Задачи на клетчатой бумаге: площадь, длина, угол 🔲

Открой тетрадь в клетку, поставь три точки в узлах сетки и соедини их. Получился треугольник. Какая у него площадь? Если одна сторона лежит ровно по линии клеток — ответ в одну строку. А если все три стороны идут наискосок? Считать клеточки «на глаз» — ненадёжно: половинки, четвертинки и косые обрезки быстро превращаются в кашу.

Задание 18 ОГЭ — ровно про это: на клетчатой бумаге с клетками $1 \times 1$ нарисована фигура, и нужно найти её площадь, длину отрезка, среднюю линию или тангенс угла. Это один из самых «дешёвых» баллов экзамена: здесь нет длинных доказательств, зато есть несколько надёжных приёмов, которые работают всегда. Выучил приёмы — балл твой.

И это не просто школьная забава. Клетчатая бумага — это пиксельная сетка экрана, карта в стратегии, где юниты ходят по клеткам, растровое изображение, которое нейросеть разбивает на патчи. Формула площади многоугольника по координатам вершин (её называют «формулой шнурования») — стандартная функция в любой ГИС-системе и игровом движке. А формула Пика, которую ты узнаешь в этом уроке, позволяет посчитать площадь, просто пересчитав точки.

Поскольку в тексте нет картинок, все фигуры мы будем задавать координатами вершин на сетке: $A(1;1)$ значит «первая вертикальная линия слева, первая горизонтальная снизу». Возьми лист в клетку и рисуй по ходу чтения — так ты заодно натренируешь то, что нужно на экзамене: переводить картинку в числа.

Ты узнаешь:

🎯 Три способа найти площадь фигуры на клетках: по формуле, методом «достроить до прямоугольника и вычесть» и по формуле Пика

🎯 Как найти длину наклонного отрезка, среднюю линию и расстояние от точки до прямой, не имея линейки

🎯 Как по клеткам найти тангенс, косинус и даже величину угла — и как распознать прямой угол и угол $45°$ за секунду

История: откуда это взялось? 📜

Идея сетки старше, чем кажется. Римские землемеры-агрименсоры делили завоёванные земли на квадраты-«центурии» со стороной около $710$ метров — следы этой сетки до сих пор видны на аэрофотоснимках Северной Италии. Но настоящим отцом «клетчатого» мышления стал Рене Декарт: в 1637 году в приложении «Геометрия» к «Рассуждению о методе» он показал, что точку можно описать парой чисел, а геометрическую задачу — перевести в алгебру. С тех пор фигуры на клетках — это просто списки координат.

Формулу площади многоугольника по координатам вершин приписывают Карлу Фридриху Гауссу (конец XVIII века) и швейцарскому математику Мейстеру; из-за крестообразной схемы вычисления её называют «формулой шнурования» (shoelace formula). А самый элегантный результат про клетчатые фигуры получил в 1899 году австрийский математик Георг Пик: площадь многоугольника с вершинами в узлах сетки равна $\text{В} + \frac{\text{Г}}{2} - 1$, где $\text{В}$ — число узлов внутри, $\text{Г}$ — на границе. Пик опубликовал её в пражском научном журнале, и она оставалась малоизвестной, пока в 1969 году польский математик Гуго Штейнгауз не включил её в свою популярную книгу «Математический калейдоскоп».

Мостик в сегодня: экран твоего телефона — это сетка пикселей, а изображение для нейросети — массив чисел в узлах такой сетки. Когда модель сегментации выделяет на снимке опухоль или дорогу, площадь выделенной области считают ровно подсчётом «клеток» (пикселей) — это дискретная версия той же идеи, что у Пика.

Блок 1: Площадь фигуры на клетках — три способа

Давай разберёмся с интуицией

Способ 1: готовая формула. Если у треугольника одна сторона лежит на линии сетки (горизонтально или вертикально), то высота к ней тоже идёт по линиям сетки — её длину можно просто посчитать по клеткам. То же для параллелограмма и трапеции, у которых основания горизонтальны. Это самый быстрый способ, и на ОГЭ он работает примерно в половине случаев.

Способ 2: достроить до прямоугольника. Если стороны идут наискосок, обведи фигуру наименьшим прямоугольником со сторонами по линиям сетки («ограничивающий прямоугольник», в программировании — bounding box). Между фигурой и прямоугольником останутся «уголки» — прямоугольные треугольники, у которых катеты идут по клеткам, а иногда ещё маленькие прямоугольники. Их площади считаются легко. Вычитаем из прямоугольника — получаем фигуру.

Способ 3: формула Пика. Если вершины многоугольника лежат в узлах сетки, то

где $\text{В}$ — количество узлов строго внутри фигуры, $\text{Г}$ — количество узлов на её границе (включая вершины). Удобно, когда фигура сложная, а узлы видно на картинке.

Сколько узлов лежит на отрезке? Если отрезок сдвигается на $dx$ клеток по горизонтали и $dy$ по вертикали, то он проходит через $\text{НОД}(dx, dy) + 1$ узлов, считая оба конца. Например, отрезок из $(0;0)$ в $(6;4)$: $\text{НОД}(6, 4) = 2$, узлов три — $(0;0)$, $(3;2)$, $(6;4)$. При подсчёте $\text{Г}$ для многоугольника складываем $\text{НОД}$ по всем сторонам (так каждая вершина посчитается ровно один раз).

Аналогия

Метод достраивания — это как посчитать площадь пиццы, вырезанной из квадратной коробки: проще измерить коробку и вычесть пустые углы, чем мерить саму пиццу. А формула Пика — это как оценить площадь парковки по числу машиномест: каждое место внутри — примерно одна единица площади, а места у забора засчитываются «наполовину», потому что половина их «зоны» снаружи. Минус единица — поправка за то, что углы по сумме «недобирают» целый оборот.

Три способа для площади на клетках:

1. Формула: если основание и высота идут по линиям сетки — $S = \frac12 ah$, $S = ah$, $S = \frac{a+b}{2}h$.

2. Достраивание: $S = S_{\text{прямоуг}} - \sum S_{\text{уголков}}$. Каждый уголок — прямоугольный треугольник с катетами по клеткам (или прямоугольник).

3. Формула Пика: $S = \text{В} + \frac{\text{Г}}{2} - 1$ для многоугольника с вершинами в узлах. Узлов на стороне с шагами $dx$, $dy$ (без одного конца): $\text{НОД}(|dx|, |dy|)$.

Для проверки: формула шнурования $S = \frac12\left|\sum (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$ по всем вершинам по кругу.

Пример 1 (лёгкий): основание по линии сетки

Треугольник $ABC$: $A(1;1)$, $B(7;1)$, $C(4;5)$. Найди площадь.

Как это выглядит: основание $AB$ лежит горизонтально на нижней линии, длина $6$ клеток. Вершина $C$ поднята над ним на $4$ клетки (от $y = 1$ до $y = 5$), ровно над серединой основания — треугольник похож на крышу домика.

Решение:

Основание $AB = 7 - 1 = 6$. Высота из $C$ на прямую $AB$ — вертикальный отрезок от $y = 5$ до $y = 1$, длина $4$.

Проверим наш ответ формулой Пика. Граница: сторона $AB$ даёт $\text{НОД}(6, 0) = 6$ узлов, сторона $BC$ (сдвиг $3$ влево, $4$ вверх) — $\text{НОД}(3, 4) = 1$, сторона $CA$ — тоже $1$. Итого $\text{Г} = 8$. Внутри $9$ узлов: при $y = 2$ — точки с $x = 2, 3, 4, 5, 6$ (пять узлов), при $y = 3$ — $x = 3, 4, 5$ (три), при $y = 4$ — только $x = 4$ (один). $\text{В} = 5 + 3 + 1 = 9$.

Совпало ✅

Ответ: $12$.

Пример 2 (средний): все стороны наклонные

Треугольник $A(1;1)$, $B(6;3)$, $C(2;6)$. Найди площадь.

Как это выглядит: $A$ — внизу слева, $B$ — справа чуть выше, $C$ — наверху, чуть правее $A$. Ни одна сторона не идёт по линии сетки.

Решение методом достраивания:

Шаг 1. Ограничивающий прямоугольник: $x$ от $1$ до $6$, $y$ от $1$ до $6$. Это квадрат $5 \times 5$, площадь $25$.

Шаг 2. Каждая вершина треугольника лежит на стороне квадрата: $A$ — в левом нижнем углу, $B$ — на правой стороне, $C$ — на верхней. Уголков три:

• под стороной $AB$ (правый нижний угол квадрата): катеты $6 - 1 = 5$ и $3 - 1 = 2$, площадь $\frac12 \cdot 5 \cdot 2 = 5$;
• над стороной $BC$ (правый верхний угол): катеты $6 - 2 = 4$ и $6 - 3 = 3$, площадь $\frac12 \cdot 4 \cdot 3 = 6$;
• слева от стороны $CA$ (левый верхний угол): катеты $2 - 1 = 1$ и $6 - 1 = 5$, площадь $\frac12 \cdot 1 \cdot 5 = 2{,}5$.

Шаг 3. $S = 25 - 5 - 6 - 2{,}5 = 11{,}5$.

Проверим наш ответ формулой шнурования:

Совпало ✅

Ответ: $11{,}5$.

Пример 3 (сложный): четырёхугольник с «лишними» квадратиками

Четырёхугольник $A(0;0)$, $B(5;1)$, $C(6;5)$, $D(1;4)$. Найди площадь.

Как это выглядит: фигура похожа на наклонённый квадрат. $A$ в левом нижнем углу, $B$ — справа почти у низа, $C$ — справа вверху, $D$ — почти у левого края вверху.

Решение:

Шаг 1. Ограничивающий прямоугольник: $x$ от $0$ до $6$, $y$ от $0$ до $5$, площадь $6 \cdot 5 = 30$.

Шаг 2. Теперь внимательно: не все вершины стоят в углах прямоугольника. Точка $B(5;1)$ не лежит ни на нижней стороне, ни на правой. Значит, в правом нижнем углу между уголками-треугольниками остаётся квадратик $1 \times 1$ (от $x = 5$ до $6$, от $y = 0$ до $1$). То же в левом верхнем углу из-за точки $D(1;4)$. Вырезаем:

• треугольник под $AB$: катеты $5$ и $1$, площадь $2{,}5$;
• треугольник справа от $BC$: катеты $1$ и $4$, площадь $2$;
• треугольник над $CD$: катеты $5$ и $1$, площадь $2{,}5$;
• треугольник слева от $DA$: катеты $1$ и $4$, площадь $2$;
• два квадратика $1 \times 1$: площадь $2$.

Шаг 3. $S = 30 - (2{,}5 + 2 + 2{,}5 + 2 + 2) = 30 - 11 = 19$.

Проверим наш ответ формулой Пика. На каждой стороне шаги $(5;1)$ или $(1;4)$ — $\text{НОД}$ равен $1$, поэтому на границе только $4$ вершины: $\text{Г} = 4$. Внутри по формуле должно быть $\text{В} = S - \frac{\text{Г}}{2} + 1 = 19 - 2 + 1 = 18$ узлов — если пересчитать по картинке, так и есть (мы проверили перебором на компьютере). А ещё эта фигура — параллелограмм: $\overrightarrow{AB} = (5;1) = \overrightarrow{DC}$.

Ответ: $19$.

Урок этого примера: забытый квадратик в углу — самая частая ошибка метода достраивания. Всегда проверяй: каждая ли вершина стоит на стороне прямоугольника, и заполнены ли все четыре угла?

Почему это важно

Три способа — это три независимые проверки. На экзамене посчитай одним, проверь другим — и ты застрахован от арифметической ошибки. А для программиста эти способы — готовые алгоритмы. Вот формула шнурования в Python:

def area(points):
    """Площадь многоугольника по вершинам (обход по кругу)."""
    s = 0
    n = len(points)
    for i in range(n):
        x1, y1 = points[i]
        x2, y2 = points[(i + 1) % n]
        s += x1 * y2 - x2 * y1
    return abs(s) / 2

print(area([(1, 1), (6, 3), (2, 6)]))          # 11.5
print(area([(0, 0), (5, 1), (6, 5), (1, 4)]))  # 19.0

Именно такой функцией ГИС-системы считают площадь участка по координатам GPS, а игровые движки — площадь полигона навигационной сетки.

Блок 2: Длины на клетках — отрезки, средние линии, расстояние до прямой

Давай разберёмся с интуицией

Горизонтальный или вертикальный отрезок — просто считай клетки: разность координат.

Наклонный отрезок — гипотенуза прямоугольного треугольника. Если отрезок идёт на $dx$ клеток вправо и на $dy$ вверх, то по теореме Пифагора

На ОГЭ отрезки обычно подобраны «египетские»: сдвиг $(3;4)$ даёт длину $5$, сдвиг $(6;8)$ — $10$, $(5;12)$ — $13$.

Средняя линия треугольника равна половине параллельной стороны, средняя линия трапеции — полусумме оснований. На клетках основания обычно горизонтальны, так что средняя линия трапеции находится без всяких Пифагоров.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра. Если прямая горизонтальна или вертикальна, перпендикуляр идёт по клеткам. А если прямая наклонная? Тут работает трюк из прошлого урока: площадь двумя способами. Соедини точку $C$ с двумя узлами $A$ и $B$ на прямой. Площадь треугольника $ABC$ посчитай на клетках (достраиванием), а потом $S = \frac12 \cdot AB \cdot d$, откуда

Аналогия

Длина наклонного отрезка — это как расстояние «по прямой» между двумя точками города с прямоугольными кварталами. Таксист едет по улицам $dx + dy$ кварталов (это «манхэттенское расстояние», его используют в ML как метрику $L_1$), а дрон летит по прямой — $\sqrt{dx^2 + dy^2}$ (евклидово расстояние, метрика $L_2$). В k-ближайших соседях или k-средних выбор между ними реально влияет на результат.

Длины на клетках:

1. Отрезок со сдвигами $dx$, $dy$: $L = \sqrt{dx^2 + dy^2}$.

2. Средняя линия треугольника $= \frac12$ параллельной стороны; средняя линия трапеции $= \frac{a+b}{2}$.

3. Расстояние от точки $C$ до прямой $AB$: $d = \dfrac{2S_{ABC}}{AB}$.

4. Радиус окружности — длина отрезка от центра до любой точки окружности.

Пример 1 (лёгкий): наклонный отрезок

Найди длину отрезка $A(1;2)$, $B(7;10)$.

Решение:

Сдвиги: $dx = 7 - 1 = 6$, $dy = 10 - 2 = 8$.

Ответ: $10$.

Пример 2 (средний): расстояние до наклонной прямой

Прямая проходит через узлы $A(1;1)$ и $B(7;9)$. Найди расстояние от точки $C(8;2)$ до этой прямой.

Как это выглядит: прямая $AB$ идёт круто вверх вправо (на $6$ вправо — $8$ вверх), точка $C$ лежит справа внизу от неё.

Решение:

Шаг 1. $AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$.

Шаг 2. Площадь треугольника $ABC$ достраиванием. Прямоугольник: $x$ от $1$ до $8$, $y$ от $1$ до $9$, площадь $7 \cdot 8 = 56$. Уголки:

• над $AB$ (левый верхний угол): катеты $6$ и $8$, площадь $24$;
• справа от $BC$ (правый верхний угол): катеты $1$ и $7$, площадь $3{,}5$;
• под $CA$ (правый нижний угол): катеты $7$ и $1$, площадь $3{,}5$.

$S = 56 - 24 - 3{,}5 - 3{,}5 = 25$.

Шаг 3. $d = \frac{2 \cdot 25}{10} = 5$.

Проверим наш ответ формулой шнурования: $\frac12|1 \cdot 9 - 7 \cdot 1 + 7 \cdot 2 - 8 \cdot 9 + 8 \cdot 1 - 1 \cdot 2| = \frac12|9 - 7 + 14 - 72 + 8 - 2| = \frac12 \cdot 50 = 25$ ✅.

Ответ: $5$.

Пример 3 (сложный): средняя линия трапеции

Трапеция $ABCD$: $A(1;1)$, $B(3;5)$, $C(7;5)$, $D(11;1)$. Найди её среднюю линию и площадь.

Как это выглядит: нижнее основание $AD$ длиной $10$ клеток, верхнее $BC$ — $4$ клетки, оно поднято на $4$ клетки и сдвинуто вправо. Боковые стороны разные: $AB$ идёт на $2$ вправо и $4$ вверх, $CD$ — на $4$ вправо и $4$ вниз. Трапеция не равнобедренная.

Решение:

Шаг 1. $AD = 11 - 1 = 10$, $BC = 7 - 3 = 4$ — оба горизонтальные, считаем клетки.

Шаг 2. Средняя линия: $m = \frac{10 + 4}{2} = 7$.

Шаг 3. Высота — разность $y$: $5 - 1 = 4$. Площадь: $S = m \cdot h = 7 \cdot 4 = 28$.

Заметь: боковые стороны нам вообще не понадобились. На ОГЭ в задачах про трапецию на клетках наклонные стороны почти всегда — отвлекающий манёвр.

Ответ: средняя линия $7$, площадь $28$.

Почему это важно

Приём $d = \frac{2S}{AB}$ — это переход от «площадей» к «расстояниям», и он же лежит в основе формулы расстояния от точки до прямой в аналитической геометрии и векторного произведения. В машинном обучении расстояние от точки до разделяющей прямой — это «отступ» (margin) в методе опорных векторов (SVM): модель ищет прямую, от которой ближайшие точки обоих классов максимально далеки. Та же формула, только в многомерном пространстве.

Блок 3: Углы на клетках — тангенс, косинус и «особые» углы

Давай разберёмся с интуицией

Если одна сторона угла идёт по линии сетки, всё просто. Пусть вершина угла $O$, одна сторона горизонтальна, а на другой лежит узел, до которого от $O$ нужно пройти $dx$ клеток по горизонтали и $dy$ по вертикали. Опусти из этого узла перпендикуляр на горизонтальную сторону — получится прямоугольный треугольник с катетами $dx$ и $dy$. Значит,

Если угол тупой (вторая сторона «смотрит назад»), косинус и тангенс отрицательные: $\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$.

Если обе стороны наклонные, есть два пути. Первый — теорема косинусов: найди три стороны треугольника по Пифагору и вычисли $\cos$ угла. Второй — площадь: $\sin\angle B = \frac{2S}{BA \cdot BC}$, а площадь считается на клетках.

Особые углы, которые видно сразу:

• Прямой угол. Если одна сторона идёт на $(a;b)$ клеток, а другая на $(-b;a)$ (например, $(4;3)$ и $(-3;4)$), угол между ними прямой. Это поворот на $90°$: «поменяй местами и смени один знак». Строго: скалярное произведение $4 \cdot (-3) + 3 \cdot 4 = 0$.
• Угол $45°$. Диагональ клетки образует $45°$ с линиями сетки. А ещё: если в треугольнике на клетках две стороны равны и угол между ними прямой, углы при основании по $45°$.

Аналогия

Тангенс угла — это уклон дороги, как на дорожном знаке «подъём 10%»: $10$ метров вверх на $100$ метров вперёд, $\operatorname{tg} = 0{,}1$. На клетках ты буквально видишь «сколько вверх на сколько вперёд». В играх-стратегиях на клеточной карте (например, в старых Civilization) именно так определяется, видит ли лучник цель: луч зрения — отрезок со своим уклоном.

Углы на клетках:

1. Одна сторона по сетке, другая — сдвиг $(dx;dy)$: $\operatorname{tg} = \dfrac{dy}{dx}$, $\cos = \dfrac{dx}{\sqrt{dx^2+dy^2}}$.

2. Общий случай: теорема косинусов $\cos B = \dfrac{BA^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot BA \cdot BC}$ или $\sin B = \dfrac{2S}{BA \cdot BC}$.

3. Сдвиги $(a;b)$ и $(-b;a)$ перпендикулярны. Угол между сдвигами $(a;b)$ и $(c;d)$ прямой, если $ac + bd = 0$.

Пример 1 (лёгкий): тангенс по клеткам

Вершина угла $A(1;1)$, одна сторона идёт горизонтально через $B(7;1)$, другая — через $C(4;5)$. Найди $\operatorname{tg}\angle BAC$.

Решение:

От $A$ до $C$: $3$ клетки вправо, $4$ вверх. Опустим перпендикуляр из $C$ на $AB$ — он попадает в точку $(4;1)$. Прямоугольный треугольник с катетами $3$ (прилежащий) и $4$ (противолежащий):

Бонус: $AC = \sqrt{9 + 16} = 5$, так что $\cos\angle BAC = \frac35 = 0{,}6$ и $\sin\angle BAC = \frac45 = 0{,}8$.

Ответ: $\frac43$.

Пример 2 (средний): обе стороны наклонные

Найди $\operatorname{tg}\angle ABC$, где $B(2;2)$, $A(6;3)$, $C(3;6)$.

Как это выглядит: из $B$ выходят два луча — один пологий (на $4$ вправо и $1$ вверх), другой крутой (на $1$ вправо и $4$ вверх). Они симметричны относительно диагонали клетки.

Решение:

Шаг 1. Стороны по Пифагору: $BA = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$, $BC = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}$, $AC$: сдвиг $(-3;3)$, $AC = \sqrt{18}$.

Шаг 2. Теорема косинусов:

Шаг 3. $\sin B = \sqrt{1 - \frac{64}{289}} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$, и $\operatorname{tg} B = \frac{15/17}{8/17} = \frac{15}{8}$.

Проверим наш ответ через площадь: формула шнурования даёт $S_{ABC} = \frac12|2 \cdot 3 - 6 \cdot 2 + 6 \cdot 6 - 3 \cdot 3 + 3 \cdot 2 - 2 \cdot 6| = \frac12 \cdot 15 = 7{,}5$. Тогда $\sin B = \frac{2 \cdot 7{,}5}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}} = \frac{15}{17}$ ✅.

Ответ: $\frac{15}{8} = 1{,}875$.

Пример 3 (сложный): «скрытые» $45°$

Найди угол $AOC$, где $O(0;0)$, $A(3;1)$, $C(1;2)$.

Решение:

Шаг 1. Стороны: $OA = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$, $OC = \sqrt{1 + 4} = \sqrt5$, $AC$: сдвиг $(-2;1)$, $AC = \sqrt5$.

Шаг 2. Смотри: $OC = AC = \sqrt5$ — треугольник равнобедренный. И $OC^2 + AC^2 = 5 + 5 = 10 = OA^2$ — по теореме, обратной теореме Пифагора, угол $C$ прямой. Прямоугольный равнобедренный треугольник — значит, острые углы по $45°$.

Можно увидеть прямой угол и по сдвигам: из $C$ в $O$ — $(-1;-2)$, из $C$ в $A$ — $(2;-1)$. Это пара вида $(a;b)$ и $(-b;a)$: $(-1)\cdot 2 + (-2)\cdot(-1) = 0$ ✅.

Ответ: $45°$.

Почему это важно

Угол, заданный клетками, — это угол между двумя векторами с целыми координатами. Формула $\cos\varphi = \frac{ac + bd}{|u||v|}$ — это косинусное сходство (cosine similarity), главная мера похожести в ML: так сравнивают эмбеддинги слов, документов и картинок. Когда поисковая система решает, насколько твой запрос похож на страницу, она считает косинус угла между двумя векторами — только не на клетчатой бумаге $2 \times 2$, а в пространстве из сотен измерений.

Практика: 30 заданий

Все клетки — $1 \times 1$. Вершины заданы координатами узлов сетки. Нарисуй фигуру на листе в клетку — это часть тренировки.

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: Найди площадь треугольника $A(2;1)$, $B(8;1)$, $C(5;6)$.

Задание 2: Найди площадь треугольника $A(1;1)$, $B(1;7)$, $C(9;1)$.

Задание 3: Найди площадь параллелограмма $A(1;1)$, $B(3;5)$, $C(10;5)$, $D(8;1)$.

Задание 4: Найди площадь трапеции $A(1;1)$, $B(3;4)$, $C(6;4)$, $D(10;1)$.

Задание 5: Найди площадь ромба $A(1;4)$, $B(4;8)$, $C(7;4)$, $D(4;0)$.

Задание 6: Найди длину отрезка $A(2;1)$, $B(5;5)$.

Задание 7: Найди среднюю линию трапеции $A(0;0)$, $B(2;4)$, $C(6;4)$, $D(12;0)$.

Задание 8: Найди расстояние от точки $C(4;7)$ до прямой $AB$, где $A(1;2)$, $B(9;2)$.

Задание 9: Вершина угла $O(1;1)$, одна сторона проходит через $A(9;1)$, другая — через $B(5;7)$. Найди $\operatorname{tg}\angle AOB$.

Задание 10: Окружность с центром $O(5;5)$ проходит через узел $K(8;9)$. Найди площадь круга, в ответ запиши $\dfrac{S}{\pi}$.

Средние (задания 11–20)

Задание 11: Найди площадь треугольника $A(1;2)$, $B(8;4)$, $C(3;7)$.

Задание 12: Найди площадь четырёхугольника $A(1;1)$, $B(2;6)$, $C(7;7)$, $D(8;2)$.

Задание 13: Сколько узлов сетки лежит строго внутри треугольника $A(0;0)$, $B(6;2)$, $C(2;5)$?

Задание 14: Треугольник $A(1;1)$, $B(5;9)$, $C(11;1)$. Найди длину его средней линии, параллельной стороне $AC$.

Задание 15: Найди расстояние от точки $C(9;1)$ до прямой $AB$, где $A(1;1)$, $B(4;5)$.

Задание 16: Найди $\operatorname{tg}\angle ABC$, где $B(2;2)$, $A(8;4)$, $C(4;8)$.

Задание 17: Вершина угла $A(1;1)$, стороны проходят через $B(5;4)$ и $C(7;1)$. Найди $\cos\angle BAC$.

Задание 18: Найди высоту треугольника $A(1;1)$, $B(7;9)$, $C(9;3)$, проведённую из вершины $C$.

Задание 19: Сектор круга с центром $O(4;4)$ ограничен радиусами $OA$ и $OB$, где $A(7;8)$, $B(0;7)$, и дугой $AB$, меньшей полуокружности. Найди площадь сектора, в ответ запиши $\dfrac{S}{\pi}$.

Задание 20: Найди площадь невыпуклого четырёхугольника $A(1;1)$, $B(5;4)$, $C(9;1)$, $D(5;8)$ (фигура похожа на наконечник стрелы, остриём вверх).

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21: Найди площадь пятиугольника $A(1;1)$, $B(7;2)$, $C(8;6)$, $D(4;9)$, $E(0;5)$.

Задание 22: Найди величину угла $ABC$ в градусах, где $B(1;1)$, $A(7;3)$, $C(2;3)$.

Задание 23: Найди площадь треугольника $A(2;1)$, $B(6;4)$, $C(3;8)$.

Задание 24: Найди расстояние от точки $C(2;9)$ до прямой, проходящей через $A(0;0)$ и $B(8;6)$.

Задание 25: В квадрат с вершинами $(0;0)$, $(7;0)$, $(7;7)$, $(0;7)$ вписан наклонный квадрат с вершинами $(3;0)$, $(7;3)$, $(4;7)$, $(0;4)$. Найди площадь наклонного квадрата двумя способами.

Задание 26: Сколько узлов сетки лежит строго внутри треугольника $A(0;0)$, $B(10;0)$, $C(4;6)$?

Задание 27: Найди $\cos\angle ABC$, где $B(4;1)$, $A(1;5)$, $C(10;1)$.

Задание 28: Треугольник $A(1;1)$, $B(9;3)$, $C(2;6)$. Найди длину медианы, проведённой из вершины $C$.

Задание 29: Программист написал функцию площади многоугольника по формуле шнурования (см. Блок 1) и проверяет её на шестиугольнике $(2;0)$, $(6;0)$, $(8;3)$, $(6;6)$, $(2;6)$, $(0;3)$. Какой результат должна выдать функция?

Задание 30: Многоугольник с вершинами в узлах сетки содержит внутри $7$ узлов, а на его границе лежат $10$ узлов. Найди площадь. Может ли треугольник с вершинами в узлах иметь площадь $0{,}25$?

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Забывают квадратик в углу при достраивании

Неправильно: в задании 12 вычитают только четыре треугольника и получают $42 - 11 = 31$.

Правильно: вершина $B(2;6)$ не стоит на стороне прямоугольника, в углу остаётся квадрат $1 \times 1$: $42 - 12 = 30$.

Почему важно: ошибка тихая — ответ выглядит правдоподобно. Проверяй, что каждый угол прямоугольника «закрыт» полностью.

❌ Ошибка 2: Считают длину наклонного отрезка по клеткам

Неправильно: «отрезок идёт через $4$ клетки по диагонали, значит длина $4$».

Правильно: диагональ клетки равна $\sqrt2$, а отрезок со сдвигом $(dx;dy)$ имеет длину $\sqrt{dx^2 + dy^2}$.

Почему важно: по клеткам можно считать только горизонтальные и вертикальные длины.

❌ Ошибка 3: В тангенсе путают противолежащий и прилежащий катеты

Неправильно: угол при горизонтальной стороне, сдвиг $(3;4)$ — пишут $\operatorname{tg} = \frac34$.

Правильно: противолежащий углу катет вертикальный ($4$), прилежащий — горизонтальный ($3$): $\operatorname{tg} = \frac43$.

Почему важно: на ОГЭ ответы $\frac34$ и $\frac43$ оба «красивые», и ошибку не поймать на глаз. Спрашивай: какой катет касается угла?

❌ Ошибка 4: В формуле Пика неправильно считают граничные узлы

Неправильно: считают только вершины: $\text{Г} = 3$ для треугольника $A(0;0)$, $B(10;0)$, $C(4;6)$.

Правильно: на стороне $AB$ ещё $9$ промежуточных узлов, на $BC$ — $5$, на $CA$ — $1$. $\text{Г} = 18$.

Почему важно: каждый потерянный граничный узел даёт ошибку $0{,}5$ в площади. Считай через НОД сдвигов.

❌ Ошибка 5: Забывают, что угол может быть тупым

Неправильно: в задании 27 пишут $\cos\angle ABC = 0{,}6$.

Правильно: сторона $BA$ «смотрит назад» относительно $BC$, угол тупой, $\cos = -0{,}6$.

Почему важно: на ОГЭ бывают тупые углы, и знак — это половина ответа.

❌ Ошибка 6: Берут наклонную боковую сторону вместо высоты

Неправильно: трапеция $A(1;1)$, $B(3;5)$, $C(7;5)$, $D(11;1)$ — считают высоту как $AB = \sqrt{20}$.

Правильно: высота — вертикальное расстояние между основаниями: $5 - 1 = 4$.

Почему важно: на клетках высота к горизонтальному основанию — это всегда разность $y$-координат.

Главное запомнить

📝 Ключевые понятия

✅ Горизонтальные и вертикальные длины — разность координат, считай клетки.

✅ Наклонный отрезок: $L = \sqrt{dx^2 + dy^2}$. Египетские сдвиги $(3;4) \to 5$, $(6;8) \to 10$, $(5;12) \to 13$.

✅ Площадь по формуле: если основание по линии сетки, высота — разность координат.

✅ Достраивание: прямоугольник минус уголки. Не забывай квадратики в углах.

✅ Формула Пика: $S = \text{В} + \frac{\text{Г}}{2} - 1$; узлов на стороне (без одного конца) — $\text{НОД}(|dx|, |dy|)$.

✅ Формула шнурования: $S = \frac12\left|\sum(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i)\right|$ — универсальная проверка.

✅ Расстояние до наклонной прямой: $d = \frac{2S}{AB}$.

✅ Тангенс по клеткам: противолежащий катет / прилежащий, когда одна сторона угла по сетке.

✅ Общий угол: теорема косинусов по трём сторонам или $\sin B = \frac{2S}{BA \cdot BC}$.

✅ Прямой угол: сдвиги $(a;b)$ и $(-b;a)$; в общем виде $ac + bd = 0$.

✅ Минимальная площадь многоугольника с вершинами в узлах — $\frac12$; все площади кратны $\frac12$.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Площади фигур — все формулы, которые мы здесь применяем к сетке
• Прямоугольный треугольник — теорема Пифагора и определения синуса, косинуса, тангенса
• Периметр, площадь и объём — площадь прямоугольника как число единичных квадратов
• Четырёхугольники — средняя линия трапеции, свойства ромба и параллелограмма

Что изучить дальше:

• Геометрические утверждения ОГЭ — задание 19: справочник фактов и ловушек
• Теорема косинусов — главный инструмент для углов между наклонными сторонами
• Векторы на плоскости и в пространстве и скалярное произведение — «сдвиги по клеткам» это координаты векторов
• Определители 2-го и 3-го порядка — формула шнурования это сумма определителей $2 \times 2$
• Вычислительная геометрия — площади полигонов и ориентация точек в алгоритмах

Экзамен: задание 18 ОГЭ.

Где это нужно в жизни:

• 🎮 В играх: карты на клеточной сетке, линия видимости, площадь зоны влияния
• 🖥️ В графике: растеризация — какие пиксели закрасить внутри треугольника; антиалиасинг считает долю площади пикселя, закрытую фигурой
• 🤖 В ML: косинусное сходство векторов, метрики $L_1$ и $L_2$, площадь маски сегментации в пикселях
• 🗺️ В ГИС: площадь участка по координатам вершин — формула шнурования

Интересные факты

💡 Пика забыли на 70 лет. Георг Пик опубликовал свою формулу в 1899 году, и она почти не была известна, пока Гуго Штейнгауз не включил её в «Математический калейдоскоп» (1969). Сам Пик погиб в 1942 году в концлагере Терезиенштадт.

💡 В трёхмерном пространстве Пик не работает. Существуют тетраэдры Рива: вершины в узлах целочисленной решётки, внутри и на рёбрах нет ни одного узла, кроме вершин, — а объём может быть сколь угодно большим. Так что простого аналога формулы Пика для объёма нет.

💡 Правильный треугольник нельзя нарисовать по узлам. Никакой равносторонний треугольник не может иметь все три вершины в узлах квадратной сетки: его площадь $\frac{a^2\sqrt3}{4}$ была бы иррациональной (ведь $a^2$ — целое), а по формуле Пика площадь узлового многоугольника рациональна.

💡 Формула шнурования — это «ориентированная» площадь. Если обходить вершины против часовой стрелки, сумма положительная, по часовой — отрицательная. Этим пользуются в графике для «отбраковки задних граней» (backface culling): треугольник, повёрнутый к камере спиной, имеет отрицательную ориентированную площадь, и его не рисуют.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Сначала ищи сторону по линии сетки

Если хотя бы одна сторона треугольника горизонтальна или вертикальна — площадь в одну строку: $\frac12 \cdot$ сторона $\cdot$ расстояние до противоположной вершины по клеткам.

2. Считай двумя способами

Достраивание + Пик или достраивание + шнурование. Если совпало — ответ верный почти наверняка.

3. Прямой угол — «поменяй и смени знак»

Сдвиг $(3;4)$ перпендикулярен сдвигам $(-4;3)$ и $(4;-3)$. Видишь такую пару — там $90°$.

Пример: в задании 23 $(-4;-3)$ и $(-3;4)$ — прямой угол, площадь сразу как у прямоугольного треугольника.

4. Угол по «зеркальным» сдвигам

Сдвиги $(a;b)$ и $(b;a)$ симметричны относительно диагонали клетки. Если одна сторона угла по сетке, а другая — сдвиг $(k;k)$, угол $45°$, тангенс $1$.

5. Не нужна точная картинка — нужны координаты

На экзамене первым делом выпиши координаты всех вершин относительно левого нижнего узла. Дальше работаешь с числами, а не «на глаз».

6. Расстояние до прямой — через площадь

Не ищи основание перпендикуляра. Посчитай площадь треугольника на клетках и раздели $2S$ на длину стороны.

💡 Совет: возьми лист в клетку и нарисуй пять случайных треугольников с вершинами в узлах. Для каждого посчитай площадь двумя способами. Десять минут такой тренировки — и задание 18 станет для тебя гарантированным баллом.

Дальше: геометрические утверждения ОГЭ — учимся за минуту отличать верные формулировки от ловушек в задании 19.