphi$ — угол между диагоналями.

Пример 1 (лёгкий): две высоты параллелограмма

Стороны параллелограмма равны $10$ и $6$, высота, проведённая к стороне $10$, равна $4$. Найди площадь и вторую высоту.

Решение:

Шаг 1. $S = 10 \cdot 4 = 40$.

Шаг 2. Площадь можно посчитать и через другую сторону с её высотой: $S = 6 \cdot h_2$. Приравниваем: $6h_2 = 40$, $h_2 = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} \approx 6{,}67$.

Заметь: к короткой стороне проведена более длинная высота. Так всегда — произведение «сторона × своя высота» постоянно.

Ответ: $S = 40$, $h_2 = \frac{20}{3}$.

Пример 2 (средний): ромб по диагоналям

Диагонали ромба равны $10$ и $24$. Найди площадь, сторону и высоту ромба.

Решение:

Шаг 1. Площадь: $S = \frac12 \cdot 10 \cdot 24 = 120$.

Шаг 2. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Значит, ромб разбит на четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами $5$ и $12$. Сторона ромба — гипотенуза:

Шаг 3. Высота из формулы $S = ah$: $h = \frac{120}{13} \approx 9{,}23$.

Проверим наш ответ: высота ромба не может быть больше стороны (перпендикуляр короче наклонной): $9{,}23 < 13$ ✅.

Ответ: $S = 120$, $a = 13$, $h = \frac{120}{13}$.

Пример 3 (сложный): равнобедренная трапеция без высоты

Основания равнобедренной трапеции равны $6$ и $16$, боковая сторона равна $13$. Найди площадь.

Решение:

Шаг 1. Высоту не дали — её нужно добыть. Опустим из концов меньшего основания две высоты на большее. Они отрежут от большего основания отрезок, равный меньшему ($6$), а по краям останутся два равных кусочка:

Это стандартный приём для равнобедренной трапеции: проекция боковой стороны на большее основание равна полуразности оснований.

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике «боковая сторона — высота — кусочек $5$» по теореме Пифагора:

Шаг 3. Площадь:

Ответ: $132$.

Почему это важно

Формулы четырёхугольников — это не пять разных фактов, а пять вариаций одного: «разрежь на треугольники или переложи в прямоугольник». Если на экзамене ты забыл формулу трапеции — проведи диагональ и сложи два треугольника. Забыл формулу ромба — разбей диагоналями на четыре прямоугольных треугольника. Умение разбить фигуру на знакомые куски ценнее любой шпаргалки.

В программировании это ровно принцип триангуляции полигона: любой многоугольник (контур здания на карте, область на снимке, полигон в игровом движке) разбивают на треугольники, и площадь — сумма их площадей. Даже формула $\frac12 d_1 d_2 \sin\varphi$ для четырёхугольника — это векторное произведение диагоналей, пополам.

Блок 3: Круг, сектор, подобие и разбиение

Давай разберёмся с интуицией

Круг. Разрежь пиццу на очень много тонких кусочков и уложи их «ёлочкой»: остриём вверх, остриём вниз, снова вверх. Получится фигура, похожая на параллелограмм. Её высота — радиус $R$, а длина основания — половина длины окружности, то есть $\pi R$ (половина корок смотрит вниз, половина вверх). Чем тоньше кусочки, тем точнее это прямоугольник со сторонами $R$ и $\pi R$. Итог:

Сектор — это кусок пиццы с углом $\alpha$ градусов. Вся пицца — $360°$, значит, кусок составляет долю $\frac{\alpha}{360}$ от целого:

Подобие. Если увеличить фигуру в $k$ раз (все длины умножить на $k$), площадь увеличится в $k^2$ раз. Почему? Площадь — это «длина × длина». Каждый маленький квадратик $1 \times 1$ превращается в квадрат $k \times k$, то есть в $k^2$ квадратиков. Это работает для любых подобных фигур — треугольников, многоугольников, кругов.

Разбиение. Два треугольника с общей высотой относятся по площади как их основания. Например, медиана делит треугольник на два равновеликих (основания равны, высота общая). А если точка делит сторону в отношении $1 : 2$, то и площади частей относятся как $1 : 2$.

Аналогия

Отношение площадей подобных фигур — это как разрешение экрана. Экран Full HD — $1920 \times 1080$, а 4K — $3840 \times 2160$. Каждая сторона больше в $2$ раза, а пикселей больше в $4$ раза: $8{,}3$ млн против $2{,}07$ млн. Поэтому 4K-видео весит примерно в четыре раза больше (при прочих равных), а не в два. Инженеры, которые проектируют видеокарты, отлично знают это «квадратичное проклятие»: удвоил разрешение — нагрузка вчетверо.

Разбиение по общей высоте — это как делить торт, разрезая его от одной точки на краю: если ты делишь противоположный край на куски, то «доли» торта пропорциональны длинам этих кусков.

Круг и подобие:

1. Площадь круга: $S = \pi R^2$. Длина окружности: $C = 2\pi R$.

2. Площадь сектора с центральным углом $\alpha$: $S = \dfrac{\pi R^2 \alpha}{360°}$.

3. Если фигуры подобны с коэффициентом $k$, то $\dfrac{S_1}{S_2} = k^2$.

4. Треугольники с общей высотой: $\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{a_1}{a_2}$ (отношение оснований). Треугольники с общим углом: $\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{b_1 c_1}{b_2 c_2}$ (отношение произведений сторон, заключающих этот угол).

Пример 1 (лёгкий): круг и кусок пиццы

Радиус пиццы $R = 5$. Найди площадь всей пиццы и площадь куска с углом $72°$.

Решение:

Кусок с углом $72°$ — это $\frac{72}{360} = \frac15$ пиццы:

Ответ: $25\pi$ и $5\pi$.

На ОГЭ часто просят «найди $\frac{S}{\pi}$» — тогда ответ $25$ и $5$.

Пример 2 (средний): подобные треугольники

Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны, стороны второго в $3$ раза больше соответствующих сторон первого. Площадь $ABC$ равна $8$. Найди площадь $A_1B_1C_1$.

Решение:

Коэффициент подобия $k = 3$, площади относятся как $k^2 = 9$:

Частая ловушка — умножить на $3$ и получить $24$. Проверим на квадратиках: треугольник, растянутый втрое, «вмещает» в себя $9$ копий исходного треугольника (разбей каждую сторону на три части и проведи линии, параллельные сторонам, — получится ровно $9$ маленьких треугольников).

Ответ: $72$.

Пример 3 (сложный): трапеция и её диагонали

В трапеции $ABCD$ основания $BC = 3$ и $AD = 6$. Диагонали пересекаются в точке $O$. Площадь треугольника $BOC$ равна $4$. Найди площадь трапеции.

Решение:

Картинка словами: снизу длинное основание $AD$, сверху короткое $BC$, диагонали $AC$ и $BD$ крест-накрест, точка $O$ — их пересечение. Трапеция разбита на четыре треугольника: верхний $BOC$, нижний $AOD$ и два боковых $AOB$ и $COD$.

Шаг 1. Треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны (накрест лежащие углы при параллельных $BC$ и $AD$ равны). Коэффициент подобия $k = \frac{AD}{BC} = \frac{6}{3} = 2$. Значит,

Шаг 2. Из подобия $\frac{AO}{OC} = 2$. Треугольники $AOB$ и $COB$ имеют общую высоту из вершины $B$ на прямую $AC$, а их основания $AO$ и $OC$ относятся как $2 : 1$. Значит,

Шаг 3. Аналогично $S_{COD} = 8$ (или: $S_{ABD} = S_{ACD}$ — у них общее основание $AD$ и одинаковая высота, а если из обоих вычесть $S_{AOD}$, останутся $S_{AOB} = S_{COD}$).

Шаг 4. Итого:

Проверим наш ответ красивой формулой: для трапеции $S = (\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2 = (\sqrt4 + \sqrt{16})^2 = (2 + 4)^2 = 36$ ✅. А боковые треугольники всегда равны $\sqrt{S_1 S_2} = \sqrt{64} = 8$ ✅.

Ответ: $36$.

Почему это важно

Отношение площадей подобных фигур — одна из самых «экономящих время» идей школьной геометрии. Вместо того чтобы искать высоты и стороны, ты сразу пишешь $k^2$. В задачах второй части ОГЭ (23–25) почти всегда спрятано подобие, и площади через него находятся в одну строку.

А за пределами школы — метрика IoU (Intersection over Union) в компьютерном зрении. Когда нейросеть вроде YOLO рисует прямоугольник вокруг кота на фото, качество проверяют так: делят площадь пересечения предсказанного и правильного прямоугольников на площадь их объединения. $\text{IoU} = 1$ — идеальное попадание, $\text{IoU} \geq 0{,}5$ — обычно засчитывается как правильное обнаружение. Вся метрика — это аккуратный подсчёт площадей прямоугольников (задание 29 ниже).

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: Сторона треугольника равна $9$, а высота, проведённая к ней, равна $8$. Найди площадь треугольника.

Задание 2: Катеты прямоугольного треугольника равны $7$ и $12$. Найди его площадь.

Задание 3: Сторона параллелограмма равна $15$, а высота, проведённая к этой стороне, равна $4$. Найди площадь параллелограмма.

Задание 4: Диагонали ромба равны $14$ и $9$. Найди площадь ромба.

Задание 5: Основания трапеции равны $5$ и $11$, высота равна $6$. Найди площадь трапеции.

Задание 6: Две стороны треугольника равны $6$ и $10$, угол между ними $30°$. Найди площадь.

Задание 7: Радиус круга равен $4$. Найди площадь круга, в ответ запиши $\dfrac{S}{\pi}$.

Задание 8: Диагональ квадрата равна $10$. Найди его площадь.

Задание 9: Сторона равностороннего треугольника равна $6$. Найди его площадь. В ответ запиши $\dfrac{S}{\sqrt3}$.

Задание 10: Площадь прямоугольника равна $48$, одна из сторон равна $6$. Найди диагональ прямоугольника.

Средние (задания 11–20)

Задание 11: Стороны треугольника равны $9$, $10$ и $17$. Найди его площадь.

Задание 12: Стороны параллелограмма равны $8$ и $12$, один из углов равен $150°$. Найди площадь.

Задание 13: Сторона ромба равна $10$, одна из диагоналей равна $12$. Найди площадь ромба.

Задание 14: Основания равнобедренной трапеции равны $7$ и $19$, боковая сторона равна $10$. Найди площадь трапеции.

Задание 15: Радиус круга равен $6$, центральный угол сектора равен $120°$. Найди площадь сектора, в ответ запиши $\dfrac{S}{\pi}$.

Задание 16: Периметры двух подобных треугольников относятся как $2 : 5$. Площадь большего треугольника равна $75$. Найди площадь меньшего.

Задание 17: Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник площадью $7$. Найди площадь оставшейся части (трапеции).

Задание 18: Катет прямоугольного треугольника равен $9$, гипотенуза $15$. Найди высоту, проведённую к гипотенузе.

Задание 19: Площадь треугольника $ABC$ равна $48$. $AM$ — медиана, $K$ — середина $AM$. Найди площадь треугольника $ABK$.

Задание 20: Иконка в приложении — кольцо между окружностями радиусов $7$ и $5$ с общим центром. Найди площадь кольца, в ответ запиши $\dfrac{S}{\pi}$.

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21: В трапеции $ABCD$ основания $BC = 4$ и $AD = 10$, диагонали пересекаются в точке $O$. Площадь треугольника $BOC$ равна $8$. Найди площадь трапеции.

Задание 22: Стороны треугольника равны $10$, $10$ и $12$. Найди площадь, радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности.

Задание 23: Площадь треугольника $ABC$ равна $80$. На стороне $AB$ взята точка $M$ так, что $AM : MB = 1 : 3$, на стороне $AC$ — точка $N$ так, что $AN : NC = 2 : 3$. Найди площадь треугольника $AMN$.

Задание 24: Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $60$. Точка $M$ — середина стороны $BC$. Найди площадь четырёхугольника $AMCD$.

Задание 25: Диагонали выпуклого четырёхугольника равны $10$ и $14$, угол между ними $30°$. Найди площадь четырёхугольника.

Задание 26: Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, высота равна $9$. Найди площадь трапеции.

Задание 27: В круге радиуса $6$ проведены два перпендикулярных радиуса $OA$ и $OB$. Найди площадь меньшего сегмента, отсекаемого хордой $AB$ (с точностью до сотых).

Задание 28: Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, делит её на отрезки $4$ и $9$. Найди площадь треугольника.

Задание 29: Компьютерное зрение. Нейросеть нашла на картинке кота и выдала рамку с углами $(0;0)$ и $(4;3)$, а правильная рамка из разметки — с углами $(2;1)$ и $(6;5)$ (стороны рамок параллельны осям). Найди IoU — отношение площади пересечения рамок к площади их объединения.

Задание 30: Основания трапеции равны $6$ и $14$, её площадь равна $100$. Средняя линия делит трапецию на две трапеции. Найди их площади.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Берут высоту, проведённую не к тому основанию

Неправильно: в параллелограмме со сторонами $10$ и $6$ и высотой $4$ к стороне $10$ пишут $S = 6 \cdot 4 = 24$.

Правильно: высота и основание должны быть «парой»: высота $4$ проведена к стороне $10$, значит $S = 10 \cdot 4 = 40$.

Почему важно: это самая частая ошибка в заданиях 15–17 ОГЭ. Перед подстановкой всегда спрашивай себя: «на какую сторону падает эта высота?»

❌ Ошибка 2: Забывают $\frac12$ в формуле треугольника или добавляют её в параллелограмм

Неправильно: $S_\triangle = ah$ или $S_{\text{парал}} = \frac12 ab\sin\alpha$.

Правильно: $S_\triangle = \frac12 ah = \frac12 ab\sin\gamma$; $S_{\text{парал}} = ah = ab\sin\alpha$.

Почему важно: ответ ровно в два раза больше или меньше выглядит «похоже на правду» — такую ошибку трудно заметить. Держи в голове картинку: треугольник — половина параллелограмма.

❌ Ошибка 3: При подобии умножают площадь на $k$, а не на $k^2$

Неправильно: «треугольник увеличили в $3$ раза, значит площадь $8 \cdot 3 = 24$».

Правильно: $8 \cdot 3^2 = 72$.

Почему важно: это классическая ловушка задач 16–17 и 23–25. Проверка: квадрат $1 \times 1$ после увеличения в $3$ раза — $3 \times 3$, площадь $9$, а не $3$.

❌ Ошибка 4: Путают радиус и диаметр в формуле круга

Неправильно: диаметр $10$, площадь $\pi \cdot 10^2 = 100\pi$.

Правильно: $R = 5$, $S = 25\pi$.

Почему важно: ошибка в $4$ раза. На ОГЭ часто дают именно диаметр или сторону квадрата, в который вписан круг (она равна диаметру).

❌ Ошибка 5: В трапеции берут боковую сторону вместо высоты

Неправильно: основания $6$ и $16$, боковая $13$: $S = 11 \cdot 13 = 143$.

Правильно: сначала найти высоту: $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$, $S = 11 \cdot 12 = 132$.

Почему важно: боковая сторона — наклонная, она длиннее высоты (перпендикуляра). Если трапеция не прямоугольная, боковая сторона никогда не равна высоте.

❌ Ошибка 6: В формуле Герона подставляют периметр вместо полупериметра

Неправильно: стороны $7$, $15$, $20$: $p = 42$, под корнем $42 \cdot 35 \cdot 27 \cdot 22$ — огромное некрасивое число.

Правильно: $p = 21$, $S = \sqrt{21 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 1} = 42$.

Почему важно: если под корнем в задаче ОГЭ получилось число, которое не извлекается, — почти наверняка ошибка в $p$. Задачи обычно подобраны так, что корень «красивый».

Главное запомнить

📝 Ключевые понятия

✅ Треугольник через высоту: $S = \frac12 a h_a$ — высота обязательно к той же стороне.

✅ Треугольник через угол: $S = \frac12 ab\sin\gamma$, $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$. Для тупого угла $\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$.

✅ Формула Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, $p$ — полупериметр.

✅ Радиусы: $S = pr$ и $S = \frac{abc}{4R}$. Равносторонний: $S = \frac{a^2\sqrt3}{4}$.

✅ Параллелограмм: $S = ah = ab\sin\alpha$ — без половинки.

✅ Ромб и любой четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями: $S = \frac12 d_1 d_2$.

✅ Трапеция: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$ = средняя линия × высота.

✅ Круг и сектор: $S = \pi R^2$, $S_{\text{сект}} = \pi R^2 \cdot \frac{\alpha}{360°}$.

✅ Подобие: площади относятся как $k^2$, периметры — как $k$.

✅ Разбиение: медиана делит площадь пополам; треугольники с общей высотой относятся как основания; с общим углом — как произведения сторон при этом угле.

✅ Площадь как инструмент: посчитай площадь двумя способами и приравняй — так находят высоты и радиусы.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Периметр, площадь и объём — площадь прямоугольника и квадрата, единицы площади; отсюда растут все формулы этого урока
• Прямоугольный треугольник — теорема Пифагора и синус нужны, чтобы добывать высоты
• Четырёхугольники — свойства параллелограмма, ромба и трапеции (диагонали, средняя линия)
• Равенство и подобие треугольников — без подобия не работает правило $k^2$

Что изучить дальше:

• Задачи на клетчатой бумаге — те же формулы, но фигура задана вершинами на сетке; плюс формула Пика и метод достраивания
• Геометрические утверждения ОГЭ — формулы площадей в задании 19 проверяют как «верно/неверно»
• Вписанные и описанные окружности — откуда берутся $r$ и $R$ в формулах $S = pr$ и $S = \frac{abc}{4R}$
• Теорема синусов и теорема косинусов — развивают формулу $\frac12 ab\sin\gamma$
• Вычисление площадей с помощью интеграла — как считать площадь под кривой, когда формулы кончаются
• Вычислительная геометрия — площади полигонов, векторное произведение, триангуляция в алгоритмах

Экзамен: задание 15 ОГЭ, задание 16, задание 17, задание 18.

Где это нужно в жизни:

• 🏠 Ремонт: площадь стены минус окна и двери — сколько рулонов обоев; площадь скошенного пола — сколько ламината
• 🎮 3D-графика: каждая модель в игре — тысячи треугольников; площади нужны для освещения, текстурирования и расчёта столкновений
• 🤖 ML/компьютерное зрение: метрика IoU для детекторов объектов, площадь масок сегментации
• 🗺️ Картография и ГИС: площадь участка по координатам его границы — кадастровые расчёты
• 📱 Экраны: разрешение и «квадратичный рост» пикселей при увеличении сторон

Интересные факты

💡 Египетское $\pi$. В папирусе Ахмеса площадь круга диаметром $9$ считается как площадь квадрата со стороной $8$. Получается $\pi \approx \frac{256}{81} \approx 3{,}16$ — лучше, чем «$\pi = 3$» во многих других древних текстах.

💡 Архимед и 96-угольник. Чтобы оценить $\pi$, Архимед вписал в круг и описал около него правильные 96-угольники и посчитал их периметры. Результат: $3\frac{10}{71} < \pi < 3\frac17$. Это первая в истории оценка $\pi$ с доказанной точностью.

💡 Треугольник — атом компьютерной графики. Видеокарты умеют рисовать только три примитива: точки, отрезки и треугольники. Всё остальное — окружности, сферы, лица персонажей — разбивается на треугольники. Современная игра выводит миллиарды треугольников в секунду.

💡 Равные площади — не значит равные фигуры. Теорема Бойяи — Гервина (XIX век): любые два многоугольника одинаковой площади можно разрезать на конечное число кусков так, что из кусков одного складывается другой. Квадрат можно разрезать на 4 куска и сложить из них равносторонний треугольник (головоломка Дьюдени).

💡 Формула Герона — от инженера. Герон Александрийский был скорее изобретателем, чем теоретиком: автоматы для храмов, паровой шар «эолипил», одометр для колесницы. Формула площади ему была нужна для практической геодезии.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Нет формулы — режь на треугольники

Любой многоугольник разбивается диагоналями на треугольники. Забыл формулу трапеции — проведи диагональ, сложи два треугольника.

Пример: трапеция с основаниями $5$ и $11$, высотой $6$: $\frac12 \cdot 11 \cdot 6 + \frac12 \cdot 5 \cdot 6 = 33 + 15 = 48$.

2. Площадь двумя способами — и вот высота

Нужна высота к гипотенузе или к любой стороне? Посчитай площадь удобным способом, потом раздели $2S$ на нужную сторону.

Пример: катеты $6$ и $8$, гипотенуза $10$: $h = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4{,}8$.

3. Египетские тройки ускоряют всё

Запомни $3$-$4$-$5$, $5$-$12$-$13$, $8$-$15$-$17$, $7$-$24$-$25$ и их кратные ($6$-$8$-$10$, $9$-$12$-$15$). В задачах ОГЭ высоты трапеций и ромбов почти всегда из этих троек.

4. Проверка Герона на «красивость»

Разложи $p$, $p-a$, $p-b$, $p-c$ на простые множители — каждый множитель должен встретиться чётное число раз. Если нет, либо ответ иррациональный, либо ты ошибся в $p$.

5. $\sin 30° = \sin 150° = \frac12$

Если в задаче тупой угол $150°$, $135°$ или $120°$, сразу переходи к смежному: $30°$, $45°$, $60°$. Площадь не меняется.

6. В трапеции с диагоналями — «правило корней»

Если площади треугольников у оснований $S_1$ и $S_2$, то боковые треугольники равны $\sqrt{S_1S_2}$, а вся трапеция $(\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2})^2$. Проверка в одну строку.

7. Мнемоника для $k^2$: «длина — раз, площадь — два, объём — три»

При подобии с коэффициентом $k$ длины умножаются на $k^1$, площади на $k^2$, объёмы на $k^3$. Показатель степени равен размерности величины.

💡 Совет: выпиши формулы из «Главное запомнить» на одну карточку, но рядом с каждой нарисуй, из чего она получается (половина прямоугольника, перекладка треугольника, разбиение). Через неделю ты будешь помнить не формулы, а картинки, — и формулы восстановятся из картинок сами.

Дальше: задачи на клетчатой бумаге — применяем все эти формулы к фигурам на сетке, как в задании 18 ОГЭ.