Геометрические утверждения ОГЭ: справочник определений, признаков и свойств ✅

«Диагонали ромба равны». Верно или нет? Если ты замешкался хотя бы на секунду — этот урок для тебя. В задании 19 ОГЭ даны три утверждения, и нужно выбрать верные. Никаких вычислений, никаких чертежей — только знание фактов. И именно здесь люди, которые прекрасно решают задачи, теряют балл: они помнят, что «у ромба что-то там с диагоналями», но не помнят, что именно.

Составители задания пользуются одной и той же хитростью: берут настоящую теорему и чуть-чуть её портят. Меняют «ромб» на «прямоугольник». Меняют «равны» на «перпендикулярны». Убирают слова «между ними» из признака равенства. Переворачивают теорему задом наперёд: «если параллелограмм, то диагонали делятся пополам» превращается в «если диагонали равны, то прямоугольник» — и вот уже вместо верного факта ложь. Если знать эти приёмы порчи, задание решается за минуту.

Этот урок — справочник и тренажёр одновременно. Мы пройдём по всем темам 7–9 класса, которые встречаются в задании 19: треугольники, параллельные прямые, четырёхугольники, окружность и площади. Для каждой темы — верные формулировки и типичные ловушки с объяснением, почему ловушка ложна. А в конце — 30 наборов утверждений в формате ОГЭ.

Ты узнаешь:

🎯 Все ключевые определения, признаки и свойства, которые проверяются в задании 19, — собранные в компактные списки по темам

🎯 Пять приёмов, которыми составители превращают верное утверждение в ложное, и как их распознать с первого взгляда

🎯 Как опровергнуть утверждение одним контрпримером и почему этот навык — тот же, что тестирование кода

История: откуда это взялось? 📜

Идея «геометрия — это набор утверждений, которые выводятся друг из друга» принадлежит древним грекам. Около 300 года до н. э. Евклид Александрийский написал «Начала» — 13 книг, где из 5 постулатов и нескольких аксиом строго выведены 465 теорем. Это был первый в истории учебник, построенный как логическая система: каждое утверждение либо принимается без доказательства (аксиома), либо доказывается из уже доказанных. «Начала» переписывали и изучали больше двух тысяч лет — по числу изданий их обгоняет, по некоторым оценкам, только Библия.

Самым спорным оказался пятый постулат — о параллельных прямых. Две тысячи лет математики пытались вывести его из остальных и не могли. В 1829 году профессор Казанского университета Николай Лобачевский опубликовал работу, где пятый постулат заменён противоположным, — и получилась непротиворечивая «неевклидова» геометрия. Оказалось, что утверждение «через точку вне прямой проходит ровно одна параллельная» — это не очевидная истина, а выбор, и от него зависят другие теоремы (например, что сумма углов треугольника равна $180°$). В геометрии Лобачевского эта сумма меньше $180°$.

Мостик в сегодня: разделение на «аксиомы» и «выводимые утверждения» — основа формальной верификации. Системы доказательства теорем вроде Lean и Coq проверяют математические доказательства (и корректность программ) так же, как Евклид, — шаг за шагом от аксиом. Энтузиасты уже формализовали на Lean многие утверждения из «Начал». А языковые модели сегодня учат писать доказательства, которые потом проверяет такой «строгий Евклид» внутри компьютера.

Блок 1: Треугольники — факты и ловушки

Давай разберёмся с интуицией

Начнём с того, как вообще проверять утверждение. Любое утверждение задания 19 относится к одному из типов:

• «Любой / всегда / у каждого» — чтобы опровергнуть, достаточно одного контрпримера. «Любой ромб является квадратом» — показываем ромб с углом $60°$, и утверждение повержено.
• «Существует / может быть» — чтобы подтвердить, достаточно одного примера; чтобы опровергнуть, нужно понять, почему такого не бывает никогда.
• «Если …, то …» — самый коварный тип. Проверяй: это настоящая теорема или теорема, перевёрнутая задом наперёд (обратное утверждение)? Обратное к верному часто ложно.

Теперь справочник по треугольникам. Всё, что ниже, — верные формулировки.

Углы:

1. Сумма углов треугольника равна $180°$.
2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
3. В любом треугольнике хотя бы два угла острые (поэтому тупой или прямой угол может быть только один).
4. Против большей стороны лежит больший угол, против большего угла — большая сторона.

Стороны: 5. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других (неравенство треугольника). Треугольник со сторонами $a \le b \le c$ существует тогда и только тогда, когда $a + b > c$.

Равнобедренный треугольник: 6. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Обратно: если два угла треугольника равны, он равнобедренный. 7. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.

Признаки равенства треугольников: 8. По двум сторонам и углу между ними. 9. По стороне и двум прилежащим к ней углам. 10. По трём сторонам.

Признаки подобия: 11. По двум углам. 12. По двум пропорциональным сторонам и углу между ними. 13. По трём пропорциональным сторонам.

Замечательные линии: 14. Медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $2 : 1$, считая от вершины. 15. Биссектрисы пересекаются в одной точке — центре вписанной окружности. 16. Серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке — центре описанной окружности. 17. Прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке. 18. Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон и равна её половине.

Прямоугольный треугольник: 19. Сумма острых углов равна $90°$. 20. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора). Обратная теорема тоже верна: если $c^2 = a^2 + b^2$, треугольник прямоугольный. 21. Катет, лежащий против угла $30°$, равен половине гипотенузы. 22. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. 23. Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе; косинус — прилежащего к гипотенузе; тангенс — противолежащего к прилежащему.

А вот ловушки — ложные формулировки, которые встречаются чаще всего:

Аналогия

Проверка утверждения — это как тестирование кода. Утверждение «любой ромб — квадрат» — это функция, про которую автор заявил, что она работает на всех входах. Чтобы доказать, что функция работает, нужно доказательство (или формальная верификация). А чтобы доказать, что она не работает, хватит одного падающего теста. Ромб с углом $60°$ — это падающий тест, и больше ничего не нужно.

Поэтому в задании 19 стратегия такая: для каждого утверждения попробуй быстро придумать контрпример. Не получилось за 10 секунд, и утверждение похоже на теорему из учебника — скорее всего верно. Получилось — вычёркивай.

Определение: Контрпример — конкретный объект, для которого условие утверждения выполнено, а заключение — нет. Один контрпример опровергает утверждение вида «любой / всегда / если…, то…».

Обратное утверждение: для «Если $A$, то $B$» обратным называют «Если $B$, то $A$». Из верности прямого утверждения не следует верность обратного.

Пример 1 (лёгкий): набор про углы

Какие из утверждений верны?

1. Сумма углов любого треугольника равна $180°$.
2. Существует треугольник с углами $60°$, $60°$ и $70°$.
3. В любом треугольнике хотя бы два угла острые.

Решение:

1) Верно — это теорема о сумме углов.

2) Проверим: $60 + 60 + 70 = 190 \ne 180$. Такого треугольника нет. Неверно.

3) Верно. Почему так происходит? Если бы два угла были не острыми (каждый $\ge 90°$), их сумма уже была бы $\ge 180°$, и на третий угол ничего бы не осталось.

Ответ: $13$.

Пример 2 (средний): набор про признаки

Какие из утверждений верны?

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Решение:

1) Верно — признак подобия по двум углам.

2) Разберём по шагам. Это испорченный первый признак равенства: пропали слова «угол между ними». Контрпример: возьми угол $30°$ с вершиной $A$ и отложи на одной его стороне отрезок $AB = 10$. Из точки $B$ проведи окружность радиуса $6$ — она пересечёт вторую сторону угла в двух точках $C_1$ и $C_2$ (расстояние от $B$ до второй стороны равно $10 \cdot \sin 30° = 5 < 6$). Треугольники $ABC_1$ и $ABC_2$: у обоих сторона $AB = 10$, сторона $BC = 6$ и угол $A = 30°$, но это разные треугольники (у одного третья сторона длиннее). Неверно.

3) Верно — признак подобия по трём сторонам.

Ответ: $13$.

Пример 3 (сложный): набор с «обратными» утверждениями

Какие из утверждений верны?

1. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
2. Если треугольник равнобедренный, то любая его медиана является высотой.
3. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Решение:

1) Верно. Это обратная теорема к свойству углов при основании, и она доказана в учебнике (признак равнобедренного треугольника).

2) Неверно. Медиана является высотой, только если она проведена к основанию. Контрпример: треугольник $ABC$ с основанием $AB = 8$ и боковыми сторонами $AC = BC = 5$. Медиана из вершины $A$ (угла при основании) падает на боковую сторону $BC$. Если бы она была ещё и высотой, то в треугольнике $ABC$ отрезок из $A$ был бы одновременно медианой и высотой к $BC$ — а это возможно только при $AB = AC$. У нас $AB = 8$, $AC = 5$, значит, эта медиана не перпендикулярна $BC$.

3) Верно — теорема, обратная теореме Пифагора. Именно ей строители в Древнем Египте, по легенде, проверяли прямой угол верёвкой с узлами $3$-$4$-$5$.

Ответ: $13$.

Почему это важно

Треугольники — фундамент всей планиметрии: любой многоугольник режется на треугольники, окружность описывается вокруг треугольника, площади сводятся к треугольникам. Если ты уверенно знаешь 23 факта из списка выше и 7 ловушек из таблицы, ты закрываешь примерно треть всех утверждений, которые встречаются в задании 19.

А умение различать «признак» (достаточное условие) и «свойство» (следствие) — это умение не путать направление импликации. В ML ровно на этом ломаются рассуждения о причинности: «у всех больных есть симптом $X$» не означает «все, у кого есть $X$, больны». Та же ошибка обратного утверждения, только с данными.

Блок 2: Параллельные прямые и четырёхугольники

Давай разберёмся с интуицией

Когда две прямые пересечены третьей (секущей), образуется восемь углов. У них есть имена по положению:

• накрест лежащие — по разные стороны секущей, между прямыми (буква «Z»);
• соответственные — по одну сторону секущей, один между прямыми, другой снаружи (буква «F»);
• односторонние — по одну сторону секущей, оба между прямыми (буква «С» или «П»).

Верные утверждения о параллельных прямых:

1. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной (аксиома параллельных).
2. Если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей, то они параллельны.
3. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.
4. Признаки параллельности: прямые параллельны, если накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна $180°$.
5. Свойства параллельных: если прямые параллельны, то накрест лежащие углы равны, соответственные равны, сумма односторонних равна $180°$.
6. Вертикальные углы равны; сумма смежных углов равна $180°$.

Четырёхугольники — иерархия. Запомни «семейное дерево»: квадрат — частный случай и ромба, и прямоугольника; ромб и прямоугольник — частные случаи параллелограмма. Всё, что верно для параллелограмма, верно для ромба, прямоугольника и квадрата. Обратное — нет.

Параллелограмм: 7. Противоположные стороны равны, противоположные углы равны. 8. Диагонали точкой пересечения делятся пополам. 9. Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$. 10. Признаки: четырёхугольник — параллелограмм, если две противоположные стороны равны и параллельны; или обе пары противоположных сторон равны; или диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Прямоугольник: 11. Диагонали прямоугольника равны. 12. Признак: если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник.

Ромб: 13. Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. 14. Признаки: если в параллелограмме диагонали перпендикулярны (или две соседние стороны равны), то это ромб.

Квадрат: 15. Квадрат — это прямоугольник с равными сторонами и ромб с прямыми углами. Его диагонали равны, перпендикулярны, делятся пополам и являются биссектрисами углов.

Трапеция: 16. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. 17. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны и диагонали равны. Обратно: если в трапеции диагонали равны (или углы при основании равны), она равнобедренная.

Многоугольники: 18. Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна $180° \cdot (n - 2)$: четырёхугольник — $360°$, пятиугольник — $540°$, шестиугольник — $720°$. 19. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника (по одному при каждой вершине) равна $360°$.

Ловушки:

Аналогия

Иерархия четырёхугольников — это наследование классов в программировании. Есть базовый класс Parallelogram со свойствами «противоположные стороны равны», «диагонали делятся пополам». От него наследуются Rectangle (добавляет «диагонали равны») и Rhombus (добавляет «диагонали перпендикулярны»). А Square наследует от обоих — множественное наследование. Любой объект Square — это Rhombus и Rectangle (isinstance(sq, Rhombus) == True), но не любой Rhombus — Square. Утверждения «любой квадрат — ромб» и «любой ромб — квадрат» различаются так же, как проверки isinstance вверх и вниз по дереву.

Определение: Признак — утверждение вида «если выполнено условие, то фигура принадлежит классу» (достаточное условие). Свойство — «если фигура принадлежит классу, то у неё есть такая-то черта» (необходимое условие). Признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника всегда начинаются со слов «если в параллелограмме…» или содержат полный набор условий. Если условие ослабили до «в четырёхугольнике» — ищи контрпример.

Пример 1 (лёгкий): свойства диагоналей

Какие из утверждений верны?

1. Диагонали ромба равны.
2. Диагонали прямоугольника равны.
3. Диагонали параллелограмма перпендикулярны.

Решение:

1) Неверно — ромб с диагоналями $6$ и $8$ (сторона $5$) не квадрат.

2) Верно. Прямоугольные треугольники $ABD$ и $DCA$ равны по двум катетам, их гипотенузы $BD$ и $AC$ равны.

3) Неверно — прямоугольник $1 \times 10$ является параллелограммом, но его диагонали не перпендикулярны.

Ответ: $2$.

Пример 2 (средний): иерархия

Какие из утверждений верны?

1. Любой квадрат является ромбом.
2. Любой ромб является параллелограммом.
3. Любой параллелограмм является трапецией.

Решение:

1) Верно — у квадрата все стороны равны, значит, он ромб.

2) Верно — у ромба противоположные стороны равны (все стороны равны), значит, по признаку он параллелограмм.

3) Неверно. По школьному определению у трапеции ровно две стороны параллельны, а две другие — нет. У параллелограмма параллельны обе пары, поэтому он трапецией не является.

Ответ: $12$.

Пример 3 (сложный): признаки и перевёрнутые свойства

Какие из утверждений верны?

1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм — ромб.
2. Если в четырёхугольнике диагонали равны и перпендикулярны, то он квадрат.
3. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Решение:

1) Верно — признак ромба. Диагонали делят параллелограмм на четыре треугольника, а перпендикулярность плюс деление пополам делает их равными прямоугольными, значит, все стороны равны.

2) Неверно, хотя звучит убедительно. В признаке не хватает «диагонали делятся пополам» (то есть что это параллелограмм). Контрпример: $A(0;0)$, $C(4;0)$ — одна диагональ; $B(1;2)$, $D(1;-2)$ — вторая. Диагонали равны ($4$ и $4$) и перпендикулярны, но точка пересечения $(1;0)$ делит $AC$ в отношении $1 : 3$. Это дельтоид, а не квадрат.

3) Верно — признак параллельности прямых.

Ответ: $13$.

Почему это важно

Около трети утверждений в задании 19 — про четырёхугольники, и почти все ловушки устроены одинаково: свойство одного класса приписывают другому классу или заменяют «параллелограмм» на «четырёхугольник» в признаке. Если держать в голове «семейное дерево» и знать по одному контрпримеру на каждую ветку (равнобедренная трапеция, дельтоид, ромб с углом $60°$, прямоугольник $1 \times 10$), эти утверждения больше не будут вызывать сомнений.

Блок 3: Окружность и площади

Давай разберёмся с интуицией

Верные утверждения об окружности:

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
2. Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны.
3. Прямая и окружность имеют две общие точки, если расстояние от центра до прямой меньше радиуса; одну (касание), если равно; ни одной, если больше.
4. Диаметр — наибольшая хорда. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
5. Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается.
6. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
7. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
8. Вписанный угол, опирающийся на диаметр (на полуокружность), прямой.
9. Около любого треугольника можно описать окружность; её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров.
10. В любой треугольник можно вписать окружность; её центр — точка пересечения биссектрис.
11. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы.
12. Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180°$. Следствие: около трапеции — только если она равнобедренная; около параллелограмма — только если это прямоугольник.
13. В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. Следствие: в любой ромб можно вписать окружность; в прямоугольник — только если это квадрат.
14. Длина окружности $C = 2\pi R$, площадь круга $S = \pi R^2$.

Верные утверждения о площадях: 15. Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон; площадь квадрата — квадрату стороны. 16. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведённую к ней. 17. Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту к ней; половине произведения двух сторон на синус угла между ними. 18. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей. 19. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту. 20. Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади. 21. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.

Ловушки:

Аналогия

Центры вписанной и описанной окружностей путают чаще всего. Помогает такая картинка: описанная окружность «обнимает» треугольник снаружи и проходит через вершины. Значит, её центр равноудалён от вершин — а точки, равноудалённые от двух точек, лежат на серединном перпендикуляре. Вписанная окружность «сидит» внутри и касается сторон. Её центр равноудалён от сторон — а точки, равноудалённые от сторон угла, лежат на биссектрисе. Проще говоря: «вершины → перпендикуляры, стороны → биссектрисы».

В ML есть похожая пара: «центр масс» облака точек (среднее, центроид — как в k-means) и «центр наименьшей охватывающей окружности» (задача minimum enclosing circle). Это разные точки, и их тоже легко перепутать, пока не спросишь себя: «от чего именно центр должен быть равноудалён или что минимизирует?»

Определение: Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Если они опираются на одну дугу, вписанный вдвое меньше центрального.

Пример 1 (лёгкий): касательная и хорды

Какие из утверждений верны?

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
2. Диаметр — наибольшая хорда окружности.
3. Прямая и окружность могут иметь три общие точки.

Решение:

1) Верно — свойство касательной.

2) Верно. Хорда — отрезок с концами на окружности. По неравенству треугольника любая хорда $AB$ не длиннее $AO + OB = 2R$, а равенство — когда хорда проходит через центр.

3) Неверно. Прямая пересекает окружность не более чем в двух точках (ровно две, одна или ни одной — в зависимости от расстояния от центра до прямой).

Ответ: $12$.

Пример 2 (средний): вписанные и описанные

Какие из утверждений верны?

1. Около любого прямоугольника можно описать окружность.
2. В любой прямоугольник можно вписать окружность.
3. Центр окружности, вписанной в треугольник, — точка пересечения его биссектрис.

Решение:

1) Верно. У прямоугольника противоположные углы по $90°$, их сумма $180°$. Центр — точка пересечения диагоналей (она равноудалена от всех вершин, потому что диагонали равны и делятся пополам).

2) Неверно. Для вписанной окружности суммы противоположных сторон должны быть равны: у прямоугольника $1 \times 10$ получаем $1 + 1 = 2$ и $10 + 10 = 20$. Окружность можно вписать только в квадрат.

3) Верно — точка пересечения биссектрис равноудалена от всех трёх сторон.

Ответ: $13$.

Пример 3 (сложный): площади

Какие из утверждений верны?

1. Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
2. Если все стороны треугольника увеличить в $2$ раза, его площадь увеличится в $2$ раза.
3. Площадь любого выпуклого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения диагоналей.

Решение:

1) Верно: средняя линия $= \frac{a+b}{2}$, а $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

2) Неверно. Коэффициент подобия $k = 2$, площадь увеличится в $k^2 = 4$ раза. Проверка: прямоугольный треугольник с катетами $3$ и $4$ имеет площадь $6$, а с катетами $6$ и $8$ — площадь $24 = 4 \cdot 6$.

3) Верно. Разбей четырёхугольник диагоналями на четыре прямоугольных треугольника: если $d_1 = a + c$ и $d_2 = b + d$ (куски диагоналей), сумма их площадей $\frac12(ab + bc + cd + da) = \frac12(a+c)(b+d) = \frac12 d_1 d_2$. Это верно не только для ромба, но и для дельтоида, и для любого выпуклого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями.

Ответ: $13$.

Почему это важно

Окружность и площади — вторая большая половина задания 19. Утверждения здесь легко проверить числом: подставь конкретный треугольник $3$-$4$-$5$, квадрат со стороной $2$, ромб с диагоналями $6$ и $8$ — и сразу видно, работает формула или нет. Этот приём «проверки на игрушечных данных» — тот же, которым программист проверяет функцию на маленьком тесте, прежде чем запускать на больших данных.

Практика: 30 заданий

В каждом задании три утверждения. Запиши номера верных утверждений в порядке возрастания без пробелов (как в бланке ОГЭ). В каждом наборе хотя бы одно утверждение верно.

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: Какие из утверждений верны?

1. Сумма углов любого треугольника равна $180°$.
2. Смежные углы всегда равны.
3. Вертикальные углы равны.

Задание 2: Какие из утверждений верны?

1. Диагонали ромба равны.
2. Диагонали прямоугольника равны.
3. Диагонали любого параллелограмма перпендикулярны.

Задание 3: Какие из утверждений верны?

1. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
2. Площадь ромба равна произведению его диагоналей.
3. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов.

Задание 4: Какие из утверждений верны?

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
2. Диаметр — наибольшая хорда окружности.
3. Центр окружности лежит на любой её хорде.

Задание 5: Какие из утверждений верны?

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2. Любой равнобедренный треугольник является равносторонним.
3. Любой равносторонний треугольник является равнобедренным.

Задание 6: Какие из утверждений верны?

1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной.
2. Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.
3. Две различные прямые на плоскости могут иметь ровно две общие точки.

Задание 7: Какие из утверждений верны?

1. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.
2. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон.
3. Средняя линия треугольника равна стороне, которой она параллельна.

Задание 8: Какие из утверждений верны?

1. Существует треугольник со сторонами $2$, $3$ и $6$.
2. Треугольник со сторонами $3$, $4$ и $5$ прямоугольный.
3. Существует треугольник с углами $30°$, $60°$ и $100°$.

Задание 9: Какие из утверждений верны?

1. Любой ромб является квадратом.
2. Любой квадрат является прямоугольником.
3. Любой прямоугольник является параллелограммом.

Задание 10: Какие из утверждений верны?

1. Площадь круга радиуса $R$ равна $2\pi R$.
2. Длина окружности радиуса $R$ равна $2\pi R$.
3. Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту.

Средние (задания 11–20)

Задание 11: Какие из утверждений верны?

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Все равносторонние треугольники подобны.

Задание 12: Какие из утверждений верны?

1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
2. Если при пересечении двух прямых секущей сумма накрест лежащих углов равна $180°$, то прямые параллельны.
3. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма соответственных углов равна $180°$.

Задание 13: Какие из утверждений верны?

1. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
3. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, в сумме дают $180°$.

Задание 14: Какие из утверждений верны?

1. Диагонали ромба перпендикулярны.
2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

Задание 15: Какие из утверждений верны?

1. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади.
2. Медиана треугольника всегда делит угол, из вершины которого она проведена, пополам.
3. Медианы треугольника точкой пересечения делятся пополам.

Задание 16: Какие из утверждений верны?

1. Центр окружности, описанной около треугольника, — точка пересечения его биссектрис.
2. Центр окружности, вписанной в треугольник, — точка пересечения его биссектрис.
3. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, — середина гипотенузы.

Задание 17: Какие из утверждений верны?

1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна сумме его катетов.
2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла $30°$, равен половине гипотенузы.
3. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Задание 18: Какие из утверждений верны?

1. Площадь параллелограмма равна произведению двух его соседних сторон.
2. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.
3. Площадь треугольника равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне.

Задание 19: Какие из утверждений верны?

1. Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
2. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
3. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Задание 20: Какие из утверждений верны?

1. Около любого треугольника можно описать окружность.
2. Около любого ромба можно описать окружность.
3. В любой ромб можно вписать окружность.

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21: Какие из утверждений верны?

1. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
2. Если в четырёхугольнике диагонали равны, то этот четырёхугольник — прямоугольник.
3. Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник — ромб.

Задание 22: Какие из утверждений верны?

1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая и окружность имеют две общие точки.
2. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то прямая касается окружности.
3. Прямая и окружность могут иметь ровно три общие точки.

Задание 23: Какие из утверждений верны?

1. Треугольник со сторонами $5$, $6$ и $8$ тупоугольный.
2. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то этот треугольник прямоугольный.
3. В любом треугольнике хотя бы два угла острые.

Задание 24: Какие из утверждений верны?

1. Внешний угол треугольника больше любого его внутреннего угла.
2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
3. Треугольник может иметь два тупых угла.

Задание 25: Какие из утверждений верны?

1. Если сумма противоположных углов выпуклого четырёхугольника равна $180°$, то около него можно описать окружность.
2. Около любой трапеции можно описать окружность.
3. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Задание 26: Какие из утверждений верны?

1. Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
2. Если все стороны треугольника увеличить в $3$ раза, то его площадь увеличится в $9$ раз.
3. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Задание 27: Какие из утверждений верны?

1. Все прямоугольные треугольники подобны.
2. Все квадраты подобны.
3. Все ромбы подобны.

Задание 28: Какие из утверждений верны?

1. Сумма углов выпуклого пятиугольника равна $540°$.
2. Сумма углов выпуклого шестиугольника равна $360°$.
3. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна $360°$.

Задание 29: Какие из утверждений верны?

1. Если в ромбе один из углов прямой, то этот ромб — квадрат.
2. Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм — ромб.
3. Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Задание 30: Какие из утверждений верны?

1. Диагонали трапеции точкой пересечения делятся пополам.
2. Диагонали равнобедренной трапеции равны.
3. Если диагонали трапеции равны, то эта трапеция равнобедренная.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: Не замечают пропавших слов

Неправильно: принять «если две стороны и угол одного треугольника равны…, то треугольники равны» за первый признак.

Правильно: в признаке обязательно «угол между ними». Без этих слов утверждение ложно.

Почему важно: составители чаще всего портят формулировку, выбрасывая уточнение: «между ними», «прилежащие», «проведённая к основанию», «не смежных с ним», «в параллелограмме». Читай каждое слово.

❌ Ошибка 2: Считают обратное утверждение верным, потому что верно прямое

Неправильно: «в прямоугольнике диагонали равны, значит, четырёхугольник с равными диагоналями — прямоугольник».

Правильно: обратное нужно проверять отдельно. Контрпример — равнобедренная трапеция.

Почему важно: это самая «умная» ловушка задания 19 — утверждение звучит как знакомая теорема.

❌ Ошибка 3: Переносят свойство частного случая на общий

Неправильно: «диагонали ромба равны» (свойство квадрата), «диагонали параллелограмма перпендикулярны» (свойство ромба).

Правильно: держи в голове иерархию: свойства родителя переходят к потомкам, но не наоборот.

Почему важно: на этой ошибке строится большая часть ложных утверждений про четырёхугольники.

❌ Ошибка 4: Путают центры вписанной и описанной окружностей

Неправильно: «центр описанной окружности — пересечение биссектрис».

Правильно: описанная — через вершины — серединные перпендикуляры. Вписанная — касается сторон — биссектрисы.

Почему важно: эта пара встречается в задании 19 постоянно, и обе формулировки звучат одинаково правдоподобно.

❌ Ошибка 5: Путают «равны» и «в сумме $180°$»

Неправильно: «накрест лежащие углы в сумме $180°$ — прямые параллельны», «вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, в сумме $180°$».

Правильно: накрест лежащие и соответственные — равны, односторонние — в сумме $180°$. Вписанные на одну дугу — равны; в сумме $180°$ — противоположные углы вписанного четырёхугольника.

Почему важно: составители меняют «равны» на «в сумме $180°$» и наоборот — это отдельный класс ловушек.

❌ Ошибка 6: Теряют половинку или квадрат в формулах площади

Неправильно: «площадь ромба равна произведению диагоналей», «площади подобных фигур относятся как $k$».

Правильно: $S_{\text{ромба}} = \frac12 d_1 d_2$, отношение площадей — $k^2$.

Почему важно: проверь формулу на квадрате $1 \times 1$ или на увеличении в $2$ раза — ошибка сразу видна.

Главное запомнить

📝 Ключевые понятия

✅ Стратегия: для каждого утверждения ищи контрпример. Один контрпример опровергает «любой», «всегда» и «если…, то…».

✅ Треугольник: сумма углов $180°$; внешний угол равен сумме двух не смежных; хотя бы два угла острые; $a + b > c$.

✅ Признаки равенства: СУС (угол между сторонами), УСУ (углы прилежащие), ССС. Три равных угла — только подобие.

✅ Замечательные точки: медианы делятся $2 : 1$; биссектрисы → центр вписанной; серединные перпендикуляры → центр описанной.

✅ Прямоугольный треугольник: катет против $30°$ равен половине гипотенузы; медиана к гипотенузе равна её половине; центр описанной — середина гипотенузы.

✅ Параллельные прямые: накрест лежащие и соответственные равны, односторонние в сумме $180°$.

✅ Диагонали: параллелограмм — делятся пополам; прямоугольник — ещё и равны; ромб — ещё и перпендикулярны и биссектрисы; квадрат — всё сразу.

✅ Признаки частных видов начинаются с «в параллелограмме»; в произвольном четырёхугольнике они не работают.

✅ Окружность: касательная ⟂ радиусу; вписанный угол = половина центрального; на диаметр — прямой; прямая и окружность — не более двух общих точек.

✅ Вписанные/описанные четырёхугольники: описать — сумма противоположных углов $180°$ (прямоугольник, равнобедренная трапеция); вписать — суммы противоположных сторон равны (ромб, квадрат).

✅ Площади: половинки у треугольника и ромба, у параллелограмма нет; площади подобных — $k^2$; медиана делит площадь пополам.

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Треугольники — виды треугольников, сумма углов, неравенство треугольника
• Равенство и подобие треугольников — точные формулировки признаков
• Прямоугольный треугольник — теорема Пифагора, синус, косинус, свойства угла $30°$
• Четырёхугольники — свойства и признаки параллелограмма, ромба, прямоугольника, трапеции
• Окружность — касательная, центральные и вписанные углы
• Вписанные и описанные окружности — условия вписанных и описанных четырёхугольников
• Площади фигур — формулы, которые в задании 19 проверяют как «верно/неверно»

Что изучить дальше:

• Геометрические доказательства — от «проверь утверждение» к «докажи утверждение» (задание 24 ОГЭ)
• Задачи на клетчатой бумаге — тренировка контрпримеров: любую фигуру можно построить на сетке и проверить
• Теорема синусов и теорема косинусов — строгое обоснование «против большей стороны лежит больший угол» и признака тупоугольного треугольника

Экзамен: задание 19 ОГЭ — разбор формата задания.

Где это нужно в жизни:

• 💻 В программировании: контрпример = падающий тест; иерархия четырёхугольников = наследование классов
• 🤖 В ML и анализе данных: «из $A$ следует $B$» не означает «из $B$ следует $A$» — главная ошибка при интерпретации корреляций и признаков модели
• ⚖️ В обычной жизни: внимательное чтение формулировок — договоры, условия акций и тарифов тоже любят «пропавшие слова»
• 🔬 В науке: гипотеза опровергается одним экспериментом, но не доказывается никаким конечным числом подтверждений (принцип фальсифицируемости Поппера)

Интересные факты

💡 «Начала» — самый долгоживущий учебник. Евклидовы «Начала» использовали в школах более двух тысяч лет, а в Англии ещё в XIX веке геометрию преподавали почти дословно по Евклиду.

💡 Пятый постулат стоил двух тысяч лет. Попытки доказать аксиому о параллельных из остальных аксиом продолжались от античности до XIX века. Лобачевский, Бойяи и Гаусс независимо поняли, что это невозможно: заменив постулат, получаем другую, тоже непротиворечивую геометрию.

💡 В геометрии Лобачевского «ложные» утверждения становятся верными. Там через точку вне прямой проходит бесконечно много прямых, не пересекающих данную, а сумма углов треугольника меньше $180°$. Утверждение 1 из задания 6 в такой геометрии было бы верным.

💡 Компьютер проверяет Евклида. В 2010-х годах американский математик Майкл Бисон (Michael Beeson) с коллегами формализовали первую книгу «Начал» и проверили её доказательства на компьютере. Оказалось, что у Евклида есть неявные допущения, например о том, что две окружности пересекаются, если «на глаз» должны.

💡 Контрпример может ждать веками. Гипотеза Эйлера о суммах степеней (обобщение Великой теоремы Ферма) продержалась почти 200 лет, пока в 1966 году компьютерный поиск не нашёл контрпример: $27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 = 144^5$.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Держи наготове «коллекцию контрпримеров»

Пять фигур опровергают больше половины ложных утверждений задания 19: равнобедренная трапеция, дельтоид, ромб с углом $60°$, прямоугольник $1 \times 10$, тупоугольный треугольник $120°$-$30°$-$30°$.

Пример: «четырёхугольник с равными диагоналями — прямоугольник» → равнобедренная трапеция.

2. Ищи подменённое слово

Сравнивай с оригиналом: «равны ↔ перпендикулярны», «ромб ↔ прямоугольник», «биссектрисы ↔ серединные перпендикуляры», «половина ↔ целое», «равны ↔ в сумме $180°$», «в параллелограмме ↔ в четырёхугольнике».

3. Проверяй числом

Утверждение про формулу? Подставь квадрат $1 \times 1$, треугольник $3$-$4$-$5$ или ромб с диагоналями $6$ и $8$. Площадь ромба: $\frac12 \cdot 6 \cdot 8 = 24$, а через сторону и высоту $5 \cdot 4{,}8 = 24$ — формула с половинкой верна.

4. «Если…, то…» — поменяй местами и проверь снова

Узнал знакомую теорему? Проверь, не перевёрнута ли она. Свойство «в прямоугольнике диагонали равны» верно; перевёрнутое «если диагонали равны, то прямоугольник» — нет.

5. Мнемоника для центров: «Вершины — Перпендикуляры, Стороны — Биссектрисы»

Описанная окружность проходит через вершины → серединные перпендикуляры. Вписанная касается сторон → биссектрисы.

6. Экономь время: сначала очевидные

В каждом наборе обычно одно утверждение явно верное (из учебника дословно) и одно явно ложное. Разберись с ними за 20 секунд, а время потрать на третье — «подозрительное».

💡 Совет: распечатай списки из трёх блоков и таблицы ловушек, а потом каждый день решай по 3–5 наборов утверждений. Через неделю ты начнёшь «видеть» подмену слов с первого прочтения — и задание 19 станет самым быстрым баллом в варианте.

Дальше: геометрические доказательства — учимся не только проверять утверждения, но и доказывать их, как в задании 24 ОГЭ.