Треугольники: виды, углы, медиана, биссектриса, высота 🔺

Открой любую 3D-игру — от Minecraft до Cyberpunk — и включи режим отображения сетки (wireframe). Персонаж, машина, дерево, скала — всё рассыпается на тысячи маленьких треугольников. Видеокарта твоего компьютера за секунду рисует их сотни миллионов. Почему именно треугольники, а не квадраты или круги? Потому что треугольник — самая простая и самая «честная» фигура: три точки всегда лежат в одной плоскости, треугольник нельзя «перекосить», не изменив длины сторон, и любую сложную форму можно разрезать на треугольники.

То же самое понимали строители задолго до компьютеров. Посмотри на опоры линий электропередач, стрелу подъёмного крана, мост через реку — везде решётка из треугольников. Квадратная рама из четырёх палок складывается от лёгкого толчка, а треугольная стоит намертво. Треугольник — это «жёсткая» фигура, и на этом держится половина инженерии.

А ещё треугольник — это главный герой школьной геометрии. В ОГЭ задание 15 почти всегда про треугольник, в ЕГЭ задание 1 (планиметрия) — тоже часто про него. Хорошая новость: весь этот раздел держится на нескольких простых фактах. Если ты их по-настоящему поймёшь (а не просто вызубришь), половина геометрических задач начнёт решаться в две строчки.

Ты узнаешь:

🎯 Почему сумма углов любого треугольника равна ровно $180°$ и как быстро находить внешний угол

🎯 Какие бывают треугольники, когда треугольник вообще существует (неравенство треугольника) и чем особенны равнобедренный и равносторонний треугольники

🎯 Что такое медиана, биссектриса и высота, чем они отличаются и как они связаны с центроидом, который используют в 3D-графике и в алгоритме кластеризации k-means

История: откуда это взялось? 📜

Треугольники измеряли задолго до того, как появилась геометрия как наука. Египетские землемеры после каждого разлива Нила заново размечали границы полей — и делили участки на треугольники, потому что площадь треугольника легко посчитать, а сам он не «плывёт», если колышки вбиты правильно. Но это была практика, без доказательств: работает — и ладно.

Всё изменили греки. Около 600 года до н.э. Фалес Милетский (по преданию) первым доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. Это кажется мелочью, но это был переворот: впервые кто-то сказал «это верно не потому, что мы так намерили, а потому, что иначе быть не может». Ученики Пифагора доказали, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам — то есть $180°$. А около 300 года до н.э. Евклид в «Началах» собрал всё это в строгую систему: теорема о сумме углов у него — предложение 32 первой книги, а теорема об углах равнобедренного треугольника (предложение 5) получила у средневековых студентов прозвище pons asinorum — «мост ослов»: кто не может его перейти, дальше в геометрии не продвинется.

Мостик в сегодняшний день: в компьютерной графике всё, что ты видишь на экране, — это треугольники. Формат 3D-моделей (например, STL для 3D-принтеров) — это буквально список треугольников: три вершины и направление «наружу». Алгоритмы проверяют, не «вырожден» ли треугольник (не лежат ли три точки на одной прямой), считают его центр (центроид) и углы — ровно то, чем мы займёмся в этом уроке.

Блок 1: Углы треугольника — сумма, внешний угол, виды

Давай разберёмся с интуицией

Возьми лист бумаги, нарисуй любой треугольник — кривой, узкий, широкий, какой хочешь — и вырежи его. Теперь оторви три уголка и приложи их вершинами друг к другу. Что получилось? Три угла идеально сложились в развёрнутый угол — прямую линию. А развёрнутый угол равен $180°$.

Попробуй с другим треугольником — результат тот же. Это не совпадение и не свойство конкретного листа бумаги, а закон.

Почему так происходит? Вот как это работает. Пусть у нас треугольник $ABC$. Проведём через вершину $B$ прямую, параллельную стороне $AC$. Теперь у вершины $B$ собрались три угла, которые вместе образуют развёрнутый угол ($180°$):

• левый угол равен углу $A$ — это накрест лежащие углы при параллельных прямых (прямая через $B$ и прямая $AC$) и секущей $AB$;
• средний угол — это сам угол $B$ треугольника;
• правый угол равен углу $C$ — тоже накрест лежащие углы, только секущая теперь $BC$.

Значит, $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$. Вот и всё доказательство — никакой магии, только свойство параллельных прямых.

Теорема (о сумме углов треугольника): В любом треугольнике $ABC$

$$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$$

Внешний угол. Продолжим сторону $AC$ за вершину $C$. Угол между продолжением стороны и стороной $BC$ называется внешним углом треугольника при вершине $C$. Он смежный с внутренним углом $C$, поэтому внешний угол $= 180° - \angle C$. А раз $\angle A + \angle B = 180° - \angle C$, получаем красивый факт:

Теорема (о внешнем угле): Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$$\angle_{\text{внеш}}(C) = \angle A + \angle B$$

Отсюда сразу следствие: внешний угол больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним. И ещё одно: сумма трёх внешних углов (по одному при каждой вершине) равна $3 \cdot 180° - 180° = 360°$.

Виды треугольников по углам. Раз все три угла в сумме дают $180°$, то тупой (больше $90°$) или прямой угол может быть только один — иначе два таких угла уже «съели» бы $180°$ и больше. Отсюда классификация:

• остроугольный — все три угла острые (меньше $90°$);
• прямоугольный — один угол прямой ($90°$), два других острые, и они в сумме дают $90°$;
• тупоугольный — один угол тупой, два других острые.

📌 В любом треугольнике как минимум два угла острые. Это очень полезно помнить: например, углы при основании равнобедренного треугольника всегда острые.

Аналогия

Представь, что у треугольника есть «бюджет углов» — ровно $180°$, ни градусом больше, ни градусом меньше. Это как фиксированный бюджет очков навыков в RPG: если ты вложил много в «силу» (сделал один угол большим), на «ловкость» и «интеллект» (остальные углы) остаётся меньше. Потратить больше бюджета нельзя, оставить нераспределённым — тоже. Поэтому, зная два угла, ты всегда знаешь третий: он просто равен остатку бюджета.

А внешний угол — это «сколько очков ушло на двух других персонажей»: он равен сумме двух дальних углов, потому что вместе с ближним углом он тоже составляет $180°$.

Пример 1 (лёгкий): находим третий угол

В треугольнике $ABC$ угол $A = 47°$, угол $B = 68°$. Найди угол $C$.

Решение:

Разберём по шагам. Сумма углов треугольника равна $180°$, значит третий угол — это остаток:

Проверим наш ответ: $47° + 68° + 65° = 180°$ ✅. Все углы острые — треугольник остроугольный.

Ответ: $65°$.

Пример 2 (средний): работаем с внешним углом

Внешний угол треугольника $ABC$ при вершине $C$ равен $124°$, а угол $A = 51°$. Найди углы $B$ и $C$.

Решение:

Шаг 1. Внутренний угол $C$ смежен с внешним, их сумма $180°$:

Шаг 2. По теореме о внешнем угле: внешний угол при $C$ равен $\angle A + \angle B$. Значит:

Проверим: $51° + 73° + 56° = 180°$ ✅.

Ответ: $\angle B = 73°$, $\angle C = 56°$.

Заметь: во втором шаге нам даже не понадобился угол $C$. Теорема о внешнем угле — это «короткий путь», который экономит одно действие. На ОГЭ, где каждая минута на счету, такие короткие пути очень ценны.

Пример 3 (сложный): углы в отношении

Углы треугольника относятся как $2 : 3 : 7$. Найди все углы, определи вид треугольника и найди внешний угол при вершине наименьшего угла.

Решение:

Шаг 1. Обозначим одну «часть» за $x$. Тогда углы равны $2x$, $3x$ и $7x$, а их сумма — $180°$:

Шаг 2. Находим углы:

Шаг 3. Есть угол $105° > 90°$ — треугольник тупоугольный.

Шаг 4. Внешний угол при вершине с углом $30°$:

Проверим через теорему о внешнем угле: сумма двух других углов $45° + 105° = 150°$ ✅.

Ответ: углы $30°$, $45°$, $105°$; треугольник тупоугольный; внешний угол $150°$.

Почему это важно

Теорема о сумме углов — это самый частый «первый шаг» в геометрических задачах. Почти всегда, когда в задаче есть углы, где-то внутри решения прячется «$180°$ минус сумма двух других». Она работает и в более сложных фигурах: сумма углов четырёхугольника — $360°$ (его можно разрезать диагональю на два треугольника), пятиугольника — $540°$, и вообще $n$-угольника — $180° \cdot (n-2)$. В компьютерной графике проверка суммы углов — один из простых тестов качества сетки: если у треугольника один угол почти $180°$, а два других почти $0°$, такой «иглообразный» треугольник плохо обрабатывается при расчётах освещения и физики, и алгоритмы перестроения сетки стараются от таких избавляться.

Блок 2: Когда треугольник существует. Равнобедренный и равносторонний треугольник

Давай разберёмся с интуицией

Представь, что у тебя есть три палочки: $3$ см, $5$ см и $9$ см. Сможешь ли ты сложить из них треугольник? Попробуй мысленно: положи палочку $9$ см на стол, а к её концам приставь две короткие. Даже если вытянуть их в одну линию, вместе они дают $3 + 5 = 8$ см — меньше $9$. Концы коротких палочек не встретятся. Треугольника не будет.

Вот и главный закон: кратчайший путь между двумя точками — отрезок. Путь из $A$ в $C$ напрямую всегда короче, чем путь «с заездом» через $B$. Поэтому любая сторона треугольника меньше суммы двух других.

Неравенство треугольника: Треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$ существует тогда и только тогда, когда каждая сторона меньше суммы двух других:

$$a < b + c, \qquad b < a + c, \qquad c < a + b$$

💡 Быстрая проверка: не нужно проверять все три неравенства. Достаточно проверить, что самая длинная сторона меньше суммы двух других. Если это выполнено, остальные два неравенства выполнены автоматически.

Если же самая длинная сторона равна сумме двух других ($3, 4, 7$), то «треугольник» сплющивается в отрезок — его называют вырожденным. В 3D-графике такие треугольники — источник багов: у них нулевая площадь, и при расчёте нормали (направления «наружу») программа делит на ноль.

Из неравенства следует ещё одно полезное двойное неравенство: если две стороны равны $a$ и $b$ (пусть $a \geq b$), то третья сторона $c$ лежит строго между их разностью и суммой: $a - b < c < a + b$.

Соотношение сторон и углов. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот: против большего угла лежит большая сторона. Против равных сторон лежат равные углы. Это пригодится прямо сейчас.

Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Равные стороны называют боковыми, третью — основанием. Вершина, где сходятся боковые стороны, — вершина треугольника, угол при ней — угол при вершине.

Свойства равнобедренного треугольника:

1. Углы при основании равны.
2. Медиана, проведённая к основанию, является одновременно биссектрисой угла при вершине и высотой (об этом подробно — в блоке 3).

Признак: если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный (стороны, лежащие против равных углов, равны).

Почему углы при основании равны? Представь, что равнобедренный треугольник вырезан из бумаги. Сложи его пополам так, чтобы боковые стороны совпали (линия сгиба пройдёт через вершину). Раз боковые стороны равны, их концы совпадут, основание сложится само на себя, и углы при основании наложатся друг на друга. Строгое доказательство через равенство треугольников будет в следующем уроке.

Равносторонний треугольник — все три стороны равны. Это частный случай равнобедренного, причём «равнобедренного со всех сторон». Значит, все его углы равны, и каждый равен $180° : 3 = 60°$.

Аналогия

Равнобедренный треугольник — это как зеркально-симметричное лицо персонажа в редакторе: всё, что есть слева, повторяется справа. Ось симметрии проходит через вершину и середину основания. Именно поэтому «левые» и «правые» элементы (углы при основании, отрезки основания) равны.

А неравенство треугольника — это «правило GPS-навигатора»: навигатор никогда не построит маршрут с заездом в третий город, если он длиннее прямой дороги. Если бы треугольник со сторонами $3, 5, 9$ существовал, это означало бы, что прямая дорога длиной $9$ длиннее объезда длиной $8$ — абсурд.

Пример 1 (лёгкий): существует ли треугольник

Существует ли треугольник со сторонами: а) $3$, $5$, $9$; б) $4$, $6$, $9$?

Решение:

а) Самая длинная сторона — $9$. Сумма двух других: $3 + 5 = 8 < 9$. Неравенство нарушено — не существует.

б) Самая длинная сторона — $9$. Сумма двух других: $4 + 6 = 10 > 9$. Неравенство выполнено — существует.

Ответ: а) нет; б) да.

Пример 2 (средний): равнобедренный треугольник — углы и периметр

а) В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен $40°$. Найди углы при основании.

б) Две стороны равнобедренного треугольника равны $4$ и $9$. Найди его периметр.

Решение:

а) Углы при основании равны, обозначим каждый $x$. Тогда:

б) Здесь коварство: мы не знаем, какая сторона — основание. Разберём оба случая.

• Случай 1: боковые стороны по $4$, основание $9$. Проверяем неравенство: $4 + 4 = 8 < 9$ — треугольник не существует.
• Случай 2: боковые стороны по $9$, основание $4$. Проверяем: $9 + 4 = 13 > 9$ — существует.

Значит, подходит только второй случай: $P = 9 + 9 + 4 = 22$.

Ответ: а) $70°$ и $70°$; б) $22$.

⚠️ Задание б) — классическая ловушка. Если бы стороны были $5$ и $8$, то подошли бы оба случая ($5, 5, 8$ и $8, 8, 5$), и ответов было бы два. Всегда проверяй неравенство треугольника для каждого варианта.

Пример 3 (сложный): «золотой» треугольник

В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны, угол $B = 36°$. Проведена биссектриса $AD$ угла $A$ (точка $D$ лежит на стороне $BC$). Докажи, что $AC = AD = BD$.

Чертёж словами: треугольник $ABC$ с вершиной $B$ наверху, основание $AC$ внизу; из вершины $A$ проведён отрезок $AD$ к точке $D$ на боковой стороне $BC$.

Решение:

Шаг 1. Углы при основании равны: $\angle A = \angle C = (180° - 36°) : 2 = 72°$.

Шаг 2. Биссектриса делит угол $A$ пополам: $\angle BAD = \angle DAC = 36°$.

Шаг 3. Рассмотрим треугольник $ABD$: у него $\angle BAD = 36°$ и $\angle ABD = 36°$. Два угла равны — значит, треугольник равнобедренный, и стороны напротив равных углов равны: $AD = BD$.

Шаг 4. Рассмотрим треугольник $ADC$. Угол $ADC$ — внешний для треугольника $ABD$, поэтому $\angle ADC = \angle BAD + \angle ABD = 36° + 36° = 72°$. А $\angle C = 72°$. Два угла равны — треугольник $ADC$ равнобедренный: $AC = AD$.

Итог: $AC = AD = BD$. ✅

Этот треугольник с углами $36°$, $72°$, $72°$ называют золотым: отношение его боковой стороны к основанию равно золотому сечению $\varphi \approx 1{,}618$. Он прячется в правильной пятиконечной звезде — каждый её «луч» и есть такой треугольник.

Почему это важно

Неравенство треугольника — одно из самых «ходовых» неравенств во всей математике, не только в геометрии. В ML любое «правильное» расстояние между объектами (например, евклидово расстояние между векторами-эмбеддингами) обязано удовлетворять неравенству треугольника — это одно из требований к метрике. На нём основаны быстрые алгоритмы поиска ближайших соседей: если точка $A$ далеко от $B$, а $C$ близко к $B$, то можно сразу сказать, что $C$ тоже далеко от $A$, и не считать расстояние. А свойства равнобедренного треугольника — это основа почти всех задач ОГЭ с «лишней» информацией: увидел две равные стороны — сразу пиши, что углы при основании равны.

Блок 3: Медиана, биссектриса, высота

Давай разберёмся с интуицией

Из каждой вершины треугольника можно провести к противоположной стороне много разных отрезков. Три из них настолько важны, что у них есть собственные имена. Давай разберёмся, чем они отличаются, — путаница между ними стоит школьникам огромного количества баллов.

• Медиана — отрезок из вершины в середину противоположной стороны. Медиана делит сторону пополам.
• Биссектриса — отрезок из вершины до противоположной стороны, который делит угол пополам.
• Высота — перпендикуляр из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Высота образует со стороной прямой угол.

Мнемоника, которую знает каждое поколение школьников: «Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам». А медиана — «медленно идёт к середине».

Определения: Пусть дан треугольник $ABC$.

• $BM$ — медиана, если $M$ лежит на $AC$ и $AM = MC$.
• $BL$ — биссектриса, если $L$ лежит на $AC$ и $\angle ABL = \angle LBC$.
• $BH$ — высота, если $H$ лежит на прямой $AC$ и $BH \perp AC$.

У каждого треугольника по три медианы, три биссектрисы и три высоты.

Важные детали:

1. Высота может быть снаружи треугольника. В тупоугольном треугольнике высоты, проведённые из вершин острых углов, падают на продолжения сторон. А в прямоугольном треугольнике два катета сами являются высотами друг к другу.

2. Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади. Почему? У треугольников $ABM$ и $CBM$ равные основания ($AM = MC$) и общая высота из вершины $B$. Площадь треугольника — половина произведения основания на высоту, значит площади равны.

3. Три медианы пересекаются в одной точке — её называют центроидом (или центром тяжести). Центроид делит каждую медиану в отношении $2 : 1$, считая от вершины. Если вырезать треугольник из картона, его можно уравновесить на кончике карандаша ровно в этой точке.

4. Три биссектрисы тоже пересекаются в одной точке — это центр вписанной окружности. Прямые, содержащие высоты, тоже пересекаются в одной точке — ортоцентре.

5. В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают. Это один и тот же отрезок — ось симметрии треугольника. А в равностороннем треугольнике это верно для всех трёх вершин.

Центроид в координатах. Если вершины треугольника имеют координаты $A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2)$, $C(x_3; y_3)$, то центроид — это просто среднее арифметическое координат:

И вот здесь появляется настоящий мост к ML. В алгоритме кластеризации k-means «центр кластера» вычисляется ровно так же — как среднее координат всех точек кластера. Центроид треугольника — это центр «кластера» из трёх точек.

Аналогия

Представь, что три друга живут в трёх вершинах треугольника и хотят встретиться. Медиана из дома Пети ведёт в точку ровно посередине между домами Васи и Маши — «справедливо для них двоих». Биссектриса из дома Пети идёт «ровно посередине между направлениями» на Васю и Машу — как если бы Петя встал, посмотрел на обоих и пошёл точно между взглядами. А высота — это кратчайший путь от Пети до дороги, соединяющей Васю и Машу: к прямой всегда кратчайший путь — перпендикуляр.

Три разных понятия «середины» — середина отрезка, середина угла и кратчайший путь — и три разных отрезка. Они совпадают, только когда треугольник симметричен (Вася и Маша стоят на одинаковом расстоянии от Пети).

Пример 1 (лёгкий): угол с биссектрисой

В треугольнике $ABC$ угол $A = 60°$, угол $B = 80°$. $BD$ — биссектриса. Найди угол $ADB$.

Решение:

Шаг 1. Биссектриса делит угол $B$ пополам: $\angle ABD = 80° : 2 = 40°$.

Шаг 2. В треугольнике $ABD$ известны два угла: $\angle A = 60°$ и $\angle ABD = 40°$. Третий:

Ответ: $80°$.

Пример 2 (средний): угол между высотой и биссектрисой

В треугольнике $ABC$ угол $A = 70°$, угол $C = 30°$. Из вершины $B$ проведены высота $BH$ и биссектриса $BL$. Найди угол $HBL$.

Чертёж словами: основание $AC$ горизонтально, вершина $B$ сверху. Точка $H$ (основание высоты) ближе к $A$, точка $L$ (основание биссектрисы) — правее $H$, между $H$ и $C$.

Решение:

Шаг 1. Третий угол: $\angle B = 180° - 70° - 30° = 80°$.

Шаг 2. В прямоугольном треугольнике $ABH$ (угол $H = 90°$): $\angle ABH = 90° - 70° = 20°$.

Шаг 3. Биссектриса: $\angle ABL = 80° : 2 = 40°$.

Шаг 4. Угол между ними — разность: $\angle HBL = 40° - 20° = 20°$.

Ответ: $20°$.

💡 Бонус-формула: угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из одной вершины, равен половине модуля разности двух других углов: $\dfrac{|\angle A - \angle C|}{2} = \dfrac{70° - 30°}{2} = 20°$ ✅. Попробуй сам доказать её в общем виде — рассуждение ровно такое же, как в шагах 2–4.

Пример 3 (сложный): центроид в координатах

Вершины треугольника: $A(0; 0)$, $B(6; 0)$, $C(3; 9)$. Найди центроид $G$ и проверь, что он делит медиану из вершины $C$ в отношении $2 : 1$.

Решение:

Шаг 1. Центроид — среднее координат:

Шаг 2. Медиана из $C$ идёт в середину $AB$. Середина $AB$: $M = \left(\dfrac{0+6}{2}; \dfrac{0+0}{2}\right) = (3; 0)$.

Шаг 3. Точки $C(3; 9)$, $G(3; 3)$ и $M(3; 0)$ лежат на одной вертикальной прямой $x = 3$, так что длины считаются по разности $y$:

Отношение $2 : 1$ подтвердилось ✅.

Ответ: $G(3; 3)$; отношение $2 : 1$ подтверждено.

Кстати, этот треугольник равнобедренный ($C$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$), поэтому медиана $CM$ здесь ещё и высота, и биссектриса — она вертикальна и перпендикулярна горизонтальному основанию $AB$.

Почему это важно

Медианы, биссектрисы и высоты — «рабочие инструменты» половины задач по планиметрии: высота нужна для площади, биссектриса — для задач на углы и отношения отрезков (следующий урок), медиана — для задач на площади и центр тяжести. Центроид используется в физике (центр масс однородной пластины), в компьютерной графике (точка, вокруг которой вращают объект, и точка для «привязки» подписи к треугольнику сетки) и в ML: в k-means центр кластера пересчитывается как среднее точек — то же самое, что центроид, только точек не три, а сколько угодно. А высота — это расстояние от точки до прямой; в методе опорных векторов (SVM) именно такие «высоты» от точек до разделяющей прямой алгоритм старается сделать как можно больше.

Практика: 30 заданий

Базовые (задания 1–10)

Задание 1: В треугольнике два угла равны $38°$ и $97°$. Найди третий угол.

Задание 2: Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $34°$. Найди другой острый угол.

Задание 3: Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $112°$. Найди угол при основании.

Задание 4: Угол при основании равнобедренного треугольника равен $49°$. Найди угол при вершине.

Задание 5: Внешний угол треугольника при вершине $C$ равен $132°$. Найди внутренний угол $C$.

Задание 6: Существует ли треугольник со сторонами: а) $7$, $8$, $16$; б) $5$, $7$, $11$?

Задание 7: Периметр равностороннего треугольника равен $27$. Найди его сторону.

Задание 8: Углы треугольника относятся как $1 : 2 : 3$. Найди наибольший угол.

Задание 9: Периметр равнобедренного треугольника равен $30$, основание равно $8$. Найди боковую сторону.

Задание 10: Внешний угол треугольника $ABC$ при вершине $B$ равен $110°$, угол $A = 45°$. Найди угол $C$.

Средние (задания 11–20)

Задание 11: Один из углов равнобедренного треугольника равен $100°$. Найди остальные углы.

Задание 12: Один из углов равнобедренного треугольника равен $50°$. Найди остальные углы. Рассмотри все случаи.

Задание 13: Две стороны равнобедренного треугольника равны $5$ и $12$. Найди его периметр.

Задание 14: В треугольнике $ABC$ угол $A = 64°$, угол $C = 36°$, $BD$ — биссектриса. Найди угол $BDC$.

Задание 15: В треугольнике $ABC$ угол $A = 52°$, угол $B = 70°$, $CH$ — высота. Найди угол $BCH$.

Задание 16: В треугольнике $ABC$ угол $C = 70°$. Биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $O$. Найди угол $AOB$.

Задание 17: Две стороны треугольника равны $4$ и $9$. Сколько существует различных треугольников, у которых третья сторона выражается целым числом?

Задание 18: Площадь треугольника $ABC$ равна $36$, $AM$ — медиана. Найди площадь треугольника $ABM$.

Задание 19: Внешние углы треугольника при вершинах $A$ и $B$ равны $120°$ и $140°$. Найди внутренний угол $C$.

Задание 20: В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ внешний угол при вершине $B$ равен $104°$. Найди угол $A$.

Продвинутые (задания 21–30)

Задание 21: В треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$, угол $B = 36°$, $AD$ — биссектриса, $AC = 7$. Найди $BD$.

Задание 22: В треугольнике $ABC$ углы $A = 40°$, $B = 60°$. Из вершины $C$ проведены высота $CH$ и биссектриса $CL$. Найди угол $HCL$.

Задание 23: Периметр треугольника равен $48$, а его стороны относятся как $3 : 4 : 5$. Найди наименьшую сторону. Проверь, что такой треугольник существует.

Задание 24: На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ так, что $AB = BD = DC$. Угол $C = 25°$. Найди угол $ABC$.

Задание 25: В 3D-редакторе треугольник сетки задан вершинами $A(1; 2)$, $B(7; 4)$, $C(4; 9)$ (в плоскости экрана). Найди координаты центроида — точки, к которой редактор «привязывает» подпись треугольника.

Задание 26: Периметр равнобедренного треугольника равен $50$, а одна из его сторон равна $20$. Найди две другие стороны. Рассмотри все случаи.

Задание 27: В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ угол $A = 28°$. $CH$ — высота, $CL$ — биссектриса. Найди угол $HCL$.

Задание 28: Программист написал функцию проверки, существует ли треугольник:

def is_triangle(a, b, c):
    return a + b > c

На входе is_triangle(10, 2, 3) функция вернула True. Найди ошибку и исправь её.

def is_triangle(a, b, c):
    a, b, c = sorted((a, b, c))
    return a > 0 and a + b > c

Задание 29: В модели для 3D-печати у одного треугольника сетки стороны получились $3$, $4$ и $7$ мм. Слайсер (программа подготовки к печати) выдал предупреждение. Почему? Чему равна площадь такого «треугольника»?

Задание 30: В остроугольном треугольнике $ABC$ угол $A = 50°$, угол $B = 60°$. Высоты $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $H$. Найди угол $AHB$.

Частые ошибки

❌ Ошибка 1: путают медиану, биссектрису и высоту

Неправильно: «$BM$ — медиана, значит $\angle ABM = \angle MBC$». Медиана делит пополам сторону, а не угол.

Правильно: медиана → $AM = MC$; биссектриса → $\angle ABL = \angle LBC$; высота → $BH \perp AC$. Совпадают они только в равнобедренном треугольнике (для отрезков к основанию).

Почему важно: это самая частая причина потери баллов в задании 15 ОГЭ — ученик решает задачу про «другой» отрезок.

❌ Ошибка 2: забывают второй случай в равнобедренном треугольнике

Неправильно: «Один угол равнобедренного треугольника $50°$, значит остальные $65°$ и $65°$» — и всё.

Правильно: если угол острый и не сказано, при основании он или при вершине, рассмотри оба случая (задание 12). Тупой угол может быть только при вершине.

Почему важно: в задачах с развёрнутым ответом потерянный случай — это неполное решение.

❌ Ошибка 3: не проверяют неравенство треугольника

Неправильно: «Стороны равнобедренного треугольника $4$ и $9$, периметр $4 + 4 + 9 = 17$».

Правильно: треугольника $4, 4, 9$ не существует ($4 + 4 < 9$). Правильный ответ — $9 + 9 + 4 = 22$.

Почему важно: в задачах ОГЭ с «двумя сторонами» один случай почти всегда ловушка.

❌ Ошибка 4: путают, каким углам равен внешний угол

Неправильно: «Внешний угол при $C$ равен $\angle A + \angle C$».

Правильно: внешний угол при $C$ равен сумме двух не смежных с ним внутренних углов: $\angle A + \angle B$. А сам внутренний угол $C$ дополняет его до $180°$.

Почему важно: перепутаешь — получишь ответ, который выглядит правдоподобно, но неверен.

❌ Ошибка 5: считают, что высота всегда внутри треугольника

Неправильно: в тупоугольном треугольнике рисуют все высоты внутри и получают противоречие в углах.

Правильно: высота из вершины острого угла тупоугольного треугольника падает на продолжение противоположной стороны — основание высоты лежит вне треугольника.

Почему важно: неправильный чертёж — неправильные углы. Всегда рисуй тупой угол «с запасом», чтобы не обмануться.

❌ Ошибка 6: думают, что центроид делит медиану пополам

Неправильно: «Медианы пересекаются в точке $G$, значит $AG = GM$».

Правильно: $AG : GM = 2 : 1$, считая от вершины. От вершины до центроида — две трети медианы.

Почему важно: в задачах на медианы это отношение — ключевой шаг.

Главное запомнить

📝 Ключевые понятия

✅ Сумма углов треугольника: $\angle A + \angle B + \angle C = 180°$. Зная два угла, всегда находишь третий.

✅ Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним; сумма трёх внешних углов — $360°$.

✅ Виды по углам: остроугольный, прямоугольный, тупоугольный. Хотя бы два угла любого треугольника — острые.

✅ Неравенство треугольника: наибольшая сторона меньше суммы двух других. Равенство — вырожденный треугольник.

✅ Против большей стороны — больший угол, против равных сторон — равные углы.

✅ Равнобедренный треугольник: углы при основании равны; медиана к основанию = биссектриса = высота.

✅ Равносторонний треугольник: все углы по $60°$.

✅ Медиана — в середину стороны; делит треугольник на две части равной площади. Три медианы пересекаются в центроиде, который делит их $2 : 1$ от вершины.

✅ Биссектриса — делит угол пополам. Высота — перпендикуляр на прямую, содержащую сторону; в тупоугольном треугольнике может лежать снаружи.

✅ Центроид в координатах — среднее арифметическое координат вершин (как центр кластера в k-means).

Связь с другими темами курса

Что нужно было знать до этого урока:

• Периметр, площадь и объём — площадь треугольника как половина произведения основания на высоту пригодилась в свойстве медианы
• Уравнения — задачи «углы относятся как…» и «один угол на столько-то больше другого» решаются составлением уравнения
• Соотношения — деление величины в заданном отношении ($2 : 3 : 7$)

Что изучить дальше:

• Признаки равенства и подобия треугольников — строгие доказательства свойств равнобедренного треугольника, свойство биссектрисы и средняя линия
• Прямоугольный треугольник: теорема Пифагора, синус, косинус и тангенс — как находить стороны и высоты, а не только углы
• Теорема синусов и теорема косинусов — решение любого треугольника по трём элементам
• Вычислительная геометрия — как компьютер работает с треугольниками, точками и многоугольниками

Экзамены: ОГЭ, задание 15 и ЕГЭ, задание 1 — прямое применение этого урока.

Где это нужно в жизни:

• 🎮 В играх: все 3D-модели состоят из треугольников; движок проверяет их на вырожденность и считает центроиды
• 🏗️ В строительстве: фермы мостов и крыш собирают из треугольников, потому что треугольник — жёсткая фигура
• 🤖 В ML: неравенство треугольника — обязательное свойство расстояний между объектами; центроид — основа алгоритма k-means
• 🖨️ В 3D-печати: формат STL — это список треугольников, и слайсер ищет среди них вырожденные

Интересные факты

💡 «Мост ослов». Теорема о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника в средневековых университетах считалась проверкой способностей: чертёж к доказательству Евклида напоминал мост, а тех, кто не мог его «перейти», называли ослами.

💡 Треугольник на сфере — другие правила. На поверхности Земли сумма углов треугольника больше $180°$. Треугольник «Северный полюс — точка на экваторе — точка на экваторе на четверть окружности дальше» имеет три прямых угла: $270°$! Теорема о $180°$ верна только на плоскости, и, по одной из версий, Гаусс даже пытался проверить «плоскость» пространства, измеряя треугольник между тремя горными вершинами.

💡 Видеокарта — фабрика треугольников. Современные видеокарты рисуют миллиарды треугольников в секунду. Даже шрифты и «гладкие» кривые перед выводом на экран часто разбиваются на треугольники — процесс называется триангуляцией.

💡 Центроид можно найти ножницами. Вырежи треугольник из картона и подвесь его на нитке за любую вершину — вертикальная линия нитки пройдёт вдоль медианы. Подвесь за другую вершину — пересечение двух линий и будет центроидом.

💡 Треугольник Рёло — фигура, построенная из трёх дуг на основе равностороннего треугольника, — имеет одинаковую «ширину» в любом направлении. Её используют в свёрлах для почти квадратных отверстий.

Лайфхаки и полезные трюки

1. Внешний угол — короткий путь

Если в задаче дан внешний угол и нужен один из дальних внутренних, не ищи сначала смежный угол — сразу вычитай: $\angle B = \angle_{\text{внеш}}(C) - \angle A$.

Пример: внешний угол при $C$ — $124°$, $\angle A = 51°$ → $\angle B = 73°$ за одно действие.

2. Неравенство треугольника — только для наибольшей стороны

Не проверяй три неравенства: найди наибольшую сторону и сравни её с суммой двух других.

Пример: $6, 7, 12$: $6 + 7 = 13 > 12$ — существует.

3. Угол между высотой и биссектрисой из одной вершины

где $A$ и $C$ — два других угла. Экономит три действия и отлично служит для проверки.

4. Угол между биссектрисами двух углов

Пример: $\angle C = 70°$ → $\angle AOB = 125°$.

5. Равнобедренный? Ищи ось симметрии

Как только видишь две равные стороны — мысленно проводи ось симметрии из вершины к середине основания. Она одновременно медиана, биссектриса и высота, и часто именно она «раскалывает» задачу на два одинаковых прямоугольных треугольника.

6. Всегда проверяй ответ суммой углов

Нашёл все углы — сложи. Не $180°$? Значит, где-то ошибка. Это занимает пять секунд и спасает баллы.

💡 Совет: возьми лист бумаги, ножницы и проверь руками хотя бы два факта из урока — сумму углов (оторви уголки) и центроид (уравновесь треугольник на карандаше). Геометрия, которую потрогал руками, запоминается навсегда.

Дальше — признаки равенства и подобия треугольников: там ты научишься строго доказывать всё, что сегодня мы проверяли «на бумаге», и узнаешь, как Фалес измерил высоту пирамиды по её тени.